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1、2.2.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数的图象及性质一、对数函数的定义1.解析式：_.2.自变量：_.思考：为什么在对数函数中要求a0，且a1？提示：根据对数式与指数式的关系知,y=logax可化为ay=x，联想指数函数中底数的范围，可知a0，且a1.y=logax(a0，且a1)x二、对数函数的图象与性质1.对数函数的图象请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出0a1和a1时的对数函数的图象012.对数函数y=logax(a0,且a1)的性质定义义域_值值域_定点_,即x=_时时,y=_单调单调 性当01时时,y=logax在_上是_(0,+)R(1,0)10(0,+)减函数(0,+)增
2、函数判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)对数函数的图象一定在y轴右侧.( )(2)对数函数y=logax(a0,且a1)在(0，+)上是增函数.( )(3)当a1时，若x1,则logax0.( )提示：(1)正确.通过a1和01时，对数函数y=logax在(0，+)上是增函数；当01时，对数函数y=logax在(0，+)上是增函数，若x1,则logaxloga1=0.答案：(1) (2) (3)三、反函数在a0且a1的前提下根据反函数的定义回答下列问题：1.y=ax的反函数是_.2.y=logax的反函数是_.思考：若函数y=ax的图象过点(m,n)，则函数y=logax的图象一定会过点
3、(n,m)吗？提示：若函数y=ax的图象过点(m,n)，则有n=am，将其化为对数式有m=logan，这说明函数y=logax的图象一定会过点(n,m).y=logaxy=ax【知识点拨】1.对数函数概念的理解(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如y=log2(x-1)，y=log2 都不是对数函数，可称其为对数型函数.(2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0,+).2.对数函数图象和性质的关系图象特征函数性质位于y轴右侧定义域为(0,+),值域为R恒过定点(1,0)对于任意的a0且a1,总有loga1=0图象可以分
4、为两类:一 类图象在区间(0,1)内 纵坐标都小于0,在区间 (1,+)内纵坐标都大 于0;另一类图象恰好相 反当a1时, (1)若01,则logax0当00 (2)若x1,则logax1时图象 逐渐上升;01时,y=logax是增函数; 当00且a1)的图象与直线y=1的交点是(a,1).(2)对图象的影响：比较图象与y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.也就是说，沿直线y=1由左向右看，底数a增大(如图).4.对反函数的解读(1)函数y=ax与函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称.(2)从反函数的定义可知，任意一个函数不一定有反函数，只有定义域和值
5、域满足“一一对应”的函数才有反函数. 类型 一 对数函数的概念 【典型例题】1.给出下列函数.(1)y= (2)y=log3(x-1).(3)y=logx+1x. (4)y=logx.其中是对数函数的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.(2013大庆高一检测)若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a1)的反函数，其图象经过点( ),则a=_.【解题探究】1.判断一个函数是否为对数函数的依据是什么？2.函数y=ax(a0,且a1)的反函数是什么？题2中可用什么方法求函数f(x)的解析式？探究提示：1.依据有以下三条：(1)对数符号前面的系数为1.(2)对数的底数是大于0且不等于
6、1的常数.(3)对数的真数只有自变量x.2.函数y=ax(a0,且a1)的反函数是y=logax(a0,且a1).题2中可用待定系数法求其解析式.【解析】1.选A.(1)(2)不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x.(3)不是对数函数，因为对数的底数不是常数.(4)是对数函数.2.函数y=ax(a0,且a1)的反函数是y=logax(a0,且a1),因为其图象经过点( )，所以所以 又a0,所以答案：【拓展提升】1.从“三方面”判断一个函数是否是对数函数2.确定对数函数解析式的步骤(1)设：用待定系数法先设出对数函数的解析式：y=logax(a0,a1).(2)列：通过已知条件建立关于
7、参数a的方程.(3)求：求出a的值.【变式训练】f(x)是对数函数，若 则 =_.【解题指南】先用待定系数法求出对数函数f(x)的解析式，然后求值.【解析】f(x)是对数函数，设f(x)=logax(a0,a1)， =2.又a0，a=4，答案：2类型 二 求对数型函数的定义域和函数值 【典型例题】1.(2013衡水高一检测)已知函数那么f(f( )的值为( )A.27 B. C.-27 D. 2.函数 的定义域是_.3.已知函数y=loga(1-ax)(a0,且a1)，求函数的定义域.【解题探究】1.求分段函数的函数值要注意什么？2.求题2函数的定义域时，自变量的限制条件有哪些？3.题3中字母
8、a的取值对求此函数的定义域有什么影响？探究提示：1.求分段函数的函数值要注意分段代入计算，也就是先判断自变量属于哪段区间再代入计算.2.自变量的限制条件有以下三点：(1)分母不等于零.(2)二次根式中被开方数为非负数.(3)对数的真数大于零.3.解指数不等式1-ax0时，应分01两种情况讨论.【解析】1.选B.f( )=log2 =-3，f(f( )=f(-3)=3-3=2.由题意得 解得10得ax0.(2)当a1时，有x1时，函数y=loga(1-ax)的定义域是(-,0).【拓展提升】1.求分段函数的函数值的两个基本步骤(1)判断自变量所属的取值范围.(2)把自变量的值代入相应取值范围的解
9、析式中进行计算.2.求函数的定义域的限制条件(1)分母不等于零.(2)根指数为偶数时，被开方数为非负数.(3)对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.【变式训练】求下列函数的定义域.(1)(2)ylog(2x1)(4x8)【解析】(1)由 得解得x 且x1. 的定义域为x|x 且x1(2)由题意得 解得ylog(2x1)(4x8)的定义域为x| 0,且a1都有y=loga1+1=0+1=1，所以函数图象y=loga(2x-3)+1恒过定点(2,1)，故点P的坐标是(2,1).答案：(2,1)3.(1)先画出函数y=lgx的图象(如图).(2)再画出函数y=lg(x-1)的图象(如图).(
10、3)最后画出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图).【互动探究】把题3的函数改为“y=lg|x-1|”，画出此时函数的图象.【解析】(1)先画出函数y=lgx的图象(如图).(2)再画出函数y=lg|x|的图象(如图).(3)最后画出函数y=lg|x-1|的图象(如图).【拓展提升】1.画函数图象的两类常用方法2.两个函数图象的对称性(1)(2) 特例函数y=ax与函数y=( )x的图象关于y轴对称 推广函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称特例函数y=logax与函数y= 的图象关于x轴对称 推广函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称 3.对数型函数图象恒过
11、定点问题解决此类问题的根据是对任意的a0,且a1，都有loga1=0.例如，解答函数y=m+logaf(x)(a0,且a1)的图象恒过定点问题时，只需令f(x)=1求出x，即得定点(x,m).【易错误区】忽视底数取值范围对函数图象的影响致误【典例】(2013长春高一检测)已知f(x)=ax,g(x)=logax(a0且a1),若f(3)g(3)0且a1,f(3)=a30.又f(3)g(3)1和01时，若x0,则ax1,若x0,则01.当a1时，若01，则logax0;当00,若x1，则logax0,然后由loga30,且a1).对数函数的图象过点M(16,4),4=loga16，a4=16.又
12、a0,a=2,此对数函数为y=log2x.2.当a1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与ylogax的图象是( )【解析】选A.当a1时，ylogax单调递增，y=a-x单调递减，故选A3.设集合A=x|y=lgx,B=y|y=lgx，则下列关系中正确的是( )A.AB=A B.AB=C.A=B D.AB【解析】选D.A=x|y=lgx=(0,+),B=y|y=lgx=R,A B.4.函数y=lnx,x(0,+)的反函数是_.【解析】函数y=lnx,x(0,+)的反函数是y=ex,xR.答案：y=ex,xR5.函数f(x)=log5(1-x)的定义域是_.【解析】由题意得1-x0，所以x1.所以函数f(x)=log5(1-x)的定义域是(-,1).答案：(-,1)6.已知对数函数y=log2x，x0.25，1，2，4,求值域.【解析】当x=0.25时,y=log20.25=log2 =-2.当x=1时,y=log21=0.当x=2时,y=log22=1.当x=4时,y=log24=2.所以，值域为-2，0，1，2.
