结构力学-稳定计算

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1、结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院结 构 力 学（2）第16章 结构的稳定计算结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院结构设计应满足三方面的要求1、强度2、刚度3、稳定性(受压结构，失稳时结构计算已经不是在原结 构上，而是在变形后的结构形状上，此谓几何非线性) 薄细构件高强度构件容易失稳，需要稳定性验算。基本概念1、失稳（instability ）：当荷载超过某一数值时，体系由稳 定平衡状态转变为不稳定平衡状态，而丧失原始平衡状态的 稳定性，也称屈曲（buckling）。原先受压的构件突然发生弯 曲变形，或与受力方向垂直的变形现象2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间 状态（中性

2、平衡状态）。 3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。 16-1 稳定问题概述结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院线性非线性结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院非线性(叠加原理不成立)线性(叠加原理成立)结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院原状态干扰状态取消干扰后的状态由于取消干扰后结构可 以恢复原状,所以原状 态为稳定状态原状态干扰状态由于取消干扰后结构无 法恢复原状,所以原状态 为不稳定状态取消干扰后的状态临界状态结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院两类失稳现象两种理论分析方法大挠度分析法:考虑大的变形及变形对几何形状的影响 小挠度分析法:只考虑微小的变形，不考虑变形对几何形状的影 响

3、，用近似公式计算位移1. 完善体系分支点失稳 2. 非完善体系极值点失稳 3. 跃越失稳16.2 两类稳定问题计算结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院结构失稳的两种基本形式1、第一类失稳（完善体系分支点失稳）：结构变形产生 了性质上的突变，带有突然性。l/2PPc rl(b) 弯曲平衡状态P2POP1D（c） 荷载位移曲线（P 曲线）Pc rDCABP(a)直线平衡状态 l分支点新平衡临界荷 载临界状态小挠度理论大挠度理论结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院(a) 偏心受压杆PePPPOPcr(b) 荷载位移曲线（P 曲线）Pc rCA B2、第二类失稳（非完善体系极值点失稳）：虽不出现新

4、的 变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许 可值，结构不能正常工作。小挠度理论临界荷载大挠度理论3. 跃越失稳结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院1. 平衡路径之前没有分支点，则体系的状态为稳定平衡状态。 2. 平衡路径之前有分支点，荷载随位移增大而增大，则体系的 状态为稳定平衡状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。弹性静稳定平衡的条件完善体系体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对 应，则平衡状态为稳定衡平状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。非完善体系结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院MA= k ABPc rxxyyEIPc rBxklyxyEIMA= k AP

5、c rxyyRBEIyPc rBxkAEI无限自由 度体系单自由 度体系稳定问题的自由度：与动力问题相似，确定体系变形状态 所需要的独立几何参数（一般指的是位移, 并垂直于力的 方向）的数目 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异大挠度理论 小挠度理论大挠度理论小挠度理论结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院完善体系大挠度理论分析非完善体系大挠度理论分析1. 分支点失稳例：图16-63. 极值点失稳完善体系小挠度理论分析非完善体系小挠度理论分析2. 分支点失稳4. 极值点失稳例：图16-7例：图16-9(a)例：图16-10弹性稳定问题的6种情况5. 稳定平

6、衡6. 稳定平衡结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院单自由度完善体系的分支点失稳yFpBxkAEI无穷大弹簧的反力 临界荷载 ：代入： 1. 按大挠度理论分支后两条平衡路径：1. =0， Fp为任意值(不稳定 )2. 0 ， Fp=kl cos (不稳定)达到临界荷载时，位移不断增大而承载力反 而减小，所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院2. 按小挠度理论 考虑在小变形情况下，取 sin=、cos=1， 弹簧的反力 临界荷载（分支点）yFpBxkAEI无穷大单自由度完善体系的分支点失稳上式可写为 分支后两条平衡路径：1. =0， F

7、p为任意值(不稳定)2. 0 ， Fp=kl(随遇平衡)达到临界荷载时，位移不断增大而承载力不增大 ，所以位移增大的路径是不稳定的。 结论：红兰两条路径均不稳定结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院单自由度非完善体系的极值点失稳弹簧的反力 极值（临界）荷载 ：所以： 求极值 3.按大挠度理论yFpBxFRB=kAEI无穷大结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院=0 =0.0 1 =0.1=0.2临界荷载(极值点)和初 位移e有关单自由度非完善体系的极值点失稳3.按大挠度理论极值点之后，位移增大而承载力反而减 小，所以位移增大的过程是不稳定的结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院4.按小挠度理论

8、 临界（极值）荷载 ：单自由度非完善体系的极值点失稳yFpBxkAEI无穷大结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院=0.02=0.01临界（极值）荷载 ：临界荷载(极值点)和初位移e无关4.按小挠度理论 单自由度非完善体系的极值点失稳接近临界荷载时，位移不断增大而承载力几乎不增大，所以位移增大的过程是不稳定的结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院MAB= kABFpxly平衡方程单自由度完善体系的稳定问题5. 按大挠度理论代入得分支点 Fpcr=k/l结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院 分支点Fpcr=k/l 分支后两条平衡路径：1. =0，Fp为任意值(不稳定 )2. 0, 分支后，承载

9、力随位移增大而 增大。在材料应变 容许范围内 ，不存在极值，所以位移增大 的过程是稳定的。最大荷载可 超过分支临界荷载。MAB= kABFpxly5. 按大挠挠度理论论结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院平衡方程单自由度非完善体系的稳定问题6. 按大挠挠度理论论代入得MAB= kABFpxlye=0.05=0.01承载力随位移增大而增大。在材料极限应变容许范围内，不存在极值，所 以位移增大的过程是稳定的。因此对于该种体系，如采用大挠度理论，不 存在临界荷载的理论值。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院总结完善体系失稳分支点失稳 非完善体系失稳极值点失稳 分支点失稳形式的特征为：存在不同平衡

10、路径的交叉，交 叉点处出现平衡的两重性。 极值点失稳形式的特征为：只存在一个平衡路径，但在平 衡路径上存在极值。 大挠度理论可得精确解，小挠度理论能得到分支点的解， 但路径不正确。对对于完善体系的分支点失稳稳，无论论采用小挠挠度理论论， 还还是大挠挠度理论论，所得临临界荷载值载值 是相同的。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院1、静力法计计算思路假定体系处于微变形的临界状态，列出相应的平衡方程，进 而求解临界荷载。计计算步骤骤（1）确定基本未知位移，取隔离体、建立静力平衡方程。（2）建立平衡方程中位移有非0解条件的稳定方程(特征方程)。（3）求解稳定方程的临界荷载。（4）求解稳定方程的特征向

11、量, 绘失稳形式图(buckling mode) 。16.3 有限自由度体系的稳稳定静力法讨论分支点失稳稳问题，按小挠挠度理论论求临界荷载结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院平衡方程：单单自由度体系静力法求临临界荷载载（P216）q有非0解的条件代入得：临临界荷载载：问题：荷载大于临界荷载时角位移也只有0解MAB= kABFpxly解：设转角q，位移D = lq结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院单单自由度体系静力法求临临界荷载载例平衡方程：临界荷载代入得SABACFply结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院结结点B投影平衡方程结结点C投影平衡方程例题题16-1 双自由度体系静力法求临临

12、界荷载载隔离体解法2： （解法1详见详见 P218） 设B,C点的竖向位移为y1，y2 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院投影平衡方程:例题题16-1矩阵表达式:平衡方程有非0解条件：满足稳定方程(特征方程)解得：压弯刚度矩阵几何刚度矩阵结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院将 代入平衡方程得无穷穷多个解：位移有无穷多个解，该状态下的体系为临界平衡状态例题题16-1结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院例题题16-1 双自由度体系静力法求临临界荷载载解法3： 设B ，C点的竖向位移为y1，y2 . A ， B ，C ，D 支座竖向反力为取隔离体，得A ， B 支座反力结构力学（2）浙大宁波

13、理工学院土建学院由以上得平衡方程：平衡方程有非0解条件：满足稳定方程(特征方程)解得：位移有无穷多个解，该状态下的体系为临界平衡状态问题：荷载大于临界荷载时位移y1,y2也只有0解静力法存在多种解法，灵活多变 ，有利于处理简单计 算。但静力 法缺乏规律性，很难建立具有明 确物理意义的方程，因此不适用 于处理复杂问题 的程序化计算。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院Ep= Ve + Vp : 总势能 total potential energyVe : 应变能 strain energyVp: 荷载势能= - 外力作功 external work总势能是位移(或与位移有关的基本未知量)的2次

14、函数，总总 势势能驻值驻值 的条件为：总势能对所有的位移求导的结果为0 。若有n各位移基本未知量ai, 则总势总势 能驻值驻值 原理(stationary principle of total potential energy) 体系静稳定平衡条件：1. 总势能为驻值 (静力平衡)2. 驻值为 极小值（稳定）16.3 有限自由度体系的稳稳定能量法结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院体系应变能：荷载势能：体系总势能：1. 总势能为驻值 (静力平衡 )稳稳定体系的静平衡问题问题 (单单自由度)满足总势能驻值原理的 两个条件,所以位移为静力平衡位移2. 驻值为 极小值（稳定）结构力学（2）浙大宁波

15、理工学院土建学院满足第一条件,则体系处于静力平衡状态（1）稳稳定平衡状态态：满足第一条件,又满足第二条件位移变化则总势 能增加,所以体系稳定.（2）不稳稳定平衡状态态：满足第一条件，不满足第二条件。位移增加总势 能反而减少,所以体系不稳定（3）中性平衡状态态(临临界状态态)：满足第一条件,又满足第二条件。但位移变化而总势 能不变(恒为为0),所以体系处于临界状态总势总势 能驻值驻值 原理（P217） 体系静稳定平衡条件：1. 基本未知位移为0时，总势能为驻值 (0)2. 驻值为 极小值静力平衡有三种状态结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院荷载势能：弹簧应变能：B点竖向位移能量法计计算临临界荷载载(单单自由度体系)总势能：MAB= kABFpxly临界荷 载当q=0，总势能Ep为驻值 ，满满足第一条件, 平衡当q=0， ，驻值为 极小值，满满足第二条件,稳稳定平衡当q=0， ，驻值为 极大值，不满满足第二条件,不稳稳定平衡当q=0， ，Ep=0, 临临界稳稳定平衡结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院例题题16-1双自由度体系能量法求临临界荷载载（P218）体系应变能：荷载势能：解：设B,C点的竖向位移为y1，y2 结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院线线性代数学基础础复习习-齐齐次2次式的矩阵阵表达式结构力学（2）浙大宁波理