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1、新课标高二数学同步测试新课标高二数学同步测试（21 第三章 3.1）说明说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题 时间 120 分钟 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分） 1在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 AC 与 BD 的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的BA1a11DAbAA1cMB1向量是（ ）ABcba21 21cba21 21CDcba21 21cba21 212在下列条件中，使 M 与 A、B、C 一定共面的是（
2、 ）A B OCOBOAOM 2OCOBOAOM21 31 51C DMCMBMA0OCOBOAOM03已知平行六面体中，AB=4，AD=3，ABCDABC D5AA 090BAD，则等于（ ）060BAADAA ACA85 B C D50855 24与向量平行的一个向量的坐标是（ ）(1, 3,2)a A （，1，1） B （1，3，2） 31C （，1） D （，3，2）21 23225已知 A（1，2，6） ，B（1，2，6）O 为坐标原点，则向量的夹角是（ ,OAOB 与）A0 B C D23 26已知空间四边形 ABCD 中，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA，NcOC，bOB，
3、aOA为 BC 中点，则=（ ）MNA Bcba21 32 21cba21 21 32图C D cba21 21 21cba21 32 327设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足，000ADAB，ADAC，ACAB则BCD 是（ ） A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定8空间四边形 OABC 中，OB=OC，AOB=AOC=600，则 cos=（）BC，OAABCD021 22 219已知 A（1，1，1） 、B（2，2，2） 、C（3，2，4） ，则ABC 的面积为（ ）ABCD33262610 已知，则的最小值为（ ）), 2(),1 ,1 (ttbttta|ba ABC
4、D55 555 553 511二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分） 11若，则为邻边的平行四边形的面积为 ) 1, 3 , 2(a) 3 , 1 , 2(bba, 12已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、AC，M、N 分别是对边 OA、BC 的中点，点 G在线段 MN 上，且，现用基组表示向量OG，有=xGNMG2OCOBOA,OG，则 x、y、z 的值分别为 OCzOByOA13已知点 A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的形状是 14已知向量，若成 1200的角，则 k= )0 , 3, 2( a) 3 , 0 ,(kb
5、ba,三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)15（12 分）如图，已知正方体的棱ABCDA B C D长为 a，M 为的中点，点 N 在上，且BDAC，试求 MN 的长| 3|A NNC16 （12 分）如图在空间直角坐标系中 BC=2，原点 O 是 BC 的中点，点 A 的坐标是（，0） ，点 D 在平面 yOz 上，且BDC=90，21,23DCB=30.（1）求向量的坐标；ODONMDCBACBADzyx图（2）设向量和的夹角为，求 cos的值ADBC17 （12 分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直18 （12 分）四棱锥 PA
6、BCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形， =2，1，4，AB=4，2，0，=1，2，1.ADAP（1）求证：PA底面 ABCD；（2）求四棱锥 PABCD 的体积；（3）对于向量=x1，y1，z1，=x2，y2，z2，=x3，y3，z3，定义一种运算：abc（）=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算（）的abcABADAP绝对值的值；说明其与四棱锥 PABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（）的绝对值的几何意义.ABADAP19 （14 分）如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱 AA1=2，M、N
7、 分别是 A1B1、A1A 的中点.（1）求的长；BN（2）求 cos的值；11,CBBA（3）求证：A1BC1M.20 （14 分）如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60. （1）证明：C1CBD；（2）假定 CD=2，CC1=，记面 C1BD 为，面 CBD 为，求二面角BD的平面角23的余弦值；（3）当的值为多少时，能使 A1C平面 C1BD？请给出证明.1CCCD参考答案一、1A；解析：=+（）=+)(21111BCBAAABMBBMBc21ba 21a+评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本
8、题考查21bc的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2A；解析：空间的四点 P、A、B、C 共面只需满足且,OCzOByOAxOP既可只有选项 A1zyx3B；解析：只需将，运用向量的内即运算即可，AAADABCA2|CACA4C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即babab/, 05C；解析：，计算结果为1 |cos baba6B；解析：显然OAOCOBOMONMN32)(217B；解析：过点 A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形8D；解析：建立一组基向量，再来处理的值OCOBOA,BCOA9D；解析：应用向量
9、的运算，显然，ACAB ACABACABACAB,sin |,cos从而得ACABACABS,sin|2110C； 二、11；解析：，得，可得结果5672|,cos bababa753,sinba12 ；OCOBOA31 31 61解析：OCOBOAOAOCOBOAOMONOAMNOAMGOMOG31 31 6121)(2132 21)(32 21 32 2113直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222|ACBCAB14；解析：，得39219132|,cos 2 kkbababa39k三、 15解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为 a，所以 B（a，a，0） ，A（
10、a，0，a） ，（0，a，a） ，（0，0，a） CD由于 M 为的中点，取中点 O，所以 M（，） ，O（，a） 因为BDA C2a 2a 2a 2a 2a，所以 N 为的四等分，从而 N| 3|A NNCA C为的中点，故 N（，a） O C4a3 4a根据空间两点距离公式，可得22236|()()()242424aaaaaMNaa16解：（1）过 D 作 DEBC，垂足为 E，在 RtBDC 中,由BDC=90,DCB=30，BC=2，得 BD=1，CD=，DE=CDsin30=.323OE=OBBE=OBBDcos60=1.21 21D 点坐标为（0，） ，即向量 ODTX的坐标为0，
11、.23,21 23,21（2）依题意：，0 , 1 , 0,0 , 1, 0,0 ,21,23OCOBOA所以.0 , 2 , 0,23, 1,23OBOCBCOAODAD设向量和的夹角为，则ADBCcos=.222222020)23() 1()23(0232) 1(023| BCADBCAD105117 证：如图设，则分别为，321,rSCrSBrSASNSMSHSGSFSE,121r，)(2132rr )(21 21rr 321r)(21 31rr 221r由条件 EH=GH=MN 得：223123212132)2()2()2(rrrrrrrrr展开得313221rrrrrr，0)(231
12、rrr1r023rr 0（）即 SABC1r23rr 同理可证 SBAC，SCAB18 （1）证明：=22+4=0，APAB.ABAP又=4+4+0=0，APAD.ADAPAB、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线，AP底面 ABCD.（2）解：设与的夹角为，则ABADcos=1053 416161428 | ADABADABV=|sin|=31ABADAP161411059110532（3）解：|（）|=|43248|=48 它是四棱锥 PABCD 体积的 3 倍.ABADAP猜测：|（）|在几何上可表示以 AB、AD、AP 为棱的平行六面体的体ABADAP积（或以 AB、AD、AP 为
13、棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、 空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运 算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19如图，建立空间直角坐标系 Oxyz. （1）依题意得 B（0，1，0） 、N（1，0，1）| |=.BN3)01 () 10()01 (222（2）依题意得 A1（1，0，2） 、B（0，1，0） 、C（0，0，0） 、B1（ 0，1，2）=1，1，2，=0，1，2，1BA1CB1BA=3，|=，|=1CB1BA61CB5cos=.1BA1CB30101 |1111 CBBACBBA（3）证明：依题意，得 C1（0，0，2） 、M（，2） ，=1，1，2，21,21BA1=，0.=+0=0，A1BC1M.MC121,21BA1MC121 21BA1MC1评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.20 （1）证明：设=，=，=，则| CBaCDb1CCca|=|，=，bCBCDBDba=（）=|cos60|cos60=0，BD1CCbacbcacbcacC1CBD. （2）解：连 AC、BD，设 ACBD=O，连 OC1，则C1OC 为二面角BD的平面角.（+） ，（+）21)(21
