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1、一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课 内容教学目标教学目标(一)提高学生对于根的判别式的运用能力；(二)提高学生对于根与系数关系的运用能力. 教学重点和难点教学重点和难点重点：会用根的判别式及根与系数关系解题.难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备 的 条件.特别是容易忽略隐含条件. 教学设计过程教学设计过程(一)复习1.已知一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0).(1) 它的根的判别式是什么?用什么记号表示根的判别式?(b2-4ac,用表示)(2) 叙述一元二次方程根的判别式的性质.(一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)当0 时，有两个不
2、相等的实数根；当=0 时，有两个相等的实数根；当0 时， 没有实数根.反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，0，有两个相等的实数根时，=0； 没有实数根时，0)2.(1)已知 x1,x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根，那么 x1+x2=?,x1x2=?(2)上述性质的逆命题怎样叙述?此逆命题是否成立?3.对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面(即原命题与逆命题) 都 知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性质的综合性较强的问题，还需要训练.(二)新课例 1 P 为何值是，方程 x2+3x+3+P(x2+x)=0(1) 有两个相等实根；(2)试作一个一元
3、二次方程，使 P 的这些值是这个方程的根.分析：从根的判别式性质，可求出 P 值，从而写出所求的一元二次方程.但根据方程根 的性质，可使解题过程简单些.解：欲使方程 x2+3x+3+p(x2+x)=0 有等根，则方程(1+p)x2+(3+p)x+3=0 的根的判别式 应 等于零.即=(3+P)2-12(1+p)=0,整理，得 p2-6p-3=0.由已知 P 是所求方程的根，因此二次方程 x2-6x-3=0 就是所求方程.例 2 若 ， 是方程 x2+x-1=0 的两根， 求证：(1)2=+2,2=+2; 分析：由根与系数关系及方程根的定义，列出有关等式，由此得出(1)的结论.证明：由 , 是方
4、程 x2+x-1=0 的两根，得2+-1=0, 2+-1=0. 由根与系数关系，得+=-1, =-1. 由，得 =-1, 式平方，得 2=2+2+1. 由2=2+1=2+-1+2,把代入，得 2=0+2,所以 2=+2.由 =-1, 式平方，得 2=2+2+1, 由 2=2+1=2+-1+2,把代入，得 2=0+2,所以 2=+2;例 3 m 取什么值时，方程.(1) 有两个实根； (2)有一个根为零； (3)两根异号； (4)有两个正数根.解：(1)=(-2m)2-4(2m-1)=4m-8m+4=-4m+4=4(-m+1).令0,即 4(-m+1)0，所以 m1. 又由 m 可知，必须 m0
5、 ，把，结合在一起，当 0m1 时，原方程有两个实根；注意 此问的解答中，容易忽略条件.(2) 由已知，两根之积为零，即 2m-1=0,所以 m=时， ，原方程有一个根为零；(3) 由已知，两根之积为负值，即 2m-10,所以 m时，原方程两根异号；(4) 设两根都是正数，应先把已知条件转化为方程或不等式，再计算出 m 值.由 x10, x20，所以 x1+x20 及 x1x20, 即但是仅凭条件，还不足以说明两根都是正数，还必须有条件0,即 =4(-m+1)0. 由，得不等式组答：当m1 时，原方程有两个正数根.注意：如果忽略了条件，即答m 时原方程有两个正数根，这个答案就错了.例如取 m=
6、4，原方程为 x2-4x+7=0,但是这个方程的根的判别式.=(-4)2-47=-80，即方程 x2 -4x+7=0 没有实根，也就没有正根了.(三)课堂练习 取什么值时，关于 x 的二次方程 x2+2ax+2a2-1=0 的两根中至少有一个是正根.(提示：两根中至少有一个正根，包括三种情况(1)两根都是正数；(2)一个正根，一个 负根；(3)一个正根，一个根为零.由(1)，列出条件组(四)小结1.在用根的判别式及根与系数关系解题时，不要忽略隐含条件，像例 3 第(4)问中的条 件0.2.在计算时，也不要忽略算式隐含的条件，像例 3 第(1)中隐含的条件 m0.(五)作业1.求作一个一元二次方
7、程，使其根与已知方程 ax2+bx+c=0 的根的比为 m.2.如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的二根之比为 2:3,求证：6b2=25ac.3.已知 u=16x2+12x+39,=9x2-2x+11,求：对于二次式 u+k 是一个完全平方式的常数 k 的值.4.c 为实数，且 x2-3x+c=0 中有根一相反数是方程 x2+3x-c=0 的一个根，求方程 x2-3x+c=0 的根.5.k 是什么值时，关于 x 的方程(k2-1)x2-6(xk-1)x+72=0 有两个不相等的正整数根.作业的答案或提示2.由于原方程两根之比为 2：3，所以可设两根为 2k，3k，于是4.设 a
8、是 x2-3x+c=0 的一个根，且是方程 x2+3x-c=0 的根，则有-得 2c=0,所以 c=0,代入 x2-3x+c=0,得 x2-3x=0，解此方程得 x1=0,x2=3.5.因为方程要有两个根，此方程必定是一元二次方程，二次项系数必定不是零即 k2-1 0 得 k1 ,又因为两实根不相等，0.即-6(3k-1)2-472(k2-1)0,得 k3.要使 x1,x2都是整数，必须 k+1 能整除 12，且 k-1 能整除 6.由 k+1 能整除 12，k+1 可为 1,2,3,4,6,12 即 k 可为 0,1,2,3,5,11. 由 k-1 能整除 6，k-1 可为 1,2,3,6
9、即 k 可为 2,3,4,7. 由，的共同解为 k=2,k=3,但由知 k3,所以只能取 k=2.答：k=2 时，原方程有两个不相等的正整数根.注意：不要忽略原题中一些关键词所含的条件.像“两个” ，限定了 k1，像“不相等” ，限定了0，即 k3，像“正整数” ，限定了 k+1 可为 1,2,3,4,6,12 且 k-1 可为 1,2,3,6.课堂教学设计说明1.在复习旧知识时，把根的判别式及根与系数关系的原定理与逆定理都提出，并着重 提 醒学生记住.2.例 1 不仅用到根的判别式性质，还用到方程根的概念.例 2 不仅用到根与系关系，还 用到了方程根的概念.这两个例题中的“方程的根”这个条件容易被忽略.3.综合运用根的判别式性质与根与系数关系时，往往容易忽略某些条件.例 3 就是要说 明这一点，尤其是例 3 的第(4)问.
