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1、1以知过点以知过点的直线的直线 与曲线与曲线交于两个不同点交于两个不同点和和，求曲线，求曲线(0,1)l1:(0)C yxxxMN在点在点、处的切线的交点轨迹。处的切线的交点轨迹。CMN解：设的坐标分别为和，曲线在点、处的切线分别为，,M N11( ,)x y22(,)xyCMN12,l l其交点的坐标为。若直线 的斜率为，则 的方程为P(,)ppxylkl1ykx由方程组，消去，得，即。由题意知，该方11yxx ykx y11xkxx2(1)10kxx 程在上有两个相异的实根，故，且(0,)12,x x1k 121214(1)0(1) 130(2)114 10(3)1kxxkkx xk A对
2、求导，得，。于是，直线的方程1yxx 1 22 1111,1x xyyxx 则 2 2 211x xyx 1l为，即，112 11(1)()yyxxx112 1111()(1)()yxxxxx化简后得到直线的方程为：，1l2 1112(1)(4)yxxx同理可求得直线的方程为：，2l2 2212(1)(5)yxxx得：，因为，故有：，(4)(5)22 21121122()0pxxxxx12xx12122(6)px xxxx将两式代入式得(2),(3)(6)2px 得：，(4)(5)22 121211112(2()2()(7)ppyxxxxx其中 121212111xx xxx x222 212
3、121212 222222 1212121212()2112()12(1)21xxxxx xxxkkxxx xx xx xx x 代入得：，而，得，又由得：(7)2(32 )2ppyk x2px 42pyk314k，即点的轨迹为，两点间的线段（不含端点） 。522pyP(2,2)5(2, )22 2在周长为定值的在周长为定值的ABCABC 中，已知中，已知|AB|=6|AB|=6，且当顶点，且当顶点 C C 位于定点位于定点 P P 时，时，cosCcosC 有最小值为有最小值为. .257(1).(1).建立适当的坐标系，求顶点建立适当的坐标系，求顶点 C C 的轨迹方程的轨迹方程. .(2
4、).(2).过点过点 A A 作直线与作直线与(1)(1)中的曲线交于中的曲线交于 M M、N N 两点，求两点，求的最小值的集合的最小值的集合. .|BNBM 解：(1) 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以 C 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1|182 |236|2|)|(| |26|cos22222 CBCAa CBCACBCACBCA CBCACBCAC又 ，所以 ，由题意得 .22)22(|aaCBCA2181cosaC25,2571812 2aa 此时，
5、|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，4).所以 C 点的轨迹方程为 )0(1162522 yyx(2) 不妨设 A 点坐标为 A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线 MN 的倾斜角不为 900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0) 1169(83)16251(2 222 kxkxk显然有 0， 所以 222122212516400225,2516150 kkxxkkxx而由椭圆第二定义可得 25165311442553125251614453125251614481 251645025259)(325)535)(535(|222222222121
6、21 kkkk kk kkxxxxxxBNBM只要考虑 的最小值，即考虑取最小值，显然.251653114422kk2516531144 25161 2 k当 k=0 时，取最小值 16.|BNBM 当直线 MN 的倾斜角为 900时，x1=x2=-3,得 16)534(|2 BNBM但 ，故，这样的 M、N 不存在，即的最)0(1162522 yyx0k|BNBM 小值的集合为空集.3已知椭圆已知椭圆 ：（ab0） ，动圆，动圆：，其中，其中 bRa. 若若 A 是椭是椭12222 byax222Ryx圆圆 上的点，上的点，B 是动圆是动圆上的点，且使直线上的点，且使直线 AB 与椭圆与椭圆
7、 和动圆和动圆均相切，求均相切，求 A、B 两两点的距离点的距离的最大值的最大值.AB解：设 A、B，直线 AB 的方程为11, yx22, yxmkxy因为 A 既在椭圆上又在直线 AB 上，从而有 )2(1) 1 (22 1 22 111byaxmkxy将（1）代入（2）得0222222222bmaxkmaxbka由于直线 AB 与椭圆相切，故 04222222222bkabmakma从而可得，（3）2222kabmmkax21同理，由 B 既在圆上又在直线 AB 上，可得，（4）2221kRm mRakx222由（3） 、 （4）得，2222 2 RabRk mRakxx2212 222
8、22 212121222222222222222222222 222 222 221ABxxyykxxkaRaRmRb RmRaR aRRba babRRRababRabR 所以即，当且仅当时取等号baABabR 所以 A、B 两点的距离的最大值为.ABba4椭圆椭圆 x2 + 4y2 = 8 中中, AB 是长为是长为的动弦的动弦 .O 为坐标原点为坐标原点 . 求求AOB 面积的取值范围面积的取值范围 . 25解：令 A, B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,( x 2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y = kx + b , 代入椭圆方程整理得: (4k2 +1)x2 +
9、8kbx + 4(b22) = 0 . 故 x1 + x2 =, x1x2 =. 1482kkb 14)2(422 kb由 = AB2 = (k2+1)(x2x1)2 = (k2+1)(x1+x 2)24 x1x2) =(2(4k2+1)b2) 得到425222) 14() 1(16 kkb2 = 2 (4k2+1) ) 1(64) 14(25222 kk原点 O 到 AB 的距离为 , AOB 的面积 S = , 记 u = , 则有 12kb4512kb11422 kkS 2= (u 2u ) = 4(u)2 1024625 25128 1024625 2564u = 4 的范围为 , (
10、u = 4 为竖直弦 ). 故 u = 时, max S 2 = 4 , 而 u = 1132k 4 , 12564时, min S 2 =, 因此 S 的 取值范围是 . 10242575 2 ,1033255 5在平面直角坐标系在平面直角坐标系中，给定三点中，给定三点 A A（0 0，） ，B B（-1-1，0 0） ，C C（1 1，0 0） 。点。点 P P 到直线到直线xoy34BCBC 的距离是该点到直线的距离是该点到直线 ABAB、ACAC 距离的等比中顶。距离的等比中顶。（）求点）求点 P P 的轨迹方程；的轨迹方程；（）若直线）若直线 L L 经过经过ABCABC 的内心（设
11、为的内心（设为 D D） ，且与，且与 P P 点的轨迹恰好有点的轨迹恰好有 3 3 个公共点，求个公共点，求L L 的斜率的斜率的取值范围。的取值范围。k解：（）直线 AB、AC、BC 的方程依次为。点44(1),(1),033yxyxy 到 AB、AC、BC 的距离依次为。( , )P x y12311|434|,|434|,|55dxydxydy依设，即2222 123,|16(34) | 25d ddxyy得，化简得点 P 的轨迹方程为22222216(34)250,16(34)250xyyxyy或圆 S：22222320171280xyyyy2与双曲线T: 8x（）由前知，点 P 的
12、轨迹包含两部分圆 S： 2222320xyy与双曲线 T：2171280yy28x因为 B（1，0）和 C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上，且 点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。的内心 D 也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆 SABC123ddd1(0, )2D上。直线 L 经过 D，且与点 P 的轨迹有 3 个公共点，所以，L 的斜率存在，设 L 的方程为1 2ykx（i）当 k=0 时，L 与圆 S 相切，有唯一的公共点 D；此时，直线平行于 x 轴，表明1 2y L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点，所以 L 恰好
13、与点 P 的轨迹有 3 个公共点。（ii）当时，L 与圆 S 有两个不同的交点。这时，L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只0k 能有两种情况：情况 1：直线 L 经过点 B 或点 C，此时 L 的斜率，直线 L 的方程为1 2k 。代入方程得，解得。表明直线 BD 与(21)xy (34)0yy5 4( , )3 3E5 4或F(-,)3 3 曲线 T 有 2 个交点 B、E；直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当时，L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。1 2k 情况 2：直线 L 不经过点 B 和 C（即） ，因为 L 与 S 有两个不同的交点，所以1 2k L 与双
14、曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数2281712801 2xyyykx解，消去 y 并化简得2225(8 17)504kxkx该方程有唯一实数解的充要条件是28 170k或2225( 5 )4(8 17)04kk解方程得，解方程得。2 34 17k 2 2k 综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集。12 3420,21726 6过点过点作一条直线和作一条直线和分别相交于分别相交于两点，试求两点，试求)4 ,223( P轴轴、yxNM、的最大值。的最大值。 （其中（其中为坐标原点）为坐标原点）MNONOMO解：过点作一圆与轴、轴分别相切于点 A、B，且使点)4 ,223( Pxy)4 ,223( P在优弧 AB 上，则圆的方程为，于是过点作圆的切线9)3()3(22yx)4 ,223( P和轴、轴分别相交于两点，圆为的内切圆，故xy11,NM11NOMRt61111NMONOM若过点的直线不和圆相切，则作圆的平
