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1、第3章,图像变换,3.1 二维离散傅里叶变换（DFT）,3.1.1 二维连续傅里叶变换二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下：设 是独立变量 的函数，且在 上绝对可积，则定义积分 为二维连续函数 的付里叶变换，并定义 为 的反变换。 和 为傅里叶变换对。,（3.1）,（3.2）,【例3.1】求图3.1所示函数,的傅里叶变换。,解：将函数代入到(3.1)式中，得,其幅度谱为,二维信号的图形表示,图3.1 二维信号f (x, y),（a）信号的频谱图 （b）图（a）的灰度图图3.2 信号的频谱图,二维信号的频谱图,3.1.2 二维离散傅里叶变换尺寸为MN的离散图像函数的DFT 反变换可
2、以通过对F(u,v) 求IDFT获得,（3.3）,（3.4）,DFT变换进行图像处理时有如下特点：（1）直流成分为F(0,0)。（2）幅度谱|F(u,v)|对称于原点。（3）图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。,（3.5）,（3.6）,3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质1周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性来了许多方便。我们首先来看一维的情况。设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换：,幅度谱：,（a）幅度谱 （b）原点平移后的幅度谱 图3.4 频谱图,DFT取的区间是0,N-1，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的 ，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点
3、移至u=N/2点。根据定义，有 在进行DFT之前用(-1)x 乘以输入的信号 f (x) ，可以在一个周期的变换中（u0，1，2，N1），求得一个完整的频谱。,（3.7）,推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有： DFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)点的变换值为： 即 f (x,y) 的平均值。如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。,（3.8）,（3.9）,（a）原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图图3.5 图像频谱的中心化,2可分性离散傅里
4、叶变换可以用可分离的形式表示 这里对于每个x值，当v0，1，2，N1时，该等式是完整的一维傅里叶变换。,（3.10）,（3.11）,二维变换可以通过两次一维变换来实现。同样可以通过先求列变换再求行变换得到2D DFT。,图3.6 二维DFT变换方法,3离散卷积定理设f(x,y)和g(x,y) 是大小分别为AB和CD的两个数组，则它们的离散卷积定义为卷积定理,（3.12）,（3.13）,【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %读入图像 imshow(A); %显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换 A
5、2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心figure, imshow(log(abs(A2)+1),0 10); %显示变换后的频谱图,（a）原始图像 （b）图像频谱图3.7 傅里叶变换,3.2 二维离散余弦变换（DCT）,任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。3.2.1 一维离散余弦变换将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。 1以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n) 得：,（3.14）,图3.8 延拓示意图,2以2N为周期将其周期延拓，其中f（
6、0）f（1），f（N1）f（N）,（3.15）,（3.16）,3对0到2N1的2N个点的离散周期序列 作DFT，得令i2Nm1，则上式为,为了保证变换基的规范正交性，引入常量，定义：,F(k)C(k),C(k)=,（3.17）,其中,（3.18）,3.2.2 二维离散余弦变换,（3.19）,DCT逆变换为 【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。 解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %读入图像 I=dct2(A); %对图像作DCT变换 subplot(1,2,1),imshow(A); %显示原图像 subplot(1,2,2),imshow(log
7、(abs(I),0 5);,（3.20）,（a）原图 （b）DCT系数图3.10 离散余弦变换,3.3 二维离散沃尔什-哈达玛变换（DHT）,前面的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是余弦型。图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。沃尔什（Walsh）变换。沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，非常便于计算机运算。沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换。,3.3.1 哈达玛变换,哈达玛矩阵：元素仅由1和1组成的正交方阵。正交方阵：指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者
8、说它们对应元素之和为零。哈达玛变换要求图像的大小为N2n 。一维哈达玛变换核为 其中， 代表z的二进制表示的第k位值。,（3.21）,一维哈达玛正变换为 一维哈达玛反变换为 二维哈达玛正反变换为,（3.22）,（3.23）,（3.24）,（3.25）,二维哈达玛正、反变换也具有相同形式。正反变换都可通过两个一维变换实现。高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：N8的哈达玛矩阵为,（3.26）,（3.27）,3.3.2 沃尔什变换哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的变换就成为沃尔什（Walsh）变换。 一维Walsh变换核为 二维沃尔什正变换和反变
9、换为,（3.28）,N8时的沃尔什变换核的值为 3.4 卡胡南-列夫变换（K-L变换）Kahunen-Loeve变换是在均方意义下的最佳变换。优点：能够完全去除原信号中的相关性，因而具有非常重要的理论意义。缺点：基函数取决于待变换图像的协方差矩阵，因而基函数的形式是不定的，且计算量很大。,H8=,（3.29）,3.5 二维离散小波变换,一种窗口大小固定，但形状可改变，因而能满足时频局部化分析的要求的变换。 3.5.1 连续小波变换设 且 ，按如下方式生成的函数族 称为分析小波或连续小波。 称为基本小波或母波a称为伸缩因子，b为平移因子。,（3.30）,3.5.2 离散小波变换把连续小波变换离散
10、化更有利于实际应用。对a和b按如下规律取样： 其中， ； ； ，得离散小波： 离散小波变换和逆变换为,（3.31）,（3.32）,（3.33）,3.5.3 快速小波变换算法【例3.4】应用MATLAB实现小波变换的例子。解：MATLAB程序如下：X=imread(pout.tif); %读入图像imshow(X);cA1,cH1,cV1,cD1 = dwt2(X,bior3.7); %进行二维小波变换A1 = upcoef2(a,cA1,bior3.7,1); H1 = upcoef2(h,cH1,bior3.7,1);V1 = upcoef2(v,cV1,bior3.7,1);D1 = upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192);title(Approximation A1)subplot(2,2,2); image(wcodemat(H1,192);title(Horizontal Detail H1)subplot(2,2,3); image(wcodemat(V1,192);title(Vertical Detail V1)subplot(2,2,4); image(wcodemat(D1,192);title(Diagonal Detail D1),图3.16 小波变换结果图,
