《人教版高中数学2.2.2 第1课时对数函数的图象及性质》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版高中数学2.2.2 第1课时对数函数的图象及性质(60页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数的图象及性质一、对数函数的定义1.解析式:_.2.自变量:_.思考:为什么在对数函数中要求a0,且a1?提示:根据对数式与指数式的关系知,y=logax可化为ay=x,联想指数函数中底数的范围,可知a0,且a1.y=logax(a0,且a1)x二、对数函数的图象与性质1.对数函数的图象请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出0a1和a1时的对数函数的图象012.对数函数y=logax(a0,且a1)的性质定义义域_值值域_定点_,即x=_时时,y=_单调单调 性当01时时,y=logax在_上是_(0,+)R(1,0)10(0,+)减函数(0,+)增
2、函数判断:(正确的打“”,错误的打“”)(1)对数函数的图象一定在y轴右侧.( )(2)对数函数y=logax(a0,且a1)在(0,+)上是增函数.( )(3)当a1时,若x1,则logax0.( )提示:(1)正确.通过a1和01时,对数函数y=logax在(0,+)上是增函数;当01时,对数函数y=logax在(0,+)上是增函数,若x1,则logaxloga1=0.答案:(1) (2) (3)三、反函数在a0且a1的前提下根据反函数的定义回答下列问题:1.y=ax的反函数是_.2.y=logax的反函数是_.思考:若函数y=ax的图象过点(m,n),则函数y=logax的图象一定会过点
3、(n,m)吗?提示:若函数y=ax的图象过点(m,n),则有n=am,将其化为对数式有m=logan,这说明函数y=logax的图象一定会过点(n,m).y=logaxy=ax【知识点拨】1.对数函数概念的理解(1)对数函数的概念与指数函数类似,都是形式化定义,如y=log2(x-1),y=log2 都不是对数函数,可称其为对数型函数.(2)由指数式与对数式的关系知:对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域是(0,+).2.对数函数图象和性质的关系图象特征函数性质位于y轴右侧定义域为(0,+),值域为R恒过定点(1,0)对于任意的a0且a1,总有loga1=0图象可以分
4、为两类:一 类图象在区间(0,1)内 纵坐标都小于0,在区间 (1,+)内纵坐标都大 于0;另一类图象恰好相 反当a1时, (1)若01,则logax0当00 (2)若x1,则logax1时图象 逐渐上升;01时,y=logax是增函数; 当00且a1)的图象与直线y=1的交点是(a,1).(2)对图象的影响:比较图象与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.也就是说,沿直线y=1由左向右看,底数a增大(如图).4.对反函数的解读(1)函数y=ax与函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.(2)从反函数的定义可知,任意一个函数不一定有反函数,只有定义域和值
5、域满足“一一对应”的函数才有反函数. 类型 一 对数函数的概念 【典型例题】1.给出下列函数.(1)y= (2)y=log3(x-1).(3)y=logx+1x. (4)y=logx.其中是对数函数的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.(2013大庆高一检测)若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a1)的反函数,其图象经过点( ),则a=_.【解题探究】1.判断一个函数是否为对数函数的依据是什么?2.函数y=ax(a0,且a1)的反函数是什么?题2中可用什么方法求函数f(x)的解析式?探究提示:1.依据有以下三条:(1)对数符号前面的系数为1.(2)对数的底数是大于0且不等于
6、1的常数.(3)对数的真数只有自变量x.2.函数y=ax(a0,且a1)的反函数是y=logax(a0,且a1).题2中可用待定系数法求其解析式.【解析】1.选A.(1)(2)不是对数函数,因为对数的真数不是只含有自变量x.(3)不是对数函数,因为对数的底数不是常数.(4)是对数函数.2.函数y=ax(a0,且a1)的反函数是y=logax(a0,且a1),因为其图象经过点( ),所以所以 又a0,所以答案:【拓展提升】1.从“三方面”判断一个函数是否是对数函数2.确定对数函数解析式的步骤(1)设:用待定系数法先设出对数函数的解析式:y=logax(a0,a1).(2)列:通过已知条件建立关于
7、参数a的方程.(3)求:求出a的值.【变式训练】f(x)是对数函数,若 则 =_.【解题指南】先用待定系数法求出对数函数f(x)的解析式,然后求值.【解析】f(x)是对数函数,设f(x)=logax(a0,a1), =2.又a0,a=4,答案:2类型 二 求对数型函数的定义域和函数值 【典型例题】1.(2013衡水高一检测)已知函数那么f(f( )的值为( )A.27 B. C.-27 D. 2.函数 的定义域是_.3.已知函数y=loga(1-ax)(a0,且a1),求函数的定义域.【解题探究】1.求分段函数的函数值要注意什么?2.求题2函数的定义域时,自变量的限制条件有哪些?3.题3中字母
8、a的取值对求此函数的定义域有什么影响?探究提示:1.求分段函数的函数值要注意分段代入计算,也就是先判断自变量属于哪段区间再代入计算.2.自变量的限制条件有以下三点:(1)分母不等于零.(2)二次根式中被开方数为非负数.(3)对数的真数大于零.3.解指数不等式1-ax0时,应分01两种情况讨论.【解析】1.选B.f( )=log2 =-3,f(f( )=f(-3)=3-3=2.由题意得 解得10得ax0.(2)当a1时,有x1时,函数y=loga(1-ax)的定义域是(-,0).【拓展提升】1.求分段函数的函数值的两个基本步骤(1)判断自变量所属的取值范围.(2)把自变量的值代入相应取值范围的解
9、析式中进行计算.2.求函数的定义域的限制条件(1)分母不等于零.(2)根指数为偶数时,被开方数为非负数.(3)对数的真数大于零,对数的底数大于零且不等于1.【变式训练】求下列函数的定义域.(1)(2)ylog(2x1)(4x8)【解析】(1)由 得解得x 且x1. 的定义域为x|x 且x1(2)由题意得 解得ylog(2x1)(4x8)的定义域为x| 0,且a1都有y=loga1+1=0+1=1,所以函数图象y=loga(2x-3)+1恒过定点(2,1),故点P的坐标是(2,1).答案:(2,1)3.(1)先画出函数y=lgx的图象(如图).(2)再画出函数y=lg(x-1)的图象(如图).(
10、3)最后画出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图).【互动探究】把题3的函数改为“y=lg|x-1|”,画出此时函数的图象.【解析】(1)先画出函数y=lgx的图象(如图).(2)再画出函数y=lg|x|的图象(如图).(3)最后画出函数y=lg|x-1|的图象(如图).【拓展提升】1.画函数图象的两类常用方法2.两个函数图象的对称性(1)(2) 特例函数y=ax与函数y=( )x的图象关于y轴对称 推广函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称特例函数y=logax与函数y= 的图象关于x轴对称 推广函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称 3.对数型函数图象恒过
11、定点问题解决此类问题的根据是对任意的a0,且a1,都有loga1=0.例如,解答函数y=m+logaf(x)(a0,且a1)的图象恒过定点问题时,只需令f(x)=1求出x,即得定点(x,m).【易错误区】忽视底数取值范围对函数图象的影响致误【典例】(2013长春高一检测)已知f(x)=ax,g(x)=logax(a0且a1),若f(3)g(3)0且a1,f(3)=a30.又f(3)g(3)1和01时,若x0,则ax1,若x0,则01.当a1时,若01,则logax0;当00,若x1,则logax0,然后由loga30,且a1).对数函数的图象过点M(16,4),4=loga16,a4=16.又
12、a0,a=2,此对数函数为y=log2x.2.当a1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与ylogax的图象是( )【解析】选A.当a1时,ylogax单调递增,y=a-x单调递减,故选A3.设集合A=x|y=lgx,B=y|y=lgx,则下列关系中正确的是( )A.AB=A B.AB=C.A=B D.AB【解析】选D.A=x|y=lgx=(0,+),B=y|y=lgx=R,A B.4.函数y=lnx,x(0,+)的反函数是_.【解析】函数y=lnx,x(0,+)的反函数是y=ex,xR.答案:y=ex,xR5.函数f(x)=log5(1-x)的定义域是_.【解析】由题意得1-x0,所以x1.所以函数f(x)=log5(1-x)的定义域是(-,1).答案:(-,1)6.已知对数函数y=log2x,x0.25,1,2,4,求值域.【解析】当x=0.25时,y=log20.25=log2 =-2.当x=1时,y=log21=0.当x=2时,y=log22=1.当x=4时,y=log24=2.所以,值域为-2,0,1,2.