电动力学讲义第10讲

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1、电动力学第10讲第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(4)2.4 讯变电磁场的矢势和标势 *1山东大学物理学院 宗福建教学体系Date2山东大学物理学院 宗福建Maxwell方程组Date3山东大学物理学院 宗福建Maxwell方程组Date4山东大学物理学院 宗福建标势 的Poisson方程Date5山东大学物理学院 宗福建静电场的标势 若电荷连续分布， 电荷密度为 ，设 r为由源点x 到场点 x的距离，则场点x 处的电势为 Date6山东大学物理学院 宗福建Date7山东大学物理学院 宗福建Date8山东大学物理学院 宗福建静磁场的矢势 在稳恒电流（静磁场）情况下，电场与 磁场无关，麦氏方

2、程组的磁场部分为 Date9山东大学物理学院 宗福建静磁场的矢势 根据矢量分析的定理（附录.17式）, 若 则 B 可表为另一矢量的旋度 A 称为磁场的矢势。 Date10山东大学物理学院 宗福建矢势微分方程 对比静电势的解可得矢势方程的特解 式中x 是源点，x是场点，r为由x 到x的距离 。 Date11山东大学物理学院 宗福建矢势的多级展开 如果电流分布于小区域V内，而场点x又 距离该区域比较远，我们可以把A（x） 作多级展开。取区域内某点O为坐标原 点，把1/r的展开式得 Date12山东大学物理学院 宗福建矢势的多级展开 Date13山东大学物理学院 宗福建本讲主要内容 用势描述电磁场

3、 规范变换和规范不变性 dAlembert 达郎贝尔方程 推迟势Date14山东大学物理学院 宗福建用势描述电磁场 为简单起见，我们只讨论真空中的电磁 场，麦克斯韦方程组为 Date15山东大学物理学院 宗福建用势描述电磁场 在恒定场中， 由B的无源性引入矢势A，使 在一般情况下，B仍然保持无源性，所以B与矢势A的关系式普遍成立的。 矢势A的物理意义是：在任一时刻，A沿任意闭合回路的线积分等于该时可通过回路的磁通量。Date16山东大学物理学院 宗福建用势描述电磁场 在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场不同。电场E一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的

4、。因此在一般情况，电场是有源和有旋的场，它 不可能单独用一个标势来描述。 Date17山东大学物理学院 宗福建用势描述电磁场 在变化情况下电场与磁场发生直接联系 ，因而电场的表示式必然包含矢势A在内。 把 代入 得 Date18山东大学物理学院 宗福建用势描述电磁场 该式表示矢量 E+A/t 是无旋 场，因此它可以用标势描述，因此，一般情况下电场的表示 式为 Date19山东大学物理学院 宗福建用势描述电磁场 把电磁场用矢势和标势表示出来。 注意现在电场E不再是保守力场，一般不存在势 能的概念，标势失去作为静电场中势能的意 义。 因此，在高频系统中，电压的概念也失去确切 的意义。 在变化场中，

5、磁场和电场是相互作用的整体， 必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场 。Date20山东大学物理学院 宗福建规范变换和规范不变性 用矢势A和标势描述电磁场不是唯一 的，即给定的E和B并不对应唯一的A和 。 这是因为对矢势A可以加上一个任意函 数的梯度 ，结果不影响B，而这加 在A上的梯度部分在E式中有可以从- /t中除去，结果亦不影响E。 Date21山东大学物理学院 宗福建规范变换和规范不变性 设为任意时空函数，作变换 则，(A, )与(A, )对应于同一个 (E, B)。Date22山东大学物理学院 宗福建规范变换和规范不变性 有 Date23山东大学物理学院 宗福建规范变换和规范不变性

6、 即(A , )与(A , )描述同一电磁场。 变换 称为势的规范变换。 每一组(A , )称为一种规范。 Date24山东大学物理学院 宗福建规范变换和规范不变性 在经典电动力学中，由于表示电磁场可观属 性的可测量的物理量为E和B，而不同规范有对应着同一的E和B ，因此，如果用矢势来描述电磁场，客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。 当势作规范变换时，所有物理量和物理规律应该保持不变，这种不变性称为规范不变性 。 Date25山东大学物理学院 宗福建规范变换和规范不变性 从数学上来说，规范变换自由度的存在是由于在势的定义式中，只给出A的旋度，而没有给出A的散度。我们知道仅由矢场量的旋度是不足

7、以确定这矢量场的。为了确定A，还必须给定它的散度。电磁场E和B本身对A的散度没有任何限制。因此，作为确定势的辅助条件，我们可以取A为任意的值。 Date26山东大学物理学院 宗福建规范变换和规范不变性 每一种选择就对应一种规范。采用适当的辅助条件可以使基本方程和计算简化，而且物理意义也较明显。从计算方便考虑，在不同问题中可以采用不同的辅助条件。应用最广的是以下两种规范条件： Date27山东大学物理学院 宗福建规范变换和规范不变性 （1）库仑规范 辅助条件为 在这规范中A为无源场，因而电场表示 式 中第二项 A/t是无源场（横场）， 而第一项 为无旋场（纵场）。 Date28山东大学物理学院

8、宗福建规范变换和规范不变性 这规范的特点是E的纵场部分完全由描述。而横场部分由A描述，A/t项不含纵场部分。项对应于库仑场，A/t项对应于感应电场。这种划分对于讨论某些问题是方便的。 Date29山东大学物理学院 宗福建规范变换和规范不变性 （2）洛伦兹规范 辅助条件为 采用这种规范时，势的基本方程化为特别简单的对称形式，其物理意义也特别明显。因此，这种规范在基本理论研究以及解决实际辐射问题中是特别方便的。 Date30山东大学物理学院 宗福建达朗贝尔（dAlembert）方程 由麦克斯韦方程组推导势A和所满足 的基本方程。 把 代入Date31山东大学物理学院 宗福建达朗贝尔（dAlembe

9、rt）方程 得Date32山东大学物理学院 宗福建达朗贝尔（dAlembert）方程 应用00 = 1/c2并将两式加以整理后，得 这是适用于一般规范的方程组。 Date33山东大学物理学院 宗福建达朗贝尔（dAlembert）方程 若采用库仑规范，得 Date34山东大学物理学院 宗福建达朗贝尔（dAlembert）方程 若采用库仑规范，得 Date35山东大学物理学院 宗福建达朗贝尔（dAlembert）方程 这种规范的特点是标势所满足的方程与静电场情形相同，其解是库仑 势。解出后代入第一式可解出A，因而可以确定电磁场。 Date36山东大学物理学院 宗福建达朗贝尔（dAlembert）方

10、程 若采用洛伦兹规范，得 Date37山东大学物理学院 宗福建达朗贝尔（dAlembert）方程 若采用洛伦兹规范，得 称为达郎贝尔方程Date38山东大学物理学院 宗福建达朗贝尔（dAlembert）方程 用这种规范时，方程具有相同形式，其意义也特别明显。 方程称为达郎贝尔方程，它是非齐次的波动方程，其自由项为电流密度和电荷密度。由该式，电荷产生标势波动，电流产生矢势波动。离开电荷电流分布区域后，矢势和标势都以波动形式在空间中传播，由它们 导出的电磁场E和B也以波动形式在空间中传播。 当然E和B的波动性质是和规范无关的。Date39山东大学物理学院 宗福建推迟势 现在我们求达朗贝尔方程的解。

11、标势 的达朗贝尔方程为 式中 =（x，t）是空间中的电荷密度。 Date40山东大学物理学院 宗福建推迟势 该式是线性方程，反映电磁场的叠加性。由于场的叠加性，可以先考虑某一体元内的变化电荷所激发的势，然后对电荷分布区域积分，即 得总的标势。 Date41山东大学物理学院 宗福建推迟势 设原点处有一假想变化电荷Q(t)，其电荷密度为(x,t)= Q (t)(x)。这电荷辐射的势的达朗贝尔方程为 Date42山东大学物理学院 宗福建推迟势 由球对称性， 只依赖于r，t，而不依赖于角变量。 用球坐标表为 :Date43山东大学物理学院 宗福建推迟势 除原点之外， 满足波动方程 解是球面波。 Dat

12、e44山东大学物理学院 宗福建推迟势 考虑到当r增大时势减弱，所以作如下 代换 把（2.5）式代入（2.4）式，得u的方 程 Date45山东大学物理学院 宗福建推迟势 这方程形式上是一维空间的波动方程，其通解为 式中f和g是两个任意函数。Date46山东大学物理学院 宗福建推迟势 可得除原点以外的解 这解的第一项代表向外发射的球面波，第二项代表向内收敛的球面波。函数f和g的具体形式应由物理条件定出。 Date47山东大学物理学院 宗福建推迟势 当我们研究辐射问题时，电磁场是由原点处的电荷发出的，它必然是向外发射的波。 因此在辐射问题中应取g = 0而函数f的形式应由原点处的电荷变化形式决定。

13、 Date48山东大学物理学院 宗福建推迟势 在静电情形，我们知道电荷Q激发的电 势为Date49山东大学物理学院 宗福建推迟势 推广到变化场情形， 可以推想解为 Date50山东大学物理学院 宗福建推迟势 由场的叠加性，对于一般变化电荷分布（x,t），它所激发的标势为 Date51山东大学物理学院 宗福建推迟势 由于矢势A所满足的方程形式上与标势的达朗贝尔方程一致，所以一般变化电流分布J（x,t）所激发的矢势为 可以验证A和满足洛伦兹规范条件。 Date52山东大学物理学院 宗福建达朗贝尔（dAlembert）方程 称为达郎贝尔方程Date53山东大学物理学院 宗福建推迟势 可以验证A和满足

14、洛伦兹条件。 Date54山东大学物理学院 宗福建推迟势 A和式的重要意义在于它反映了电磁作用具有一定的传播速度空间某点x在某时刻t的场值不是依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻 tr/c 的电荷电流分布、反过来说，电荷产生的物理作用不能够立刻传至场点，而是在较晚的时刻才传到场点，所推迟的时间r/c正是电磁作用从源点x 传至场点x所需要的时间，c是电磁作用的传播速度因此， A和式称为推迟势 Date55山东大学物理学院 宗福建推迟势 除了电磁作用之外，其它一切作用都通过物质以有限速度传播事物总是通过物质自身的运动发展而互相联系着的，不存在瞬时的超距作用在下一章中我们将看到这点正是相

15、对论时空观的基础 Date56山东大学物理学院 宗福建推迟势 当和J 给定后，就可以算出势，再由 就可求得空间任意点的电磁场强度。当然，电磁场本身反过来亦对电荷电流发生一定的反作用，因而激发区内的电荷电流分布是不能任意规定的。 Date57山东大学物理学院 宗福建看见与测量到 俗话说：“耳听是虚，眼见为实” 但事实上，眼见也不为实。 请看，眼睛是怎样欺骗大脑的Date58山东大学物理学院 宗福建1.柱子是圆的还是方的？Date59山东大学物理学院 宗福建2.那个女的是真的还是拼图里的 ？Date60山东大学物理学院 宗福建3. 12个人还是13个人？Date61山东大学物理学院 宗福建4.有几个黑点？Date62山东大学物理学院 宗福建看见与测量到 可见，眼见也不为实。 看见：由不同时间，不同地点发出的光，但同时到达 人的视网膜。看见的景观是经过推迟了的。 测量：某一确定时刻，测量者当地所发生事件的真实 记录。测量的结果是未推迟的。 同一个事件，不同地点的观察者可能看到不同的结果 ，但测量结果都是相同的。