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1、1三角函数的图象与性质一课标要求:一课标要求:1能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像,了解三角函数的周期性;2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0,2,正切函数在(/2,/2)上的性质(如单调性、最大和最小值、图像与 x轴交点等) ;3结合具体实例,了解 y=Asin(wx+)的实际意义;能借助计算器或计算机画出 y=Asin(wx+)的图像,观察参数 A,w,对函数图像变化的影响。二要点精讲二要点精讲1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-3 2-5 2 -7 27 2 5 23 2 2- 2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-3 2-5
2、 2 -7 27 2 5 23 2 2- 2-4-3 -2432-oyxy=tanx32 2-32-2oyxy=cotx32 22-2oyx2三角函数的单调区间:的递增区间是,xysin 2222kk,)(Zk 递减区间是; 23222kk,)(Zk 的递增区间是,xycoskk22,)(Zk 递减区间是,kk22,)(Zk 的递增区间是,xytan 22kk,)(Zk 3函数BxAy)sin(),(其中00A最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直BAAB 2T 2fx2线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。)(2ZkkxBy 4由 ysinx 的图象
3、变换出 ysin(x)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 ysinx 的图象向左(0)或向右(0平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0),便得1ysin(x)的图象。途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将 ysinx 的图象上各点
4、的横坐标变为原来的倍(0),再沿 x 轴向左(0)或向右(0平移个单位,便得1|ysin(x)的图象。5由 yAsin(x)的图象求其函数式:给出图象确定解析式y=Asin(x+)的题型,有时从寻找 “五点”中的第一零点(,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。6对称轴与对称中心:的对称轴为,对称中心为;sinyx2xk(,0) kkZ的对称轴为,对称中心为;cosyxxk2(,0)k对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。sin()yAxcos()yAx7求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、的正负头 头头 头头 头 头
5、头头 头头 头 头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;8求三角函数的周期的常用方法:经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。sin()yAxcos()yAx9五点法作 y=Asin(x+)的简图:五点取法是设 x=x+,由 x 取 0、2 来求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点作图。2 23四典例解析四典例解析题型 1:三角函数的图象例 1函数 yxcosx 的部分图象是( )解析:因为函数 yxcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除 A、C,当 x(0,)时,y
6、xcosx0。答案为2D。例 2函数 y=x+sin|x|,x,的大致图象是( )3解析:由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|,x,为非奇非偶函数。选项 A、D 为奇函数,B 为偶函数,C 为非奇非偶函数。点评:利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。题型 2:三角函数图象的变换例 3试述如何由 y=sin(2x+)的图象得到 y=sinx 的图象。31 3解析:y=sin(2x+)31 3)( 纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的 3sin312xyxysin313 纵坐标不变个单位图象向右平移xysin3 横坐标不变倍纵坐标扩大到
7、原来的另法答案:(1)先将 y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得 y=sin2x 的图象;31 3 6 31(2)再将 y=sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得 y=sinx 的图象;31 31(3)再将 y=sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到 y=sinx 的图象。31例 4 (1 1)函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象?2sin(2) 14yxsinyx(答:向上平移 1 个单位得的图象,再向左平移个单位得的图象,2sin(2) 14yx2sin(2)4yx82sin2yx横坐标扩大到原来的 2 倍得的图象,
8、最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象) ;2sinyx1 2sinyx(2)(2) 要得到函数的图象,只需把函数的图象向_平移_个单位(答:左;) ;cos()24xysin2xy 2题型 3:三角函数图象的应用例 5已知电流 I 与时间 t 的关系式为。sin()IAt()右图是(0,)sin()IAt|2在一个周期内的图象,根据图中数据求sin()IAt的解析式;()如果 t 在任意一段秒的时间内,电流都能取得最大值和最小值,那么 的最小正整数值是多少?1 150sin()IAt解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力4()由图可知 A300。设 t1,
9、t2, 1 9001 180则周期 T2(t2t1)2()。1 1801 9001 75 150。2 T又当 t时,I0,即 sin(150)0,1 1801 180而, 。|26故所求的解析式为。300sin(150)6It()依题意,周期 T,即, (0)1 1502 1 150 300942,又 N*,故最小正整数 943。点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中,读图、识图、用图是形数结合的有效途径。例 6 (1)已知函数 f(x)=Asin(x+) (A0,0,xR R)在一个周期内的图象如图所示,求直线 y=与函数 f(x)图3象的所有交点的坐标。解析:根据图象得 A=
10、2,T=()=4,27 2=,y=2sin(+) ,21 2x又由图象可得相位移为,=,=.即 y=2sin(x+) 。221 24 21 4根据条件=2sin() ,=2k+(kZ Z)或=2k+(kZ Z) ,3421x421x3 421x32x=4k+(kZ Z)或 x=4k+(kZ Z) 。6 65所有交点坐标为(4k+)或(4k+) (kZ Z) 。3,63,65点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。(2)在(0,2)内,使 sinxcosx 成立的 x 取值范围为( )A (,)(,) B (,)4 2 45 4C (,) D (,)(,)4
11、 45 4 45 23图5解析:C;解法一:作出在(0,2)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标和,由图 1 可得 C 答案。4 45图 1 图 2解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C。 (如图 2)练函数图像的一部分如右图所示它的解析式是 。)sin(xAy解答:。)32sin(xy解析:先据图象知:,周期为)6(124TT,从而,又。1A26 题型 4:三角函数的定义域、值域例 7 (1)已知 f(x)的定义域为0,1 ,求 f(cosx)的定义域;(2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域;分析:求函数的定义域:(1)要使 0cosx1,
12、(2)要使 sin(cosx)0,这里的 cosx 以它的值充当角。解析:(1)0cosx12kx2k+,且 x2k(kZ Z) 。2 2所求函数的定义域为xx2k,2k+且 x2k,kZ Z。2 2(2)由 sin(cosx)02kcosx2k+(kZ Z) 。又1cosx1,0cosx1。故所求定义域为xx(2k,2k+) ,kZ Z。2 2点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线。例 8已知函数 f(x)=,求 f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域。xxx 2cos1cos5cos624解析:由 cos2x0 得 2xk+,解得 x,kZ
13、 Z,所以 f(x)的定义域为x|xR R 且 x,kZ Z,2 42k 42k因为 f(x)的定义域关于原点对称,且 f(x)=f(x) 。xxx xxx 2cos1cos5cos6 )2cos(1)(cos5)(cos62424所以 f(x)是偶函数。又当 x(kZ Z)时,42k6f(x)=。1cos32cos) 1cos3)(1cos2( 2cos1cos5cos622224 xxxx xxx所以 f(x)的值域为y|1y0,函数 ysin2 的图象向右平移个单位后与原图象重(x 3)4 3 合,则 的最小值是 ( )A. B. C. D32 34 33 2 二、填空题 6已知函数 f(x)(sin xcos x)sin x,xR R,则 f(x)的最小正周期是_ 7(2009海南)ysin(x)(0,0,x(,),00,0,|0,min.故选 C.5 33.解析:由图象知最小正周期 T,2 3(5 44)2 3f0,f