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1、Sm200chupingZ 数学（理科）试题第 1 页 (共 10 页)2012 年 理科数学测试卷选择题部分 (共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1) 设 Py | yx21，xR，Qy | y2x，xR，则(A) PQ(B) QP (C) R PQ (D) Q RP(2) 已知 i 是虚数单位，则12i1i参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A，B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么
2、n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率Pn(k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,，n)Ckn台体的体积公式V=)( 31 2211SSSSh其中 S1,S2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高柱体的体积公式ShV 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式ShV 31其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4R2 球的体积公式3 34RV 其中 R 表示球的半径开始p1，n1nn1P20?输出 p结束(第 3 题)是否ppn2Sm200chupingZ 数学（理科）试题第 2 页 (共 10 页)(A) (B) (C)
3、 3i (D) 3i3i23+i2(3) 若某程序框图如图所示，则输出的 p 的值是(A) 21 (B) 26 (C) 30 (D) 55(4) 若 a，b 都是实数，则“ab0”是“a2b20”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(5) 已知直线 l平面 ，P，那么过点 P 且平行于直线 l 的直线(A) 只有一条，不在平面 内 (B) 有无数条，不一定在平面 内(C) 只有一条，且在平面 内 (D) 有无数条，一定在平面 内(6) 若实数 x，y 满足不等式组 则 xy 的最小值是240, 230, 0,xy xy xy (
4、A) (B) 3 (C) 4 (D) 643(7) 若(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则 a0a1a3a5(A) 122 (B) 123 (C) 243 (D) 244(8) 袋中共有 8 个球，其中 3 个红球、2 个白球、3 个黑球若从袋中任取 3 个球，则所取3 个球中至多有 1 个红球的概率是(A) (B) 9143756(C) (D) 395657(9) 如图，在圆 O 中，若弦 AB3，弦 AC5，则的AO BC 值是(A) 8 (B) 1 (C) 1 (D) 8(10) 如图，有 6 个半径都为 1 的圆，其圆心分别为 O1(0，0)，O2(2，0)，O3
5、(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)记集合 MOii1，2，3，4，5，6若 A，B 为 M的非空子集，且 A 中的任何一个圆与 B 中的任何一个圆均xO1O2O4O5O3O6y(第 10 题)A BOC(第 9 题)Sm200chupingZ 数学（理科）试题第 3 页 (共 10 页)无公共点，则称 (A，B) 为一个“有序集合对”(当 AB时，(A，B) 和 (B，A) 为不同的有序集合对)，那么 M 中 “有序集合对”(A，B) 的个数是(A) 50 (B) 54 (C) 58 (D) 60非选择题部分 (共 100 分)二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小
6、题 4 分, 共 28 分。(11) 若函数 f (x)，则 f (x)的定义域是 21x (12) 若 sin cos ，则 sin 2 12(13) 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 cm3(14) 设随机变量 X 的分布列如下：若数学期望 E (X)10，则方差 D (X) (15) 设 Sn是数列an的前 n 项和，已知 a11，anSnSn1 (n2)，则 Sn (16) 若点 P 在曲线 C1：上，点 Q 在曲线 C2：(x5)2y21 上，点 R 在曲线22 1169xyC3：(x5)2y21 上，则 | PQ | PR | 的最大值是 (17)
7、已知圆心角为 120 的扇形 AOB 半径为 ，C 为 中1AAB正视图俯视图侧视图24234(第 13 题)ABOEDC(第 17 题)X051020P0.10.2Sm200chupingZ 数学（理科）试题第 4 页 (共 10 页)点点 D，E 分别在半径 OA，OB 上若 CD 2CE 2DE 2，则 ODOE 的取值范围是 52三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(18) (本题满分 14 分) 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知tan (AB)2() 求 sin C 的值；() 当 a1，c时，求 b 的
8、值5(19) (本题满分 14 分) 设等差数列an的首项 a1为 a，前 n 项和为 Sn() 若 S1，S2，S4成等比数列，求数列an的通项公式；() 证明：nN*, Sn，Sn1，Sn2不构成等比数列(20) (本题满分 15 分) 四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，E 为 AD 的中点，ABCE 为菱形，BAD120，PAAB，G，F 分别是线段CE，PB 上的动点，且满足(0，1)PFPBCGCE() 求证：FG平面 PDC；() 求 的值，使得二面角 FCDG 的平面角的正切值为2 3(21) (本题满分 15 分) 如图，椭圆 C: x 23 y 23b2 (b0).
9、() 求椭圆 C 的离心率；() 若 b1，A，B 是椭圆 C 上两点，且 | AB | ，3求AOB 面积的最大值.ABCPE（第 20 题）DGFOxy(第 21 题)ABSm200chupingZ 数学（理科）试题第 5 页 (共 10 页)(22) (本题满分 14 分) 设函数 f (x)ln x在 (0，) 内有极值1ax 1e() 求实数 a 的取值范围；() 若 x1(0，1)，x2(1，)求证：f (x2)f (x1)e21e注：e 是自然对数的底数理科数学测试卷参考答案 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本
10、解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分 细则。 二、对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分 1 分。一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分, 满分 50 分。(1) C(2) B(3) C(4) D(5) C(6) B(7) B(8
11、) D(9) D(10)B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。(11) (，11,) (12) (13) 40 (14) 35 3 4(15) (16) 10(17) 1nSn15 214,45三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。Sm200chupingZ 数学（理科）试题第 6 页 (共 10 页)(18) 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。() 解：由题设得 tan C2，从而 sin C 6 分2 5 5() 解：由正弦定理及 sin C得 sin A，2 5 52 5sin B sin
12、 (AC)sin A cos Csin C cos A252 521()5555 ，2 5( 211) 25再由正弦定理 b 14 分sin sinBcC1055 5(19) 本题主要考查等差数列、等比数列的概念、等差数列的通项公式及前 n 项和的公式,同时考查反证法与推理论证能力。满分 14 分。() 解：设等差数列an的公差为 d，则 Snna，(1) 2n ndS1a，S22ad，S44a6d由于 S1，S2，S4成等比数列，因此S1S4，即得 d (2ad)0所以，d0 或 2a2 2S(1) 当 d0 时，ana；(2) 当 d2a 时，an(2n1)a 6 分() 证明：采用反证法
13、不失一般性，不妨设对某个 mN*，Sm，Sm1，Sm2构成等比数列，即因此2 12mmmSSSa2madm(m1)d20， 1 2(1) 当 d0 时，则 a0，此时 SmSm1Sm20，与等比数列的定义矛盾；(2) 当 d0 时，要使数列an的首项 a 存在，必有中的 0然而(md)22m(m1)d2(2mm2)d20，矛盾综上所述，对任意正整数 n，Sn，Sn1，Sn2都不构成等比数列 14 分(20) 本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时Sm200chupingZ 数学（理科）试题第 7 页 (共 10 页)考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15
14、 分。方法一：() 证明：如图以点 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz，其中 K 为 BC 的中点，不妨设 PA2，则，(0,0,0)A(0,0, 2)P，( 3 ,1,0)B( 3 ,1,0)C(0, 2,0)E(0, 4,0)D由，得PFCG PBCE，( 3 , 22 )F( 33 ,1,0)G，( 2 33 ,12,22 )FG 设平面的法向量=(x，y，z)，则PCD0n ，00nPC 00nPD 得 320, 0420,xyz xyz可取=(，1，2)，于是0n 3，故，又因为 FG平面 PDC，即/平面 0n 0FG0n FGFGPDC6 分() 解：，( 33 ,1,22 )FC (3 ,3,0)CD 设平面的法向量，则，FCD1111(,)nxyz 10nFC 10n CD 可取，又为平面的法向
