电磁感应中的双金属棒运动分析(2)

1【【电磁感应中的双金属棒运动分析电磁感应中的双金属棒运动分析】】 一、两棒都只在安培力作用下运动的双金属棒问题一、两棒都只在安培力作用下运动的双金属棒问题 1、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为 L导轨上 面横放着两根导体棒 a 和 b，构成矩形回路，如图 1 所示．两根导体棒的质量皆为 m，电 阻皆为 R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有 竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为 B．设两导体棒均可沿导轨无 摩擦地滑行．开始时，棒 b 静止，棒 a 有指向棒 b 的初速度 v0．若 两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少． （2）当 a 棒的速度变为初速度的 3/4 时，b 棒的加速度是多少？ 分析：（1）a、b 两棒产生电动势和受力情况如图 2 所示a、b 两棒分别在安培力作 用下做变减速运动和变加速运动，最终达到共同速度，开始匀速运动由于安培力是变化的，故不能用功能关系求焦耳热；由于电流是变化的，故也不能用焦耳定律克安WQ 求解 在从初始至两棒达到速度相同的过程中，由于两棒所受安培力等大反向，故总动量守恒，有mvmv20根据能量守恒，整个过程中产生的总热量2 022 041)2(21 21mvvmmvQ（2）设 a 棒的速度变为初速度的 3/4 时，b 棒的速度为 v1，则由动量守恒可知10043mvvmmv由于两棒产生的感应电动势方向相同，所以回路中的感应电动势，感应电流为 1043BLvvBLEREI2此时棒所受的安培力 ，IBLF 所以 b 棒的加速度为 mFa 由以上各式，可得mRvLBa4022 2、如图 13-4-8 所示，光滑弧形轨道在 MN、PQ 与 光滑水平平行金属导轨相切，两轨道在结合处光滑 且极易分离，平行金属导轨在 MN 左侧、PQ 右侧 足够长。

金属杆 a 和 b 在离地 h=20cm 高处同时从 静止开始沿相同的光滑弧型轨道下滑，金属杆 a 和 b 进入水平轨道的同时，在整个水平 平行金属导轨上加上竖直向上的匀强磁场，而后两弧形轨道立即撤离已知kg，kg，两金属杆的电0.2am 0.4bm 图 13-4-82阻分别为，；B=2T，导轨宽度为 L=10cm，导轨 MN、PQ 之间水0.3aR 0.1bR 平部分足够长（a 和 b 不相撞） ，试求：（1）a 和 b 的最终速度分别是多大？（2）整个 过程中回路释放的电能是多少？ （3）若导轨电阻不计，整个过程中 a 和 b 上产生的热量分别是多少？解析：（１）a 和 b 下滑过程由机械能守恒 21 2aaam ghm v21 2bb bm ghm va 和 b 在安培力作用下达到共同速度过程中，选向左为正方向，根据动量守恒有代入数据解得m/sb baaabm vm vmmv2 3v (2)根据能量守恒有带入数据解得Ｊ21 2aaabm ghm ghmmvE电1.07E电(3)a 和 b 构成串联电路，电流相等，a 和 b 上产生的热量跟它们的电阻成正比。

则带入数据解得J JabE电::ababRR0.8aQ 0.27bQ 二、两棒除受安培力外，还受拉力二、两棒除受安培力外，还受拉力 F 作用的双金属棒问题作用的双金属棒问题 1、如图 3 所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度 B=0.50T 的匀 强磁场与导轨所在平面垂直，导轨电阻忽略不计，导轨间的距离 L=0.20m两根质量均为 m=0.10kg 的金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦 地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的为电阻 R=0.50Ω，在 t=0 时刻，两杆都处于静止状态现有一与导轨平行，大 小为 0.20N 的力 F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动 （1）分析说明金属杆最终的运动状态？ （2）已知当经过 t=5.0s 时，金属杆甲的加速度 a=1.37m/s，求此时两金属杆的速度各 为多少？ 分析：（1）甲、乙产生电动势和受力情况如图 4 所示由于开始甲速度大于乙的速 度，所以甲杆产生的电动势大，电流沿逆时针方向随着电流增大，安培力增大，甲的 加速度减小，乙的加速度增大，当二者加速度相同时，两棒的速度差不在改变，电流恒 定，这样甲、乙最终以相同的加速度做匀加速运动，而例 1 中两棒最终做匀速运动。

2）由以上分析知，回路中产生电动势为21BLvBLvE回路中的电流 对甲杆，由牛顿第二定律得 REi2maBliF注意与例 1 不同，由于甲杆受到拉力 F 作用，所以系统动量不守 恒因为作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所 以两杆的动量变化等于拉力 F 的冲量，即21mvmvFt联立以上各式解得 smvsmv/85. 1/15. 8213三、两棒分别在在不同宽度的导轨上运动的双金属棒问题三、两棒分别在在不同宽度的导轨上运动的双金属棒问题 1、如图 5 所示，足够长的光滑平行导轨水平放置，电阻不计，MN 部分的宽度为 2L，PQ 部分的宽度为 L，金属棒 a 和 b 的质量分别为 2m 和 m，a 和 b 分别垂直放置在 MN 和 PQ 上且相距足够远，整个装 置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为 B开始时 a 棒向 右运动，速度为 v0，b 棒静止，两棒运动时始终保持平行且 a 总 在 MN 上运动，b 总在 PQ 上运动求 a、b 最终的速度 分析：a、b 棒产生电动势和受力情况如图 6 所示由于两棒 长度不同，所以所受安培力大小不等，系统动量不守恒，这是与例 1 的重要区别，解题 时要引起特别注意。

两棒运动情况与例 1 相同，最终速度相同，做匀速运动所以最终时电流为 0，两棒电动势相等，即baBLvLvB2从开始到刚匀速运动的过程中，对 a、b 分别由动量定理得aavmvmtF220bbmvtF又任意时刻，两棒所受安培力均为 2 倍关系，所以有baFF2解以上方程可得，031vva032vvb2、图中 a1b1c1d1和 a2b2c2d2为在同一竖直面内的金属导轨，处在磁感应强度为 B 的匀强 磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面)向里导轨的 a1b1段与 a2b2段是竖直的，距 离为 l1；c1d1段与 c2d2段也是竖直的，距离为 l2x1y1与 x2y2为两根用不 可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为 m1和 m2，它们都垂直 于导轨并与导轨保持光滑接触两杆与导轨构成的回路的总电阻为 RF 为作用于金属杆 x1y1上的竖直向上的恒力已知两杆运动到图示位 置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路 电阻上的热功率 解析：设杆向上运动的速度为 v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回 路的面积减少，从而磁通量也减少由法拉第电磁感应定律，回路中的 感应电动势的大小为：回路中的电流 vllBE)(12REI 电流沿顺时针方向。

两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆的安培力为11yx方向向上，作用于杆的安培力 ④IBlf1122yxIBlf22方向向下当杆作为匀速运动时，根据牛顿第二定律有Fa1b1c1d1x1y1a2b2c2d2y24⑤02121ffgmgmF解以上各式，得 ⑥ ⑦)()(1221 llBgmmFIRllBgmmFv2 12221 )()( 作用于两杆的重力的功率的大小 ⑧gvmmP)(21电阻上的热功率 ⑨RIQ2由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得 ⑩gmmRllBgmmFP)()()(212 12221RllBgmmFQ21221])()([3、、如图所示光滑平行金属轨道 abcd，轨道的水平部分 bcd 处于竖直向上的匀强磁场中， bc 部分平行导轨宽度是 cd 部分的 2 倍，轨道足够长将质量相同的金属棒 P 和 Q 分别置于轨道的 ab 段和 cd 段P 棒位于距水平轨道高为 h 的地方，放开 P 棒，使其自由下滑，求 P 棒和 Q 棒的最终速度〖解析〗设 P，Q 棒的质量为 m，长度分别为 2l 和 l， P 棒进入水平轨道的速度为 v0，对于 P 棒，运用机械能守恒定律得 mgh=1/2 mv02； v0=；当 P 棒进入水平轨道后，gh2切割磁感线产生感应电流。

P 棒受到安培力作用而减速，Q 棒受到安培力而加速，Q 棒运 动后也将产生感应电动势，与 P 棒感应电动势反向，因此回路中的电流将减小最终达 到匀速运动时，回路的电流为零，所以 EP=EQ，即 2BlvP=BlvQ；2vp=vQ 再设：磁感强度为 B，P 棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为△t，P，Q 受到的平均作用力分别为P和Q；FF对 P、Q 分别应用动量定理得： P·△t=m（vP-v0）；Q·△t=m（vQ-0）FF而P=2Q ∴vP=；vQ =FFgh251gh252四、两棒通过细线或杆连接的双金属棒问题四、两棒通过细线或杆连接的双金属棒问题 1、如图 7 所示，两金属杆 ab 和 cd 长度均为 L 电阻均为 R，质量分别为 M 和 m，M 大于 m用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线5将它们连成闭合电路，并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧两金属杆都处在水平 位置整个装置处在与回路平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度为 B若金属杆 ab 正好 匀速向下运动，求其运动的速度 分析：由于两棒通过细线连接，所以两棒速度大小总是相等，这是连接体的一个特点即vvvca由于两棒向相反方向运动，所以产生的电动势相反，相当于两电源串联（如图 8 所 示） ，这是与以上题目的一个区别。

回路产生的电动势为BLvBLvBLvEca2产生感应电流方向沿 abdc 方向，大小为 RBLv REI2 注意分析两棒受力如图 8 所示，两安培力大小相等RvLBILBFFca22 对 ab 杆有 对 cd 杆有aFMgF解得 cFmgF222)( LBgRmMv2、如图所示，在磁感应强度大小为 B、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均 与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为 m 的匀质 金属杆 A1和 A2，开始时两根金属杆位于同一竖 直平面内且杆与轨道垂直设两导轨面相距为 H，导轨宽为 L，导轨足够长且电阻不计，金属 杆单位长度的电阻为 r现有一质量为 m/2 的不 带电小球以水平向右的速度 v0撞击杆 A1的中点， 撞击后小球反弹落到下层面上的 C 点C 点与杆 A2初始位置相距为 S求： （1）回路内感应电流的最大值； （2）整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量； （3）当杆 A2与杆 A1的速度比为 1：3 时，A2受到的安培力大小 解析：（1）小球撞击杆瞬间系统动量守恒，之后做平抛运动设小球碰后速度大小 为 v1，杆获得速度大小为 v2，则，，，21022mvvmvmtvs12 21gtH )2(2102HgsvvA1杆向右做减速运动运动，A2 杆向右加速运动，直至速度相等，然后做匀速运动，6故其最大电动势是小球和杆碰后瞬间，则，最大电流，则2BLvEmLrEIm21rhgsvB Im4)2(0 （2）两金属棒在磁场中运动始终满足动量守恒定律，两杆最终速度相同，设为 v’，据动量守恒定律有：，又据能量守恒定律有：vmmv 2222 2221 21vmmvQ联立以上各式可得：2 0)2(161 HgsvmQ（3）设杆 A2、A1的速度大小分别为 v 和 3v，由于两杆组成的系统动量始终守恒，则有：vmmvmv32此时回路中产生的感应电动势为：，则，安培力，)3(vvBLELrE。