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1、第十五章 虚位移原理 15-1 约束、虚位移、虚功 15-2 虚位移原理引言升降台在图示位置平衡，试求升降台在图示位置平衡，试求 油压举升缸筒的拉力油压举升缸筒的拉力F FJHJH。已知力：已知力：F FP P未知力：未知力：1515个个用矢量力学方法求解，需要列一系列方程，用矢量力学方法求解，需要列一系列方程， 较复杂！较复杂！利用标量形式的广义坐标，通过对系统能量和功的分 析，以普遍原理为基础，利用纯数学分析的方法导出基本 的静力学方程及动力学普遍方程。引言具有高度的统一性和普遍性。具有高度的统一性和普遍性。本章重点介绍虚位移原理的工程应用，即应用虚位移原理求解系 统的平衡问题。4工程中大
2、多数物体的运动都受到周围物体的限制，不能任意运动， 这种质点系称为非自由质点系。约束： 对物体（质点或质点系）自由运动预定的限制条件（即可以限制位置，也可以限制速度、加速度）。约束方程：用数学方程描述约束条件的方程。为了研究方便，将常见约束进行分类：-基本概念基本概念 约束5、 约束的分类（1）几何约束-限制质点或质点系在空间几何位置的 约束 ； 运动约束-能限制质点系中质点速度的约束；（微 分约束）例: 曲柄连杆机构的约束方程为x12 + y12 = r2 (x1 - x2)2 + y12 = l 2 y2 = 0 yOA(x1,y1)B(x2,0)r xl 约束例如： 球面摆中质点 M 的
3、约束方程：x2 y2 z2L2-基本概念基本概念CyvcxO x例: 沿直线轨道只滚不滑的车轮。约束方程为：yc = r xc - r = 0 运动约束（2 ）完整约束-微分约束通过积分，全部化为几何约束 ； 非完整约束-不可积分的运动约束；例: 沿直线轨道只滚不滑的车轮。约束方程为：yc = r xc - r = 0 CyvcxO x经过积分后变为： yc = r xc - r = C 非完整约束一般形式为因为完整约束方程中仅含坐标 , 它表现为对质点系的几何位置起限制作用 , 所以这种约束又称为几何约束。因为非完整约束方程中包含有速度投影量 , 它仅表现为对质点速度所加的限制 , 所以这种
4、约束又称为运动约束。(x1,y1,z1,xn,yn,zn; t) = 0( = 1,2,s)（3）定常约束-约束中不含时间t；非定常约束-约束条件随时间变化；图示摆悬挂点O沿铅垂方向的 运动规律： OOlM（x，y）xx yOy（y）yO = asin（t）质点M 的约束方程为：例如：如图所示，摆长随时间而变化的单摆，约束方程:属于非定常约束。如果摆长 Lo 不变，约束方程:x2 y2 Lo2 则为定常约束。（4） 双面约束与单面约束右图中摆锤M 的约束方程为x2+y2 = l 2在约束方程中用严格的等号表示的约束 为双面约束。这种约束如能限制物体向某 一方向运动,则必能限制向相反方向运动。在
5、约束方程中用不等号表示的约束为单面约束。这种约束只能限制物体某个方向 的运动,而不能限制相反方向的运动。左图中摆锤M 的约束方程为x2 + y2 l 2OlM（x，y）xy(刚杆)OlM（x，y）xy（线绳 ）本单元内容只涉及定常的 , 双面的完整约束。 即- 约束中不含时间t 、在约束方程中用严格的等号表示、微分约束通过积分，全部化为几何约束。定义： 质点或质点系（包括刚体），在给定的瞬时和位形上，为约束所容 许的任何无限小的位移，称为虚位移。 虚位移如图，系统中质点在平 衡时本来是不动的，但我们 设想在约束允许条件下，在 图示瞬时和位形上，给某个 质点一个任意的、极其微小 的位移。虚位移可
6、以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示。通常，用 r 表示虚位移矢量，用x 、y 、z 表示虚位移在 x 、y、z 轴上的投影，或者表示 x、y、z 的变分。说明：1、虚位移首先必须满足约束方程； 2、虚位移可以有多个（只要是约束允许的）；3、虚位移和实位移是不同的。设有一个以 x 为基本变量的连续可微函数 y(x)，新函数y1(x)是一条无限靠近于原曲线的新曲线。令 ， 称为函数 y 的变分。 数学基础引言变分变分引言变分变分在本书所涉及的范围内，变分的运算与微分的运算规在本书所涉及的范围内，变分的运算与微分的运算规 则一致。则一致。 虚位移-基本概念基本概念实位移：是需要时间的真
7、正位移,它除了与约束条件有关 外,还与主动力及运动初始条件有关,是系统真实发生的位移 ，实位移只有一个。虚位移：是一个纯粹的几何概念,它仅涉及约束,不涉及 主动力和运动初始条件,也不需要经历时间，是假想的位移 ，或者称可能的位移。例题14-4 铰接于光滑水平面上的直杆OA受力如图所示。画出点A的实位移和虚位移。xyAMOdrdxyAMOr11 2r2在定常的几何约束的情形下 , 约束的性质 与时间无关 , 微小的实位移是虚位移之一。BABAdr r r例题14-5 物块 B 搁置于三棱体 A上,摩擦不计。 画出系统由静止开始运动后物块B的实位移和虚位移。对于非定常约束 , 由于它的位置或形状随
8、时 间而改变 ,而虚位移与时间无关 ,把时间 t 看作常 量； 实位移却与时间有关 ,所以微小的实位移不再是虚位移之一。 广义坐标-基本概念基本概念定义：用来确定质点系位置的一些“独立的参变量”称为该质点系的广义坐标。（广义坐标是标量）曲柄滑块机构（一个广曲柄滑块机构（一个广 义坐标）义坐标）双摆杆机构双摆杆机构 （两个广义（两个广义 坐标）坐标）当广义坐标确定后，质点系中每个质点的位置矢径及坐标都 是广义坐标的函数。 广义坐标-基本概念基本概念质点的虚位移与广义坐标变分的 关系：定义：对具有定常、双面、几何约束的质点系，确定其位置的独立坐标数目称为该质点系的自由度。严格的说，应把质点系独立的
9、虚位移数目（或独立的坐标变分数目）称为质点系的自由度。结合前面的例子说明系统的自由度数。在完整约束下： 独立的坐标数目 = 独立的坐标变分数目 自由度-基本概念基本概念 自由度-基本概念基本概念uu例例2. 2. 一带孔的小球一带孔的小球MM可可 沿直杆自由滑动。已知直沿直杆自由滑动。已知直 杆在平面内绕杆在平面内绕 P P 点以匀角点以匀角 速度速度 转动，同时，转动，同时，P P 点相点相 对于对于x x1 1O O1 1y y1 1以初速度以初速度 v v0 0作作 匀加速直线运动，加速度匀加速直线运动，加速度 为为 a a0 0， 试写出小球试写出小球 MM 的约的约 束方程，并判断其
10、性质，束方程，并判断其性质， 求其自由度。求其自由度。小球沿直杆自由滑动，限制了小球的位置，即小球沿直杆自由滑动，限制了小球的位置，即其中其中P P点的位置坐标：点的位置坐标：自由度：平面自由质点位置坐标为自由度：平面自由质点位置坐标为 2 2，受到，受到1 1 个个完整约束完整约束，得得 自由度-基本概念基本概念1) 几何法在定常约束条件下 , 微小的实位移是虚位移之一。用速度分析的方法来建立质点虚位移之间的关系。OABI1rBrA22例. 求图示机构A点和B点的虚位移解:OA杆作定轴转动 rA= 1 (1) AB杆作平面运动 , I为瞬心 rA = 2 (2)虚位移计算OABI1rBrA2
11、2由(1)(2)式得:2 = 1rB =2 =1也可取1 的转向为顺时针转向,画出虚位移图得出 rA和 rB的表达式与转向为逆时针是一致的。OABxy2) 解析法先写出各质点的坐标关于广义坐标的表达式,再将各式对广义坐标求变分（与求导方法相同）。 广义坐标独立坐标解: xA=l cos yA=l sinxB=2l cos yB=0例题 求图示机构A点和B点的虚位移，OA=AB=lxA = -l1sin yA = l1cos xB = -2l1sin yB = 0定义： 质点或质点系所受的力在虚位移上所做的功称为虚功。虚功有正功和负功，其计算与真实力在实位移上做功的计算方法 一样。但是：因为虚位
12、移是假想的，因而虚功也是假想的，它 不涉及物理过程，也与能量的变化无关。3、虚功:1) 力作虚功W =Fr2)力矩或力偶矩作虚功W= m 定义： 如果在质点系的任何虚位移上，约束反力的虚功之和等于零，则这种约束称为理想约束。式中： F N i 表示第 i 个质点的约束反力；r i 表示第 i 个质点的虚位移。 理想约束工程中有许多约束在一定条件下可看成理想约束，例如：(1) 光滑支承面；(2) 光滑铰链；(3) 不可伸长的柔索；（4）刚体沿固定面纯滚动； 等等。 理想约束(1) 光滑接触面Nr光滑接触面的约束反力恒垂直 于接触面的切面 , 而被约束质点的 虚位移总是沿着切面的 , 即N r N
13、r = 0 0ABCNNr(2) 连接两刚体的光滑铰链设AB杆与BC杆在B点用光滑 铰链连接。由N = N 得得 Nr + Nr = Nr - Nr = 0(3) 连接两质点的无重刚杆连接两质点的刚杆由于不 计自重,均为二力杆。 设质点 M1和M2的虚位移分别为 r1 与r2 则有:r1cos 1 = r2cos 2N1r1 + N2r2= N1r1 cos 1 - N2r2 cos 2 = 0M1M2r1 r2N1N21233如果质点系受的是双面、定常、理想约束，则静止的质点系在给定位置保持平衡的必要且充分条件是：所有作用于质点系的主动力在该位置的任何虚位移上所作虚功之和等于零。. . (a
14、)用数学式表示为：-虚位移原理虚位移原理虚位移原理又称为虚功原理， (a)式又称虚功方程。 解析表达式：. .(b)(b) 式也称为“静力学普遍方程”。虚位移原理的应用1、求解复杂系统的平衡条件2) 利用几何法或解析法求各虚位移之间的关系 3) 计算各主动力的虚功4) 利用虚位移原理求解约束反力1) 画虚位移图例题题：如图所示椭圆规机构中，连杆AB长为l，滑块A、B与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。求：主动力FA与FB之间的关系。ABO-虚位移原理虚位移原理ABOP解：研究对象：整个机构系统。系统的约束为理想约束。用虚位移原理求解。法一根据虚速度法（速度投影定理 或速度瞬心法）可求出虚位移 之间的关系：代入虚功方程解出：-虚位移原理虚位移原理法二 解析法A、B两点坐标：虚功方程坐标变分代入虚功方程解出：-虚位移原理虚位移原理ABOP取为广义坐标例一已知：图示机构，AC = BC = EC = FC = DE = DF = L，忽略摩擦和杆、滑块的自重，杆ACF 及杆BCE 与水平线夹角 =。在D 点作用铅垂力P。求：为保持机构在图示位置平衡，作用于滑块B上的水平力F 的大小。-虚位移原理虚位移原理解： 研究对象：整个机构。受主动力：P ，F取坐标轴如图，列虚功方程：P yDFxB 0 .*（注：方程中各项正负号的
