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1、1三角函数的图象与性质一课标要求：一课标要求：1能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周期性；2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（/2，/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与 x轴交点等） ；3结合具体实例，了解 y=Asin（wx+）的实际意义；能借助计算器或计算机画出 y=Asin（wx+）的图像，观察参数 A，w，对函数图像变化的影响。二要点精讲二要点精讲1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-3 2-5 2 -7 27 2 5 23 2 2- 2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-3 2-5
2、 2 -7 27 2 5 23 2 2- 2-4-3 -2432-oyxy=tanx32 2-32-2oyxy=cotx32 22-2oyx2三角函数的单调区间：的递增区间是，xysin 2222kk，)(Zk 递减区间是； 23222kk，)(Zk 的递增区间是，xycoskk22，)(Zk 递减区间是，kk22，)(Zk 的递增区间是，xytan 22kk，)(Zk 3函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直BAAB 2T 2fx2线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。)(2ZkkxBy 4由 ysinx 的图象
3、变换出 ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 ysinx 的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得1ysin(x)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将 ysinx 的图象上各点
4、的横坐标变为原来的倍(0)，再沿 x 轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得1|ysin(x)的图象。5由 yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找 “五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。6对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；sinyx2xk(,0) kkZ的对称轴为，对称中心为；cosyxxk2(,0)k对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。sin()yAxcos()yAx7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、的正负头 头头 头头 头 头
5、头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。sin()yAxcos()yAx9五点法作 y=Asin（x+）的简图：五点取法是设 x=x+，由 x 取 0、2 来求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图。2 23四典例解析四典例解析题型 1：三角函数的图象例 1函数 yxcosx 的部分图象是（ ）解析：因为函数 yxcosx 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除 A、C，当 x（0，）时，y
6、xcosx0。答案为2D。例 2函数 y=x+sin|x|，x，的大致图象是（ ）3解析：由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|，x，为非奇非偶函数。选项 A、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数。点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。题型 2：三角函数图象的变换例 3试述如何由 y=sin（2x+）的图象得到 y=sinx 的图象。31 3解析：y=sin（2x+）31 3）（ 纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的 3sin312xyxysin313 纵坐标不变个单位图象向右平移xysin3 横坐标不变倍纵坐标扩大到
7、原来的另法答案：（1）先将 y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得 y=sin2x 的图象；31 3 6 31（2）再将 y=sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得 y=sinx 的图象；31 31（3）再将 y=sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍（横坐标不变） ，即可得到 y=sinx 的图象。31例 4 （1 1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？2sin(2) 14yxsinyx（答：向上平移 1 个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，2sin(2) 14yx2sin(2)4yx82sin2yx横坐标扩大到原来的 2 倍得的图象，
8、最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象） ；2sinyx1 2sinyx(2)(2) 要得到函数的图象，只需把函数的图象向_平移_个单位（答：左；） ；cos()24xysin2xy 2题型 3：三角函数图象的应用例 5已知电流 I 与时间 t 的关系式为。sin()IAt（）右图是（0，）sin()IAt|2在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()IAt的解析式；（）如果 t 在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？1 150sin()IAt解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力4（）由图可知 A300。设 t1，
9、t2， 1 9001 180则周期 T2（t2t1）2（）。1 1801 9001 75 150。2 T又当 t时，I0，即 sin（150）0，1 1801 180而， 。|26故所求的解析式为。300sin(150)6It（）依题意，周期 T，即， （0）1 1502 1 150 300942，又 N*，故最小正整数 943。点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。例 6 （1）已知函数 f（x）=Asin（x+） （A0，0，xR R）在一个周期内的图象如图所示，求直线 y=与函数 f（x）图3象的所有交点的坐标。解析：根据图象得 A=
10、2，T=（）=4，27 2=，y=2sin（+） ，21 2x又由图象可得相位移为，=，=.即 y=2sin（x+） 。221 24 21 4根据条件=2sin（） ，=2k+(kZ Z)或=2k+（kZ Z） ，3421x421x3 421x32x=4k+（kZ Z）或 x=4k+（kZ Z） 。6 65所有交点坐标为（4k+）或（4k+） （kZ Z） 。3,63,65点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。（2）在（0，2）内，使 sinxcosx 成立的 x 取值范围为（ ）A （，）（，） B （，）4 2 45 4C （，） D （，）（，）4
11、 45 4 45 23图5解析：C；解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图 1 可得 C 答案。4 45图 1 图 2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选 C。 （如图 2）练函数图像的一部分如右图所示它的解析式是 。)sin(xAy解答：。)32sin(xy解析：先据图象知：，周期为)6(124TT，从而，又。1A26 题型 4：三角函数的定义域、值域例 7 （1）已知 f（x）的定义域为0，1 ，求 f（cosx）的定义域；（2）求函数 y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使 0cosx1，
12、（2）要使 sin（cosx）0，这里的 cosx 以它的值充当角。解析：（1）0cosx12kx2k+，且 x2k（kZ Z） 。2 2所求函数的定义域为xx2k，2k+且 x2k，kZ Z。2 2（2）由 sin（cosx）02kcosx2k+（kZ Z） 。又1cosx1，0cosx1。故所求定义域为xx（2k，2k+） ，kZ Z。2 2点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。例 8已知函数 f（x）=，求 f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。xxx 2cos1cos5cos624解析：由 cos2x0 得 2xk+，解得 x，kZ
13、 Z，所以 f（x）的定义域为x|xR R 且 x，kZ Z，2 42k 42k因为 f（x）的定义域关于原点对称，且 f（x）=f（x） 。xxx xxx 2cos1cos5cos6 )2cos(1)(cos5)(cos62424所以 f（x）是偶函数。又当 x（kZ Z）时，42k6f（x）=。1cos32cos) 1cos3)(1cos2( 2cos1cos5cos622224 xxxx xxx所以 f（x）的值域为y|1y0，函数 ysin2 的图象向右平移个单位后与原图象重(x 3)4 3 合，则 的最小值是 ( )A. B. C. D32 34 33 2 二、填空题 6已知函数 f(x)(sin xcos x)sin x，xR R，则 f(x)的最小正周期是_ 7(2009海南)ysin(x)(0，0，x(，)，00，0，|0，min.故选 C.5 33.解析：由图象知最小正周期 T，2 3(5 44)2 3f0，f
