《立体几何中的向量方法(二)----利用向量方法求角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何中的向量方法(二)----利用向量方法求角（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.23.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 ( (二二) ) 利用向量方法求角利用向量方法求角知识点一知识点一 求异面直线所成的角求异面直线所成的角已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都是 1，且A1ABA1ADBAD60，E、F 分别为 A1B1与 BB1的中点，求异面直线 BE 与 CF 所成角的余弦值 解 如图所示，解 如图所示，设 = a a， = b b， = c c.AB AD1AA则| a a | = | b b | = | c c | =1， a,ba,b=b,cb,c=a,ca,c= 60,ab = bc = ac = ，1 2而 = + = a
2、a + c c.BE 1BB1B E 1 2 = + = b b + c c,CF CB BF 1 2| ，| | .BE 14|a|2|c|2ac32CF 32 BE CF (12ac) (b12c) ab acbc c2 ，12141218cos，= , BE CF BE CFBECF 162异面直线 BE 与 CF 夹角的余弦值是 .16 【反思感悟】 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量 法，利用向量求解若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便. 正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 A1D1、A1C1的中点求：异 面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值
3、解 不妨设正方体棱长为 2，分别取 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 所示空间直角坐标系，则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，由(1,0,2)，AE (1，1,2)，得| ，| .CF AE 5CF 6 1043.AE CF 又 = |cos,AE CF AE CF AE CF = cos,30AE CF cos,=,AE CF 30 10异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为30 10知识点二知识点二 求线面角求线面角正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为a，求 AC1与侧面2ABB1A1所成的角 解 方
4、法一 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，取 A1B1中点 M，则 M，连结 AM、MC1，有2(32a，a2， 2a)(0，a2， 2a)3，(0，a,0)，(0,0，a)，1MC(32a，0，0)AB 1AA2由于 = 0， = 0，1MC AB 1MC1AAMC1面 ABB1A1. C1AM 是 AC1与侧面 A1B 所成的角 . = , ，1AC (32a，a2， 2a)AM (0，a2， 2a)02a2.1AC AM a249a24而| a，1AC 3a24a242a23| a，AM a242a232cos , .1AC A
5、M 9a243a 3a232 ， 30，1AC AM 即 AC1与侧面 AB1所成的角为 30.方法二 (法向量法)(接方法一)(0,0，a)，(0，a,0)，1,AA2AB 设侧面 A1B 的法向量 n(，x，y)n0 且 n0AB AA1ax0，且ay0.2xy0，故 n(，0,0) ，1AC (32a，a2， 2a)cos, n.1AC 113 2 23anACnACa 设所求线面角为 ，则 sin|cos.，n| ，30.1AC 124【反思感悟】 】 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再 用向量有关知识求解线面角方法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜 线夹角，再进行
6、换算如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 ABBC2AD，AS平面 ABCD，ADBC，ABBC，且 ASAB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 的余弦 解 由题设条件知，可建立以 AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AS 为 z 轴的空间直角坐标系(如图所示)设 AB1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)(12，0，0)(0,0,1)， (1，1,1)AS CS是底面的法向量，它与已知向量是底面的法向量，AS CS它与已知向量的夹角 90，故有 sincos，CSASCS|AS|CS|11 333于是 cos.1sin263知识点三知识点三
7、 求二面角求二面角如图，四棱锥 PABCD 中，PB底面 ABCD，CDPD，底面 ABCD 为直 角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3.点 E 在棱 PA 上，且 PE2EA.求二面角 ABED 的余弦值 解 以 B 为原点，以 BC、BA、BP 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 设平面 EBD 的一个法向量为 n1(x，y,1)，因为(0,2,1)，(3,3,0)，BE BD5由 得Error!，110,0,nBEnBD 所以Error!， 于是 n1( ， ，1)1212 又因为平面 ABE 的一个法向量为n2(1,0,0)，所以，cosn1，n2.1666所以，
8、二面角 ABED 的余弦值为.66【反思感悟】 几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大 难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向 量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用若 PA平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角 A2PBC 的余弦值 解 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，2(0,0,1)， (，0,0)， (0，1,1)，AP AB 2CP设平面 PAB 的法向量为 m(x，y，z)则 0,0,mAPmAB Error!Error!， 令 x1，则 m(1，0
9、)2设平面 PBC 的法向量为 n(x，y，z)，则6Error!Error!.0,0,n CBn CP 令 y1，则 n(0，1，1)cosm，n.mn|m|n|33二面角 APBC 的余弦值为.33课堂小结：课堂小结： 1两条异面直线所成角的求法(1)向量求法：设直线 a、b 的方向向量为 a、b，其夹角为 ，则有 cos|cos|.|ab|a|b|(2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全 相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角 2直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为
10、 ，a 与 u 的夹 角为 ，则有sin|cos|或 cossin.|au|a|u|3二面角的求法与的夹角(如图所示)AB CD(2)设 n1、n2是二面角 l 的两个面 、 的法向量，则向量 n1与 n2的夹角(或其 补角)就是二面角的平面角的大小(如图所示)一、选择题 1若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角是 150，则 l1与 l2这两条异面直线所 成的角等于( ) A30 B150 C30或 150 D以上均错 答案 A 2若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的 角等于( ) A30 B607C150 D以上均错 答案 B 3直角
11、三角形 ABC 的斜边 AB 在平面 内，直角顶点 C 在 内的射影是 C，则ABC是( ) A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D各种情况都有可能 答案 B解析 0 = = （ +）（+）CA CB CC C A CC C B =|2+.CC C A C B =|2 0,C A C B CC 因 A，B，C不共线，故ACB 为钝角. 4如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，P 分别是棱 CC1，BC，A1B1 上的点，若B1MN90，则PMN 的大小是( )A等于 90 B小于 90 C大于 90 D不确定 答案 A 解析 A1B1平面 BCC1B1，故 A1B1MN
12、，()MPMNMB1B1PMN=0，1MB MNB1PMNMPMN，即PMN90. 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A. B. C. D.12233322答案 B 二、填空题 6若两个平面 ， 的法向量分别是 n(1,0,1)，(1,1,0)则这两个平面所成的 锐二面角的度数是_ 答案 60解析 cosn， .n，120.12 2127正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 DD1，B1C1的中点，P 是棱 AB 上的8动点，则 A1M 与 PN 所成的角是_ 答案 90 解析 设正方体每边之长为 1，因1111A MA DD M = ，11A D12D1D，PNPB BB112B1C11A M PN(A1D112D1D)1111 2PBBBB C = 0，11A D12
