毕业设计（论文）：极限思想的发展及其应用

目目 录录摘要摘要∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙IAbstractAbstract∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙II第第 1 1 章章 极限思想的形成与发展极限思想的形成与发展∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11.1 极限思想的萌芽.....................................................................................................11.2 极限思想的发展.....................................................................................................11.3 极限思想的形成......................................................................................................21.4 极限思想的完善......................................................................................................3第第 2 2 章章 极限思想在数学分析中极限思想在数学分析中的应用的应用................................................................32.1 极限思想在概念里的渗透....................................................................................32.2 极限思想在导数中的应用.....................................................................................42.3 极限思想在积分中的应用....................................................................................5第第 3 3 章章 证明极限存在以及求极限的方法证明极限存在以及求极限的方法...........................................................63.1 极限的四则运算法则和简单求极限技巧...........................................................63.2 用迫敛性准则求极限.............................................................................................73.3 用泰勒公式求极限.................................................................................................73.4 用等价无穷小求极限.............................................................................................83.5 用洛必达法则求极限.............................................................................................83.6 用微分中值定理和积分中值定理求极限............................................................................................................9第第 4 4 章章 总结总结.....................................................................................................................10参考文献参考文献.............................................................................................................................11致谢致谢.......................................................................................................................................121第 1 章 极限思想的形成与发展极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要地位，是研究数学、应用数学、推动数学发展必不可少的有力工具.本文通过论述极限思想的发展过程以及它在诸多数学分支中的应用来说明极限在数学中的重要地位.按照极限思想的萌芽、发展、形成与完善过程，可将它分为4 个阶段.1.1 极限思想的萌芽古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限理论的雏形.在我国，极限思想的萌芽最早可以追溯到战国末期，在哲学著作《庄子.天下篇》中就引进了惠施的著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭” ，它可以写成一个无穷等比递减数列：借助实物，极限的概念便被形象的表达出来了.然而在我国最早创立极限概念，并用它来解决实际问题的却是数学家刘徽.他指出：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”并最终利用这极限思想求得了圆周率的近似值，独立的创造出了“割圆术”.然而当时人们在直观上对极限概念有了清楚的理解，但由于没有无穷小的概念，因此也就不可能用数学语言准确的描述出极限概念，并且极限思想也没有作为单独的研究对象真正独立出来.这在某种程度上是由于当时的经济状况和生产力水平对数学的要求只停留在对度量和计量有用的范围内决定的. 1.2 极限思想的发展17 世纪以天文学、力学及航海为中心的一系列问题导致了微积分的产生.n21 21 21 21132，，，，限为零，这样可取无限小数，它的极）时，无限增大（当nnn213 , 2 , 1 2微积分尽管在实践中非常成功，但它的思想基础——无穷小量在逻辑上却有很多缺陷，被称为“失去了量的鬼魂” ，并由此直接导致了第二次数学危机.为了消除危机，许多数学家便主张利用极限的方法为微积分提供论证和说明的工具.于是，他们对极限思想进行了深入研究，其阶段性的主要成绩如下.（1）达朗贝尔“理性的”极限概念达朗贝尔脱下了“微分学神秘的外衣” （马克思语） ，首次尝试将微分学建立在“理性的”极限观念基础上.他认为“一个量永远不会重合，但它总是无限的接近它的极限，并且与极限的差要有多小有多小” ，这样达朗贝尔给出了极限的描述性定义，但这个定义比较模糊，缺乏严密性.（2）罗伊里埃用极限奠定的微积分基础数学家罗伊里埃用极限思想对古希腊的“穷竭法”做了修改，并用极限定念和符号.表明极限思想作为微积分基础的正确思想，然而他的缺点是只有单侧极限的概念.（3）柯西的变量极限概念19 世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义：“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有 其他值得极限”.柯西的变量极限概念的提出，标志着极限概念向“算术话”迈出了决定性的一步，是数学史上的重大创新之一.此外，柯西还把无穷小定义为一个极限为零的变量，从而把极限原理和无穷小量有机的联系在一起.在此基础上，柯西又给出了函数的连续性、导数和微分的概念，特别是他首先给出了定积分作为和式极限的定义.然而，虽然柯西把纷乱的极限概念理出了头绪，为精确极限定义的产生做出了开拓性的工作，但他的工作任然不够严格、精确.例如，他在定义中提到的“无限趋近”和“要多小有多小”只是一种直观的定性语言，而不是一种精确的数学语言.1.3 极限思想的形成型等有神秘色彩的概穷小量和来定义微分，排除了无义导数，而进而由导数003在柯西关于变量极限的直观动态基础上，德国数学家维尔斯特拉斯从静态的观点出发，把变量解释成一个字母（该字母表示某区间的数） ，给出了严格定义的极限概念，即他本人在 1856 年首先提出的现今广泛采用的—极限定义：于，是一个确定的数，若对是一个数列，的数列极限定义：设）（a}{a-1nN   .,,, 0的极限为数列则时，有当nnaaaaNnN      有定内有的某个空心领域在点数的函数极限定义：设函）（),()(-200 0 xuxxf使得当）（，总存在某个正数于人任给的是一个确定的数，若对义，,  A以 A时极限存在，且趋向于当则称函数时都有00)(,)(0xxxfAxfxx     为极限.这样极限的-定义便用静态的有限量刻画了动态的无限量，不仅排除了无穷小这个有争议的概念，而且排除了柯西在定义函数的连续性中用到的“变为并且保持小于任意给定的量”这种说法的含糊性，这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立.此外，维尔斯特拉斯还用这一方法定义了连续函数、函数的导数和积分的概念，使微积分的定义摆脱了几何直观所带来的含糊观念最终成了今天的形式.1.4 极限思想的完善尽管用-语言定义的极限概念非常严密，并以占领微积分课堂 100 年之久，但他复杂的课堂逻辑结构却成为微积分入门难以理解和掌握的难点之一.近年来众多的专家学者在该研究领域取得了突破性的进展.特别是广州大学张景中院士提出了和-语言同样严格但易于被初学者所掌握的 D-语言极限.(1)   ，总有使得对一切恒正递增无界数列函数极限定义：若存在nDDn, .,1limaaDaan nnn    则(2)AxfxuxxfDxx  )()()(lim000 0有定义，的空心领域在函数极限定义：设函数4使得当使得当数）内的恒正递增无界函，（是指存在零的某右领域,)(10hD.)(1)(000xxDAxfxx      时，总有从极限概念的“-语言”到“D-语言”的过程其实就是不断简化-语言的逻辑结构，化逻辑为运算的过程，他的基本思想是用简单的单调过程刻画一般的，复杂的极限过程，并且在刻画极限的过程中-语言与 D-语言还具有实质的等价性.D-语言的提出，为数学分析课程的教学改革指出了一个新的方向，也为极限思想的进一步完善开辟了道路.第第 2 2 章章 极限思想在数学分析中的应用极限思想在数学分析中的应用2.12.1 极限思想在概念里的渗透极限思想在概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分。