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1、华南农业大学理学院应用数学系Probability一维随机变量及其分布第三章 n离散型随机变量n连续型随机变量n随机变量函数的分布n随机变量及其分布函数Random Variable and Distribution在前面的学习中,我们用字母A、B、C.表 示事件，并视之为样本空间S的子集；针对等 可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事 件的概率。本章，将用随机变量表示事件，以便于采 用高等数学的方法描述、进而研究随机现象。3.1 随机变量及其分布函数随机变量n基本思想将样本空间数量化,即用数字来表示试验的结果n 有些随机试验的结果本来就用数量来表示.例如: 在掷骰子试验中,结果用1,2,3
2、,4,5,6来表示例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的可规定: 用 1表示 “正面” 用 0 表示“反面”Random Variablen 有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了 一个对应关系如果用如果用X表示抽得的红球数，则，则X X的取值为的取值为0 0，1 1，2 2。此时，。此时，“两只红球两只红球”= “= “X X取到值取到值2 2”, , 可记为 X=2 “一红一白一红一白”= = XX=1=1 , ,“两只白球两只白球”XX=0=0 试验结果的数量化例例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中
3、任意抽取2个,观察抽球结果。取球结果为取球结果为: : 两个白球两个白球; ;两个红球两个红球; ;一红一白一红一白1) 它是一个变量2) 它的取值具有一定的概率n随机变量n随机变量的两个特征:设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点 ，均有唯一的实数 与之对应，称 为样本空间上的随机变量。随机变量的定义X 的可能取值为 0,+)Y 的可能取值为 0，1，2，3，.,MX 的可能取值为 0，1上的全体实数。n n例例随机变量的实例某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X。某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.在0，1区间上随机取点，该点的坐标X.如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则“出现偶
4、数点”可表示为： X=2 X=4 X=6“出现的点数小于”可表示为：Xb）=1 P（Xb） =1 - F(b)P（a0, 则称X服从参数为的泊松分布XP()n定义泊松分布 Poisson distribution若随机变量 X 的分布律为:体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以 看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从Poisson分布的n服务台在某时间段内接待的服务次数X；n交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;n矿井在某段时间发生事故的次数;n显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；n单位体积空气中含有某种微粒的数目已知某电话交换台
5、每分钟接到的呼唤次数X服从的泊松分布，分别 求（1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率例解0.000715XP(0.4)例查表计算P(X=4)查表所在的纵列与 c 所在的横行交叉处的概率为泊松定理泊松定理 实际应用中：当n20,p0.05时，即可用近似公式二项分布的泊松近似The Poisson Approximation to the Binomial Distribution记记X X为出事故的次数，则为出事故的次数，则=1- =1- e e-8-8 - 8e- 8e-8-80.9970.9972 2P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1P(X2)=1-P(X=
6、0)-P(X=1) )n 结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总 会发生的！=1-0.98=1-0.98 4 40000-400-400（0.02)(0.980.02)(0.98 399399) )0.9970.9970 0泊松定理例 解某人骑摩托车上街,出事故率为0.02，独立重 复上街400次，求出事故至少两次的概率.400400次上街次上街400400重重BernouliiBernoulii实验实验几何分布其中0 p 1, p+q=1, 则称X服从几何分布 G（p）,记为XG(p)n随机变量X的分布律例 设有独立重复试验序列，事件A在单次试验中发 生的概率为p。设X为A在其中首次发生
7、的试验的次 数，即（X=k）=“A在前面的k-1次试验中都不发 生，而在第k次试验中发生”.则某车间有同类设备50台，各台设备工作互不影 响.如果每台设备发生故障的概率是0.01，且 一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配 备多少维修工人，才能保证设备发生故障但不 能及时维修的概率小于0.02（利用泊松定理近 似计算） 在上例中，如果由一人负责维修30台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率。如果由3人共同维修100台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率。作业：P72-741; 5; 8; 10; 12; 14; 163.3连续型随机变量及其概率密度概率密度函数n 定义设F(x)是随机
8、变量X的分布函数，若存 在非负可积函数 f (x) , 使对任意实数 x ， 有则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.Probability density function p.d.f.由上面的定义可以看出，对于连续型随机变 量，改变密度函数在有限个点上的函数值，不会 改变分布函数的取值.而且分布函数是连续函数.概率密度函数的性质n1.非负性n2.必然事件的概率n3.密度函数的区间上的积分 = 区间上的概率n4.与分布函数的导数关系在x处连续，则对于连续型随机变量X,有P(a X b)= P(aXb)=P(a X b)=P(aXb)X在某区间
9、的概率等于密度函数在此区间的定积分n5.对于连续型随机变量 ,它取任意 指定实数值 的概率为0,即:函数 sinx 是不是某一随机变量的密度函数？如果的取值范围是n Step1: 利用密度函数的性质求出 a例：已知密度函数求概率n Step2: 密度函数在区间的积分得到此区间的概率例：已知分布函数求密度函数（2)X 的密度函数（2）密度函数为解 :当 x1 时01 2 3 4 5yx x 当1 x 5 时例：已知密度函数求分布函数已知连续型随机变量X的概率密度为求 X 的分布函数当 x5 时所以0 1 51例：设顾客在某银行窗口等待服务 的时间X是一随机变量，其密度函 数为X的计时单位为分钟.
10、若等待时间 超过10分钟，则他就离开.设他在1 个月要来银行5次，以Y表示一个 月内他没有等到服务而离开窗口的 次数，求Y的分布律及至少有一次 没有等到服务的概率.已知连续型随机变量X的概率密度为（2） 求 X 的分布函数（2)X 的密度函数均匀分布若连续型随机变量X的概率密度为则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布记为 X U (a, b)Uniform Distributionn定义n分布函数0 a bxX“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可能” 理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区 间的长度而与子区间的位
11、置无关。0 a bx（ ） c d n意义102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客 到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。设随机变量X为候车时间，X 服从（0，5）上的 均匀分布解例XU（0，5）设在-1，5上服从均匀分布，求方程有实根的概率。指数分布若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为的指数分布.Exponential Distributionn定义n分布函数例设X服从参数为3的指数分布，求它的概率密度及和解X的概率密度正态分布 Normal Distribution则称X服从参数为n若连续型随机变量X的概率密度为正态分布的密度函数的性质与图形关于 x = 对称（- ，
12、）升，（，+ ）降n单调性n对称性n拐点中间高两边低y-+x2，对密度曲线的影响正态分布的分布函数F(x) 1x标准正态分布n定义X N（0，1）分布称为标准正态分布 n密度函数n分布函数Standard Normal distributionxx 标准正态分布的概率计算n分布函数概率 = 面积标准正态分布的概率计算n公式n查表n例一般正态分布的标准化n定理查标准正态 分布表n概率计算一般正态分布的区间概率n。n。n。设XN（1，4），求 P(0X1.6)解例设XN（2，9），求 1) P(-1X5)一温度调节调节 器放置在装有某种液体的容器内，调节调节 器调调定在，液体的温度是一个随机变变量
13、，且.（1）若=90，求小于89的概率.至少应为应为 多少？（2）若要求保持液体温度至少为80的概率不低于0.99，问正态分布的实际应用已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分 到低分依次录录取，某人成绩为绩为 78分，问问此人能否被录录 取？某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者的考试成绩n分析首先求出和然后根据录取率或者分数线确定能否录取X的取值几乎都落入以为中心，以3为半径的 区间内。这是因为：0.9974F(x)3准则威布尔分布 Weibull Distribution 若连续型随机变量X的概率密度为其中 是常数，则称X服从参数为 的威布尔分布 记
14、为n定义n分布函数伽玛分布 Gamma Distribution其中 是常数，则称X服从参数为 的伽玛分布记 为 ，其中若连续型随机变量X的概率密度为n定义贝塔分布 Beta Distribution其中 是常数，则称X服从参数为 的贝塔分布记若连续型随机变量X的概率密度为n定义18; 19; 20;22;24作业：P74在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数, 例: 测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：d为随机变量, S 就是随机变量d的函数。的分布。 在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能： n背景一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取 值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。3.4 随机变量函数的分布随机变量的函数随机变量密度函数分布函数设X为离散型 RV, 其分布律为X x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为Y g( x1) g( x2) g( x3) g (xn) pk p1 p2 p3 pn有可能g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加离散随机变量的函数的分布设随机变量X的分布律为X1 0 1 2pk 0.
