物理学热学§1.6 理想气体微观描述的初级理论

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1、普通物理教程 热学杨远贵 淮北师范大学 E-mail: Phone: 136656141901.6理想气体微观描述的初级理论o1.6.1理想气体微观模型o要从微观上讨论理想气体，先应知道其微 观结构。o一、实验证实对理想气体可作如下三条基 本假定，o（一）分子线度比分子间距小得多，可忽 略不计。估计几个数量级：（1）洛施密特常量标准状况下1m3 理想气体中的分子 数，以n0表示。o洛施密特常量的数量级之大，可作如此形象化说明：一个 人每次呼吸量约为410-4 m3，o有410-42.71025个分子,约1022 个分子，而地球上全 部大气约有1044个分子（可从习题2.6.3中估计出）.o故

2、一个分子与人体一次呼吸量的关系恰如一次呼吸量中的 分子总数与整个地球大气分子总数之间的关系。 （2）标准状况下气体分子间平均距离o每个分子平均分配到自由活动体积为1/n0标准状况下1mol气体占有22.41。则 (3)氮分子半径o 已知液氮（温度为77K，压强为0.10Mpa）的密度为 ，氮的摩尔质量Mm = 2810-3kg。o 设氮分子质量为m，则Mm = NAm， = nm,o其中n为液氮分子数密度。o1/n 是每个氮分子平均分摊到的空间体积。o若认为液氮是由球形氮分子紧密堆积而成，且不考虑 分子间空隙，则 o 1/n =(4/3)r3 o其中r是氮分子半径。于是得 比较分子之间平均距离

3、和分子直径o标准状况下理想气体的两邻近分子间平均距离约是 分子直径的10倍左右。o 另外，因固体及液体中分子都是相互接触靠在一起 ，也可估计到固体或液体变为气体时体积都将扩大 103数量级。o需要说明，在作数量级估计时一般都允许作一些近 似假设（例如在前面估计氮分子半径时，假设液氮 中氮分子之间没有间隙），o 看起来这些假设似乎太粗糙，但这种近似不会改变 数量级的大小，o因为人们最关心的常常不是前面的系数，而是10的 指数，故作这种近似假设完全允许.（二）除碰撞一瞬间外，分子间互作用力忽略不计。 分子两次碰撞之间作自由匀速直线运动。分子间引力作用半径约是分子直径的两倍左右o以后将指出，常温常压

4、下，理想气体分子两次碰撞间 平均走过的路程是分子大小200倍左右o 由此可估计到分子在两次碰撞之间的运动过程中基本 上不受其他分子作用，因而可忽略碰撞以外的一切分 子间作用力。o（三） 处于平衡态的理想气体，分子之间及分子与器 壁间的碰撞是完全弹性碰撞。气体分子动能不因碰撞 而损失，在碰撞中动量守恒、动能守恒。o以上就是理想气体微观模型的基本假定，热学的微观 理论对理想气体性质的所有讨论都是建立在上述三个 基本假定的基础上的。气体的各向同性与分子混沌性值得注意的是，处于平衡的气体均具有各向同性，即气 体在各方向上的物理性质都相同，反之称各向异性。由 气体的各向同性可知,平衡态的气体都有分子混沌

5、性。o分子混沌性是指：在没有外场时，处于平衡态的气体分 子应均匀分布于容器中。o在平衡态下任何系统的任何分子都没有运动速度的择优 方向。除了相互碰撞外，分子间的速度和位置都相互独 立。o 对于理想气体，分子混沌性可在理想气体微观模型基 础上，利用统计物理予以证明。o最后需要指出，虽然理想气体是一种理想模型，但实验 指出，在常温下，压强在数个大气压以下的气体，一般 都能很好地满足理想气体方程，这就为理想气体的广泛 应用创造很好条件1.6.2 单位时间内 碰在单位面积器壁上平均分子数o由于大数粒子无规则热运动，气体分子随时都与容器器壁 发生频繁碰撞。但处于平衡态下大数分子所组成的系统应 遵循一定统

6、计规律。o我们把处于平衡态下的理想气体在单位时间内碰撞在单位 面积上的平均分子数称为气体分子碰撞频率或气体分子碰 壁数，以 表示。o显然，在气体状态一定时，其 应恒定不变。o下面是一种最简单的求气体分子碰壁数的方法。先作两条 简化假设。o（1)假设处于平衡态下的理想气体分子沿+x，-x，+y，-y ，+z，-z 6个方向作等概率运动。若气体分子数密度为n，任何一个单位体积中垂直指向长 方形容器任一器壁运动的平均分子数均为n/6 。（2)假设每一分子均以平均速率运动。 显然t时间内,所有向-x方向运动的分 子均移动了距离t时间内碰撞在A面积器壁上的平均 分子数N 等于图中柱体内的分子数。单位时间

7、内碰在单位面积 器壁上的平均分子数为注意：该公式适用于平衡态理想气体。例1.2设某气体在标准状况下的平均速率为 500 m/s,试分别计算1s内碰在1cm2面积及10-19m2面积器壁 上的平均分子数。o解 标准状况下气体分子的数密度o n0 = 2.71025 /m3 故说明气体分子碰撞器壁非常频繁，即使在一个分子截面积 的大小范围内（10-19m2），1s内还平均碰上4.5108次。比较后可发现，虽然前面的推导十分粗糙，但并未产生数 量级的偏差。o这种采用近似模型的处理方法突出了物理思想，揭示了事 物主要特征，而无需作较繁杂的数学计算，是可取的将下面两个公式1.6.3理想气体压强公式o（一

8、）理想气体压强公式o我们知道器壁所受到的气体压强是单位时间内大数 分子频繁碰撞器壁所给予单位面积器壁的平均总冲 量。o这种碰撞是如此频繁，几乎可认为是无间歇的， 所施予的力也是恒定不变的o与推导气体分子碰壁数一样，也可采用不同近似程 度的模型来推导理想气体压强公式。o这里介绍类似前面的最简单的方法，在2.5.1中 ，将再作较严密的推导。o因而在t时间内垂直碰撞在y-z平面的A面积器壁 上的分子数为以A为底,o以 为高的柱体内所有向A运动的分子，这些分子的分子数为若每个分子与器壁碰撞是完全弹性的,每次碰撞产生的动量改变了上节中曾假定，长方体容器的单位体积中均各有n/6个分子 以平均速率向 x,y

9、,z 6个方向运动，即向器壁施予冲量该式称理想气体压强公式。o单位时间的总冲量是力，单位面积的力是压强， 故推导中利用了平均速率近似等于均方根速率的条件，即o下标rms为root mean square的缩写，它表示方根均 。 后面我们会看到理想气体确实有这样的关系, 有意思的是，利用较严密的方法所得到的气体压强 公式仍然是可见由这种近似所产生的误差较小。（二）气体分子平均平动动能为每个气体分子的平均平动动能（其中下标t表示平动） ，即早在1857年，克劳修斯（Clausius）即得到这一关系式。都称为理想气体压强公式，它们都分别表示了宏观量（气体 压强）与微观量（气体分子平均平动动能或均方速

10、率）之间 的关系。必须说明，在推导理想气体压强公式时，认为气体压 强是大数分子碰撞在单位面积器壁上的平均冲击力。o实际上气体压强不仅存在于器壁，也存在于气体内部 ，对于理想气体，这两种压强的表达式完全相同。o将气压计引入气体内部并不能测定气体内部的压强， 因为气压计本身就是一个器壁。o气体内部压强由气体性质决定，它与气压计是否引入 无关。请考虑思考题1.19 。o气体分子碰壁数及气体压强公式均适用于平衡态气体 。o布朗粒子就是因为粒子线度已不属宏观范围，涨落使 表面受到的压强处处作随机变化，因而会产生布朗运 动。只要器壁取宏观尺寸，同一容器器壁上压强必处 处相等。（三）理想气体物态方程的另一形

11、式 p= nkTo理想气体物态方程可改写为o pV = RT = NAkTo p = (NA/V)=(N/V)kT = nkT o这是理想气体方程的另一重要形式，也是联系宏观 物理量（p，T）与微观物理量（n）间的一个重要 公式。o其中k称为玻尔兹曼常量 。oR是描述1mol气体行为的普适常量，而k是描述一个 分子或一个粒子行为的普适恒量，这是奥地利物理 学家玻尔兹曼（Boltzmann）于1872年引入的。o虽然玻尔兹曼常量是从气体普适常量中引出的，但 其重要性却远超出气体范畴，而可用于一切与热相 联系的物理系统。o玻尔兹曼常量k与其它普适常量e（基本电荷量）、 G（引力常量）、c（光速）、

12、h（普朗克常量）一 样，都是具有特征性的常量 o只要在任一公式或方程中出现某一普适常量，即可 看出该方程具有与之对应的某方面特征。o例如凡出现k即表示与热物理学有关；o出现e表示与电学有关；o出现G表示与万有引力有关；o出现c表示与相对论有关；o出现h表示是量子问题等。（四）压强的单位o 压强，又称压力，这一概念不仅被用于热学， 也被用于连续介质力学中（连续介质力学是流体 力学与弹性力学的总称）。o 各国在历史上广泛采用各自不同的单位制，近 数十年才趋于统一用国际单位制（SI制），其压 强单位是帕（Pa），1Pa=1Nm-2。o 但由于历史原因，在气象学、医学、工程技术 等领域的各国文献中常用

13、一些其它单位。o如：巴（bar）、毫米汞柱（mmHg）或称托（ Torr）、毫米水柱（mmH2O）、标准大气压（atm ）、工程大气压（at）、千克力每平方厘米（ kgfcm-2）、千克力每平方毫米（kgfmm-2） 、磅力每平方英寸（1bin-2）、磅力每平方英 尺（1bft-2）等，1.6.4温度的微观意义o（一）温度的微观意义o从微观上理解，温度是平衡态系统的微观粒子热 运动程度强弱的度量。o将p=nkT与比较可得分子热运动平均平动动能它表明分子热运动平均平动动能与绝对温度成正比。 绝对温度越高，分子热运动越剧烈。 绝对温度是分子热运动剧烈程度的度量，这是温度的微 观意义所在。(1) 是

14、分子杂乱无章热运动的平均平动动能，它不 包括整体定向运动动能。o只有作高速定向运动的粒子流经过频繁碰撞改变运动 方向而成无规则的热运动，定向运动动能转化为热运 动动能后，所转化的能量才能计入与绝对温度有关的 能量中。从可看到，粒子的平均热运动动能与粒子质量无关，而仅与 温度有关。2.7中将从这一性质出发引出热物理中又一 重要规律能量均分定理。 应该指出方均根速率例1.3试求T=273K时氢分子的方均根速率Vrms及空气分子的 均方根速率Vrms 解 利用（1.25）式可求出分子的均方根速率1eV=7.74103 K热运动平均平动能量o例1.4在近代物理中常用电子伏特（eV）作为能量 单位，试问在多高温度下分子的平均平动动能为1eV ？1K温度的单个分子热运动平均平动能量相当于多 少电子伏特？o解1eV=1.60210-19 J, o 1eV=7.74103 K热运动平均平动能量o1K温度的热运动平均平动能量=1.2910-4eV。o 问题：氢原子基态电子具有-13.6eV能量，试问 氢原子电离需要多高温度的数量级。o太阳中心的温度为1.5107K,试问在太阳中心,氢原 子将以什么形态出现?