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1、数与代数应用问题的内容主线和教学建议北京教育学院数学系 张丹这里所指的“数与代数应用问题”（以下简称应用问题）是指运用数与代数的知识和方法解决实际生活中的问题，这无疑是学生学习数与代数的重要目标。要讨论这个主题，首先需要说明的是本问为什么使用这个提法，却没有使用大家熟悉的“解决问题” 和“算术应用题” 。与“应用问题 ”相比，“解决问题” 无疑是个更大范畴的概念。这既包括所涉及的领域不仅仅是数与代数的应用，还包括空间与图形、统计与概率以及综合运用所有领域的知识和方法；同时解决问题也不仅仅局限于解决实际问题，还包括解决数学内部的问题。更为重要的，本文所持的观点是把解决问题中的“问题”解释为“非常
2、规 ”的，学生必须经历探索、适当的创造并综合运用数学知识和方法加以解决的问题，即“问题解决”（Problem Solving）。即使都是解决实际问题，解决问题中的“问题” 是具有真实意义的问题，它与学生的实际生活密切相关，往往需要考虑现实生活中的诸多因素，从而具有开放的特点。解决这些问题，学生并无类似熟悉的题目和解法去模仿，需要学生进行探索、讨论和一定的创造。而应用问题中的“问题”，尽管提倡要符合学生实际，并且力求具有一定的开放性，但总体来说，问题已经经过了一定的简化，背景相对简单，其中蕴含的数量关系也往往是学生熟悉的，因此学生所做的工作主要是分析出其中的数量关系，并联系所学的知识和方法加以解
3、决。需要指出的是，对比两者并不是说我们不提倡解决问题，而主要是为了界定这里所讨论的主题。实际上，我们更应以解决问题为理念和目标，指导应用问题的教学，比如注重学生思考的过程，设计的题目要符合学生的生活经验，适当设计具有开发性的问题。算术应用题是传统小学数学课程的重要内容，在全日制义务教育数学课程标准（实验稿）（以下简称标准）中没有使用算术应用题的名词，并且提倡将计算和应用结合起来，这并不是削弱应用题的教学。实际上，传统算术应用题教学在整个小学阶段对学生发展产生了重要的作用，但也确实存在着一些问题：第一，在学生解答的应用题中，很大一部分的内容远离他们的生活，造成了应用题“不应用” 。第二，过于注重
4、问题的类型和固定解法，套搬题型的现象比较严重。诚然，这样做可以提高学生解符合“题型”的问题时的速度。但设置应用题的目的是培养学生解决实际问题的能力，如果忽视对问题实际意义和数学意义的理解，只是套搬题型，学生的解决问题的能力又如何能提高？同时，原有应用题的分类，在数学逻辑上无疑是正确的，但是否是学生真正思考问题和解决问题的途径呢，学生是否必须要经历分辨题型才能解决问题呢，这些都需要认真思考。第三，呈现形式单一，基本上是纯文字叙述，同时所提供的信息往往是不多不少，这既无法激发学生解决问题的动机，又与信息及其呈现形式丰富的现实世界不相符合。这些问题都在一定程度上造成了学生一接触到生活中的实际问题，往
5、往感到无从着手。第四，目前在小学高年级将使用方程解决应用题，再使用算术应用题的提法显然也不科学。随着代数的方法不断地渗透到小学数学中来，一些繁难的应用题的算术解法应该得到淡化。综上所述，为了既继承原有的算术应用题教学中的优势，又避免其中的问题，更好的反映小学数学课程所追求的目标，本文没有使用“算术应用题”，而采取了“应用问题”的说法。经过几年实践，教师们对于标准中应用问题设计的理念普遍认同，但在具体教学中又出现了一些新的疑惑。实验教材将应用与计算结合在一起出现，将解决实际问题作为数与运算学习的自然组成部分，这无疑是重要并且应该坚持的。但由于缺乏相应的系统思考和研究，造成教师们在教学时往往把握不
6、好每节课应该以应用为重还是计算为重？另外，不以传统的类型为线索，实验教材在应用问题的安排方面是否存在其他基本线索呢？没有传统的应用题类型，不去训练学生记忆一些基本应用题的类型，如何指导学生去分析问题和解决问题呢？这些问题无疑都是需要认真思考和交流的。图 1 呈现了笔者认为的应用问题内容中的基本线索。下文将具体阐述这些线索，并提出一些教学策略和建议。应用问题运算的实际背景表征和分析数量关系分析问题和解决问题的策略基本的数量关系解的检验图 1 应用问题的内容主线一、以四则运算的实际背景为线索，注重学生对于运算意义的理解为了解决问题，学生首先需要学习在什么实际背景中应该用加法、减法、乘法或除法来解决
7、问题，即四则运算的实际背景，有人也称之为四则运算的意义。四则运算实际背景的不断丰富构成了教材编写的一条线索，教师应该对此加以梳理，并且思考如何能帮助学生理解和积累这些背景。1.注重“实际背景 ”的积累“以加法做合并或移入的模型；以减法做拿走、比较、移出或加法逆运算的模型；以乘法做大小的变化、交叉相或比率因子的使用的模型；以除法做比、率、比率除法、大小变化除法或乘法的逆运算的模型”1。文中的“合并” 、“移入”等笔者理解实际上就是指四则运算的实际背景。例如，对于乘法的学习，在二年级开始时，教材一般会提供一些具有“相等的数的和”的结构的实际情境，然后从中抽象出乘法；然后，学生将开始接触到具有“倍”
8、的实际情境；在三年级面积学习时，学生又接触到乘法在“求长方形面积”的实际情境中的运用。这些对于乘法实际背景的积累将一直延伸到小数、分数的乘法，特别是对于“倍”的认识，将扩充到“几分之几” 。有关“组合” 的实际情境在小学教材中也出现，比如搭配问题，但在小学鼓励学生通过操作、画图等策略加以解决，意在发展学生解决问题的策略，而不需要总结公式。由于实验教材对于运算的实际背景大多安排为“暗线”，这就需要教师对教材进行系统梳理，找到实际背景不断扩充的这条线索。有的教师可能会产生这样的疑问，这和原来的十一类简单应用题类型又有什么不同呢？首先，我们不难看出，实际背景更加丰富了，比如乘法中的面积计算的实际背景
9、。更主要的是，教师明确这些蕴含一定“数学结构”的实际背景，不是要让学生去背诵类似“一个数的几倍是多少”的类型，而是提醒教师，学生此处增加了新的实际背景，学生也许不能从以前的实际背景的经验出发直接还原到运算意义，而是需要经历将新的实际背景与运算意义进行联系的过程，此时在教学中的重点应放在如何实现联系上了。至于二者到底还有什么区别，这正是一个值得研究的问题。2.生活经验、操作、画图的重要性那么，进一步如何实现实际背景与运算意义之间的联系呢？为了使大家更好地理解，我们对比一下两条途径。第一条：问题情境问题类型运算意义第二条：问题情境经验、操作、画图等运算意义在第一条套用类型的教学中，学生需要将问题情
10、境中的数量关系与类型相对应，然后决定用什么运算。比如，看一个在小学低年级学生理解比较困难的问题：例：小勇家养白兔 8 只，灰兔 5 只。白兔比灰兔多多少只？想：已知大数（白兔 8 只）和小数（灰兔 5 只），求相差数。（白兔比灰兔多多少只？）列式：85=3（只）。从上面可以看出，学生遇到了这个问题情境，需要寻找符合哪个类型，发现符合已知大数和小数求差的类型，所以用减法。这样的教学固然可以使学生熟记这些类型，从而熟练套用类型达到快速解题的作用。但确实存在着一些弊端：第一，这些类型相对比较抽象，学生往往不能真正理解，所以就会出现学生找不到大数和小数的情况，或者片面的认识给出的数大就是大数，给出的数
11、小就是小数等错误。第二，在实际生活中遇到没有现成类型的问题，学生往往束手无策。图 2而目前新课程提倡第二类途径，当学生遇到这个问题后，如果能借助经验直接反映出运算意义就直接反映；如果不行，就借助操作、画图等策略帮助学生反映运算意义。看北师大版新世纪教材中的一个例子。如图 2，学生在解决学生比老师多几个人的问题时，或者可以进行实际操作，将老师和学生进行一一对应从而得出答案，并且将这个过程与减法的意义联系起来，从而选择用减法解决问题；或者运用记号等代表学生和老师进行模拟操作；或者直接在纸上画图。这样既避免背诵一些相对抽象的类型，同时又教给了学生操作、画图等基本的解决问题的策略。老师可能又会产生新的
12、困惑：不要“类型”，按照第二种途径，仅仅依靠学生的经验、操作、画图行不行？有多少学生行？如果学生有困难怎么办？要回答这些问题最好的办法是做学生研究。下面列举一些学生研究的结果。案例 1 有多少学生行？2对一年级没有学过“比较” 问题的 34 名学生测试了如下的 6 道题目： =(个) =(盆) 一支钢笔 15 元，比一支签字笔贵 10 元，一支签字笔多少元？测试的结果如表 23：表 23题目 正确人数 正确率第 1 题 32 94.1%第 2 题 30 88.2%第 3 题 31 91.2%第 4 题 30 88.2%第 5 题 16 47.1%第 6 题 13 38.2%从上面的结果可以看出
13、，对于前四道题目学生已经有了较好的经验，通过自主思考就能够独立解决。即使对于学生困难较大的“反序”问题（第 5 题、第 6 题），也有不少学生能够独立完成。实际上，许多实验教材在一年级都不再要求此类问题，而是随着学生年龄的增长自然得到解决，或者运用方程来解决。对于这一点，笔者是表示赞同的。那么学生是如何思考的呢？下面摘录部分的访谈片段（括号内是笔者的注释）：l 对第 1 题的访谈：黑松鼠有 20 个松果，白松鼠有 25 个松果，白松鼠比黑松鼠多几个？师：你来说说这个（第 1 题）。生：我（黑松鼠）有 20 个松果，我（白松鼠）有 25 个松果，我比你多几个？就是用 25-20 还剩 5 个，所
14、以它（白松鼠）就比它（黑松鼠）多 5 个。（此题学生借助以前的学习经验，直接“反映”出用减法解决。）l 对第 4 题的访谈：小亮有小汽车 15 辆，红红比小亮少 5 辆。红红有几辆小汽车？学生先拿出 15 个白棋子，摆成一行。又拿出 10 个黑棋子，摆成一行。教师让学生看着围棋子，说明各表示什么？生：15 个白棋子表示小亮的， 10 个黑棋子表示红红的。师：少的 5 个棋子在哪？学生正确指出“空白处” ，并列式：15-5=10。（此题学生借助操作得出答案，并且“反映”出用减法解决。）实际上，学生正是通过经验、操作、画图等独立完成了题目，即使是对于困难较大的第 5、 6 题，也有部分学生正确列式
15、。案例 2学生的困难是什么？如何帮助学生克服困难？ 3通过访谈，我们发现学生的常见错误有如下几种：第一，不能理解题目中的比较关系，搞不清楚谁和谁比；第二，清楚题目中的比较关系，但不能和运算意义相联系；第三，“看到多就加，少就减”等定势。那么，如何帮助学生克服困难呢，通过操作和画图等手段是否能达到呢？我们还是从访谈中获取信息。下面的两位学生都是在进行第 5 题时，开始列出了错误算式“30-10=20”。老师分别对他们进行了访谈，括号内的文字是笔者的说明与感想。l 对学生甲的访谈师：怎么列式？生：应该用减法，30-10。师：为什么用减法？生：因为“小亮比小红少跳 10 个”，“少”应该用减法。（这
16、是学生中不理解的一个典型表现：见多用加、见少用减）师：你能不能画图表示一下这句话。学生画图。边画边解释。生：小亮跳了 30 个，小亮跳的少，小红跳的多，小红跳了多少个，我觉得应该用减法比较好？（虽然学生仍然没有改正，但画图已经使她产生了“冲突”，对用减法产生了疑问）师：你算一算小红跳了几个？生：30 减 10 等于 20，小红跳了 20 个。师：小红是跳了 20 个吗？生：不是，改用 30+10=40。师：为什么又改用加法了？生：再次读题，上面用减法不对，所以用加法。（重新读题，用数据进行检验，发现并改正了错误。）l 对学生乙的访谈学生读题：在跳绳比赛中小亮跳了 30 个，小亮比小红少跳 10 个，小红跳了多少个？列式：30-10=20。师：你是怎么想的？生：我想 3 减 1，加一个 10。（学生在说计算方法）师：这句话什么意思？（
