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1、- 1 -AOxyBOxyCOxyDOxy20092009 年鄂州高中自主招生考试数学试题年鄂州高中自主招生考试数学试题一、选择题（一、选择题（3 分分*12=36 分）分）1、已知 a=2009x+2008，b=2009x2009，c=2009x+2010，则多项式a2b2c2abbcac 的值为（ D ）A、0 B、1 C、2 D、32、在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m 和 y=mx22x2（m 是常数，且 m0）的图象可能是（ D ）3、第二象限有一点 P（x , y） ，且，则点 P 关于原点的对称点的坐标是（B 7, 5yx）A、 （5，7） B、 （5，7） C、 （5，7）
2、 D、 （5，7）4、若方程 x2（4n1）x2n=0（n 为整数）有两个整数根，则这两个根（ C ）A、都是奇数 B、都是偶数 C、一奇一偶 D、无法判断5、如右下图，等边 ABC 外一点 P 到三边距离分别为h1，h2，h3，且 h3h2h1=3，其中 PD= h3，PE= h2，PF= h1。则 ABC 的面积 SABC=（B ）A、 B、 C、 D、3233310312PS：解：连 BP，PC，AP。设边长为 a则 S=根号 3a / 4又 S=（a*h2+a*h3-a*h1）/2又 h3h2h1=3PABE F CD- 2 -化简得 6a=根号 3 aa=2 根号 3S=3 根号 3
3、6、某班有 50 人，在一次数学考试中，得分均为整数，全班最低分为 48 分，最高分为 96分，那么该班考试中（ A ）A、至少有两人得分相同 B、至多有两人得分相同 C、得分相同的情况不会出现 D、以上结论都不对7、若实数 a 满足方程，则=（ B ） ，其中表示不超过 a 的最大 aaaa111 a a整数。A、0 B、1 C、2 D、3移项平方得，a+a-1=2a*根号 a-1/a再平方得 a-(1-1/a)=(a-1/a)两边平方(a-1-1/a)=0a-1/a-1=0a-a-1=0a=(15)/2a=1.618所以a=18、在ABC 中，P、Q 分别在 AB、AC 上，且，则 PQ
4、一定经过ABC 的（ 1QACQ APBPC ）A、垂心 B、外心 C、重心 D、内心.i：特殊法，令 P 为中点，Q 为顶点，可得ii。：解：我们这样做辅助线：- 3 -延长 QP，交 CB 于 D 点。然后取 BC 中点，连接 AE 交 PQ 于 F 点（要证明过重心撒， 证明 F 是重心就完工了嘛） 有重心定理，F 是重心的话，AF=2EF，证出来就行了啦证明：根据梅涅劳斯定理 DQ 是ACE 的割线CQ/AQ*AF/EF*ED/CD=1 移个小项就有了CQ/AQ=EF/AF*CD/ED然后ABE 中 DP 也是其割线BP/AP*AF/EF*DE/BD=1 得到了BP/AP =EF/AF
5、*BD/DE.+得到 CQ/AQ+ BP/AP=1（这是题目的）=EF/AF*CD/ED + EF/AF*BD/DE 看见公因式没有？ EF/AF？提个公因式- 4 -EF/AF * （BD+CD）/DE=1再看看图 BD+CD 是不是 2BD+BC=2（BD+BE）=2DE？看不懂再看看，E 是中点吧再就清楚了EF/AF*2=1AF=2EFOK！F 是重心了！PQ 过ABC 的重心！9、在高速公路上，从 3 千米处开始，每隔 4 千米经过一个限速标志牌，并且从 10 千米处开始，每隔 9 千米经过一个速度监控仪，刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在
6、（ C ）千米处。A、36 B、37 C、55 D、9110、已知 x2ax3b=0 有两个不相等的实数根，x2（6a）x6b=0 有两相等的实数根，x2（4a）x5b=0 无实数根，则 a 、b 的取值范围是（A ）A、2a4 2b5 B、1a4 2b5 C、1a4 1b5 D、2a4 1b511、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第 334 个图形需（ D ）根火柴棒。A、2007 B、2008 C、2009 D、2010- 5 -12、已知函数 f（x）=x2x，p、q、r 为ABC 的三边，且 pqr，若对所有的正整数p、q、r 都满足 f（p）f（q）f（r） ，则
7、 的取值范围是（ D ）A、2 B、3 C、4 D、5二、填空题（二、填空题（4 分分*6=24 分）分）13、设多项式 x3xa 与多项式 x2xa 有公因式，则 a= 0 或 6 ；假设 x-x-a=A(x+p)；x+x-a=B(x+p)则 x=-p 时，x+p=0所以两式右边都是 0所以左边也是 0-p+p-a=0p-p-a=0相减p+p-2p=0p(p+2)(p-1)=0p=0,p=-2,p=1代入-p+p-a=0p=0，a=0p=-2,a=6p=1,a=0所以 a=0,a=614、已知 n 个数 x1，x2，x3，xn，它们每一个数只能取 0，1，2 这三个数中的一个，且，则 -29
8、 ;12222 12519nnxxxxxx 33 23 1nxxx15、如图，半径为 r1的圆内切于半径为 r2的圆，切点为 P，已知 ACCDDB=342,则 1：3 ;21 rr连接 PO1，必过 O2设 r1=2a则相交弦定理有ABCDPO2O1- 6 -5a*4a=2a（2r2-2a）R2=6a所以 1：316、已知正数 a、b、c 满足 a2c2=16，b2c2=25，则 k=a2b2的取值范围为 9k41 ;17、将正方形由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作（如图） ，按上边规则，完成 6 次操作以后，再剪去所得小正方形的左下角，问：当展开这张正方形纸片后，一共有 个小孔
9、。找规律：一次 1 个，二次 4 个，3 次 4个.为 4 的 6 次方个小孔18、非零实数 x、y 满足，则 -1 22200920092009xxyy2008 2008xy xy 。X=-y三、解答题（三、解答题（1921 题每题题每题 8 分，分，2225 题每题题每题 9 分，共分，共 60 分）分）19、 （8 分）已知直线 y=kx+b（k0）与 x、y 轴交于 A、B 两点，且与双曲线交xy2于点 C（m , 2） ，若AOB 的面积为 4 ，求BOC 的面积。C(-1，2)-k+b=2b=2+k解析式为 y=kx+2+kA（-2-k/k，0）B（0，2+k）所以 SAOB =（
10、2+k）方/k=-84+4k+k 方=-8k- 7 -K=正负 4 根号 2 - 6 S=2 根号 2 加减 220、 （8 分）甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏。他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的 19 张卡片，其中写有“锤子”、 “石头”、 “剪子”、 “布”的卡片张数分别为3、4、5、7，两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”， “石头”胜“剪子”， “剪子”胜“布”， “布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负。若甲先摸，他摸出“石头”的概率是多少？若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获
11、胜的可能性最大？解：（1）4/19（2）摸到布 7，锤子 3P=10/18=5/9（3）P 摸锤子胜=9/18*3/19P 石头=5/18*4/19P 剪=7/18*5/19P 布=7/18*7/19P 布最大摸布胜利可能最大21、 （8 分）如图，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC=A.求证：BC 与O 相切；若 OC 是 BD 的垂直平分线，垂足为 E，BD=6，CE=4,求AD 的长。1） 证明：DBC+角 ABD=90=A.+ABD所以是切线O EDCBA- 8 -2） 解：BE=3BC=5三角形相似AD/BD=BE/CEAD=4.522、 （9 分）m 是什么实数时，方程有 4
12、个互不相等的实数根？mxx542解：x0 时Y=x-4x+5x0 时y=x+4x+5画图像（略）得到 1m523、 （9 分）在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，下图是甲、乙段台阶路的示意图。请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差）回答下列问题：两段台阶路有哪些相同点和不同点？哪段台阶走起来更舒服？为什么？为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位：cm）解：（1）总长度相同都是 90cm；中位数，方差，众数不同（2）甲- 9 -算方差：甲：1+1+1+1/6=2/3乙：
13、16+9+4+25+16/6=35/3（3）都修成 15cm24、 （9 分）当 x 为何有理数时，代数式 9x2+23x2 的值恰为两个连续正偶数的乘积？解：设两个偶数为 2n,2n+2(n0) 9x2+23x-2=2n(2n+2) x 为有理数,为完全平方数 =232+4*9*2+2n(2n+2)=144n2+144n+601 =36(4n2+4n+1)+565 =6(2n+1)2+565 设=m2 (不妨设 m=0) m2-6(2n+1)2=(m+12n+6)(m-12n-6)=565=565*1=113*5 m+12n+6=565 m-12n-6=1 m=283,n=23 m+12n+6=113 m-12n-6=5 m=59,n=4 n=23,9x2+23x-2=46*48,x=-17 或 x=130/9 n=4,9x2+23x-2=8*10,x=2 或 x=-41/9
