《数字电子技术基础》第五版 阎石第02章 逻辑代数基础(2)

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1、第2章 逻辑代数基础2.1 概述 基本概念逻辑： 事物的因果关系 逻辑运算的数学基础： 逻辑代数 在二值逻辑中的变量取值： 0、12.2 逻辑代数中的三种基本运算与（AND） 或（OR） 非（NOT ）以A(B)=1表示开关A(B)合上， A(B) =0表示开关A(B) 断开； 以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮； 三种电路的因果关系不同：与 条件同时具备，结果发生 Y=A AND B = A 0= 1 10 A = 0111 + A= 1 21 A = A120 + A = A 3A A = A13A + A = A 4A A= 014A + A = 1 5A B = B A15A +B =

2、 B + A 6A (B C) = (A B) C16A + (B +C) = (A + B) + C 7A (B +C) = A B + A C17A + B C = (A +B)(A +C) 8(A B) = A + B18(A+ B) = AB 9(A ) = A公式（17）的证明（公式推演法）：A + B C = (A +B)(A +C)A + B C = (A +B)(A +C)公式（17）的证明（真值表法）：A B CBCA+B CA+BA+C（A+B）(A+C)0 0 000000 0 0 100010 0 1 000100 0 1 111111 1 0 001111 1 0 1

3、01111 1 1 001111 1 1 111111A + B C = (A +B)(A +C)A + B C = (A +B)(A +C)证明公式（8）和（18）德.摩根定律A BAB(A B) ABA + B0 001111 0 101101 1 001011 1 110000（8 8） (A B) = A + B(A B) = A + B（1818） (A+ B) = AB(A+ B) = ABA BA+B (A +B) ABAB 0 001111 0 110100 1 010010 1 1100002.3.2 若干常用公式 序 号公 式1A + A B = A2A +A B = A

4、+ B3A B + A B = A4A ( A + B) = A5A B + A C + B C = A B + A C A B A C + B CD = A B + A C 6A (AB) = A B ; A (AB) = A 证明公式（5） 证：左边= A B + AC + B C （ A + A）= A B + AC + A B C + AB C = A B （1+ C ）+ AC（1+B）= A B + ACA B + AC + B C = A B + AC引出引出冗余定理：冗余定理：若两个乘积项中分别包含A和 A两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三 个乘积项时，则第三个乘积项是

5、多余的，可以消去 。推论：A B + A C + B C D= A B + AC上次课内容回顾： 二进制运算 原码、反码、补码 三种基本逻辑关系:与 或 非 常用复合逻辑关系 基本逻辑公式和常用逻辑公式2.4 逻辑代数的基本定理 2.4.1 代入定理-在任何一个包含A的逻辑等式中， 若以另外一个逻辑式代入式中A的位置， 则等式依然成立。2.4.1 代入定理 应用举例：式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D)2.4.1 代入定理 应用举例：基本逻辑公式 （8 ）2.4 逻辑代数的基本定理 2.4.2 反演定理-

6、对任一逻辑式求反变换顺序： 先括号，然后“乘”，最后“加” 注意事项：不属于单个变量上的反号保留不变2.4.2 反演定理 应用举例：2.4.3 对偶定理 对偶式：YD 例如：对偶定理：对偶定理：若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也 相等。因此，为证明两个逻辑式相等，可以通过证相等。因此，为证明两个逻辑式相等，可以通过证 明它们的对偶式相等来完成。（基本公式两两对偶明它们的对偶式相等来完成。（基本公式两两对偶 ）回顾冗余定理：A B + A C + B C = A B + A C A B A C + B CD = A B + A C A B A C + B CD.

7、 = A B + A C 对偶式：(A+ B)( A +C )( B+ C) = (A+ B)( A +C)也含有可以消去的冗余项！小结 至此，我们定义了五种逻辑符号 ：0、1、与、 或、非，确立了基本定律（基本公式）和常用 公式，介绍了三种基本规则，它们构成了整个 逻辑代数的基础。任何逻辑问题均可用它们来 描述、推导和变换，这些都是学习数字逻辑电 路最起码的基础知识。2.5.1 逻辑函数 Y=F(A,B,C,)-若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则 输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。 输入/输出之间是一种函数关系。注：在二值逻辑中， 输入/输出都只有两种取值0/1。2.5 逻辑函数

8、及其表示形式2.5.2 逻辑函数的表示方法 真值表 逻辑式 逻辑图 波形图 卡诺图 计算机软件中的描述方式 各种表示方法之间可以相互转换真值表输入变量 A B C输出 Y1 Y2 遍历所有可能的输入 变量的取值组合输出对应的取值 逻辑式逻辑式将输入将输入/ /输出之间的逻辑关系用输出之间的逻辑关系用与与/ /或或/ /非非的运算式的运算式 表示就得到逻辑式。表示就得到逻辑式。 逻辑图逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电 路的实现相对应。路的实现相对应。 波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间 顺序排列起来画成时间波形。 卡诺图 EDA中的

9、描述方式HDL (Hardware Description Language)VHDL (Very High Speed Integrated Circuit )Verilog HDLEDIFDTIF。 举例：举重裁判电路A B CY 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 11 1 1 01 1 1 11各种表现形式的相互转换： 真值表 逻辑式 例：奇偶判别函数的真值表 A=0,B=1,C=1使 ABC=1 A=1,B=0,C=1使 ABC=1 A=1,B=1,C=0使 ABC =1这三种取值的任何一种都使Y=1, 所以 Y= ? AB CY 0000

10、0010 0100 0111 1000 1011 1101 1110 真值表 逻辑式： 找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。 每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取 值为1的写原变量，取值为0的写反变量。 将这些变量相加即得 Y。反之：把输入变量取值的所有组合逐个代入 逻辑式中求出Y，列表练习：将“异或”和“同 或”用与、或、非三种 基本逻辑运算表示？ 逻辑式 逻辑图1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。 逻辑式 逻辑图1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。 2. 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应 的逻辑运算式。 2.5.3 逻辑函数常用表达式形式及转换：（1）与或式或与式

11、公式（17） A + B C = (A +B)(A +C) A + B C = (A +B)(A +C) 分配率分配率 逻辑表达式常用形式有：逻辑表达式常用形式有：与或式、或与式、与或式、或与式、 与非式、或非式、与或非式。与非式、或非式、与或非式。解：（2）与或式与非式（3）与或式或非式解：解：（4）与或式与或非式解：上次课内容回顾： 三个基本定理 逻辑函数、表示方法、相互转换 逻辑表达式常用形式及转换2.5.4 逻辑函数表达式的标准形式1.最小项的定义 在一个逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称 为最小项。（全部变量以原变量或反变量的形 式在乘积项中出现且仅出现一次。） 对于1个变量A来说，

12、最小项有两个：A 、A 对于2个变量A、B来说，最小项有四个：A B、A B、A B 、A B 对于n个变量来说，逻辑函数最小项个数为2n三变量最小项编号方法（简化书写方式）序号A B C最小项二进制代码代号mi 0A B C 0 0 0m0 1A B C0 0 1m1 2A B C 0 1 0m2 3A B C0 1 1m3 4A B C 1 0 0m4 5A B C1 0 1m5 6A B C 1 1 0m6 7A B C1 1 1m72. 最小项性质： 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1 。 全体最小项之和为1 。 任何两个最小项之积为0 。 两个相邻的最小项之和可以合并，

13、消去一对因子，只留 下公共因子。-相邻：仅一个变量不同的最小项如 对于n个变量的逻辑函数，每个最小项有n个相邻项 如，ABC ,相邻项？3.最小项标准表达式 由最小项组成的与或逻辑表达式，称为标准与 或表达式，也称为最小项标准表达式。从函数真值表中可以直接写出最小项标准表达式 例：由真值表写出下面函数 的最小项标准表达式由真值表写出所有使F的值为1的最小项2.6 逻辑函数化简2.6.1 与或式最简的标准 两个最少原则 （1）与项个数最少； （2）每个与项中变量个数最少。 这样，电路简单，实现容易，故障率低。 常用化简方法：代数法、卡诺图法2.6.2 代数法化简逻辑函数 利用公式 AB+ AB=

14、B 可以将函数的两个与项合并例 ：2.吸收法： 利用公式 A+AB=A 吸收多余项例 ：3. 消去法： 利用公式A+ A B =A+B或A + A B = A +B 消去某项的多余因子例 ：4.消项法：利用冗余定理 AB+ A C +BC=AB+ A C 消去多余项BC例 ：利用冗余定理推论 AB+ AC +BCD=AB+ AC5.配项法：利用公式 A+A=A A+ A=1A A =0 给某些逻辑函数适当增加某些项，进 而消去原来函数的某些项，以达到化简的目的。例 ：6.综合举例：上次课内容回顾： 逻辑函数化简（代数法）：消去法、冗余 定理、合并、吸收、配项 最小项的概念，相邻项 卡诺图2.6.3 卡诺图法化简逻辑函数一、卡诺图 1.卡诺图 有n个变量的逻辑函数共有2n个最小项， 如果把每个最小项用一个小方格表示，再 将这些小方格以循环码顺序 排列（即相邻 项按位置相邻排列），就可以构成n个变 量的卡诺图。（1）2变量卡诺图画法： 2个变量的逻辑函数共有4个最小项，需4个小方 格 3个变量的逻辑函数共有8个最小项，需8个小方格 注意：对称于中心线的小方格，也是相邻项（2）3变量卡诺图画法： 4个变量的逻辑函数共有16个最小项，需16个小