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1、第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.1 数字滤波器的基本概念 数字滤波器:输入输出均为数字信号，经过一定运算关系改变输入信号所含频率 成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。优点（与模拟滤波器比）：精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要求阻抗匹配，能实现模 拟滤波器(AF)无法实现的特殊滤波功能。1. 数字滤波器的分类 2. 数字滤波器的技术要求 3. 数字滤波器设计方法概述1. 数字滤波器的分类 ）
2、经典滤波器： 输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分 各占有不同的频带，通过选频滤波器达到目的现代滤波器：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等最佳滤波器（按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号）数字滤波器的频响函数都以 为周期：滤波器的低 通频带处于 整数倍处，高频频带处于 的奇数倍 附近。）从功能上分类：低通、高通、带通、带阻滤波器|H(ej)|c-c-22|H(ej)|2-2-221-1|H(ej)|c-c-22其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。1|H(ej)|2-2-22-1）数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类无限脉冲响应(IIR)滤波器有限脉冲
3、响应(FIR)滤波器2数字滤波器的技术要求通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。(1)数字滤波器的传输函数H(e j) 其中：幅频特性 ：信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况相频特性 ：各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况低通滤波器的技术要求选频滤波器：一般要求幅频特性，相频特性一般不要求（但若对输出波形 有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，如语音合成，波 形传输）若对输出波形有严格要求，则需设计线性相位数字滤波器。实用滤波器：通带：不一定完全水平 阻带：不一定绝对衰减到零 过渡带：通带、阻带之间设置一定宽度的过渡带(2)数字滤波器的幅频特性| H(ej)|的指标过渡带低通数字滤波器的幅
4、频特性技术指标|H(ej)|通带阻带 21-1p0.70701CSp：通带截止频率，通带频率范围：0 p ； S ：阻带截止频率，阻带频率范围：s ； C ：3dB截止频率；P：通带最大衰减；S：阻带最小衰减 1：通带内幅度响应误差范围；2：阻带内幅度响应误差范围；通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，p和s分别定义为：如将|H(ej0)|归一化为1，上两式则表示成当幅度衰减到2/2倍时，所对应频率 c，此时P 3dB，称c为3dB截止频率。1） ：通带边界频率2） ：阻带截止频率） 过渡带：（ ， ）一般单调下降）通带内允许的最大衰减 ）阻带内允许的最小衰减 ） 3dB通带截止频率（ =
5、3dB时的 ）边界频率 ， ，例：低通滤波器的技术要求） IIR滤波器设计方法借助模拟滤波器设计方法：直接设计法：直接在频域或时域设计（需计算机辅助设计）FIR滤波器设计方法窗函数法频率采样法等波纹逼近法需计算机辅助设计）线性相位滤波器设计方法FIR滤波器：常用（相位特性严格线性，这是AF无法达到的）IIR滤波器：必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相位校正1. 3. 数字滤波器设计方法概述3. 数字滤波器设计方法IIR滤波器设计方法：(1)先设计模拟滤波器(AF)的传输函数Ha(s)；然后按某种变换，将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。(2) 借助计算机辅助设计在频域或时域直接
6、进行设计；FIR滤波器设计方法(1)经常采用的是窗函数设计法和频率采样法，(2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器可以选择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 6.2 模拟滤波器的设计各种理想模拟滤波器的幅度特性1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法(1)模拟低通滤波器的设计指标有：p、s、p、s其中：p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率;p是通
7、带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，|Ha(j)|0.707ps通带阻带过 渡 带10 Cps通带过 渡 带阻带(dB) 衰减pS0p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：|Ha(j0)|2|Ha(j0)|2如果=0处幅度已归一化到1，即:|Ha(j0)|=1c称为3dB截止频率，因 (2) 用模拟滤波器逼近方法设计数字IIR滤波器步骤：给出模拟滤波器的技术指标 ；设计传输函数 Ha(s)：使其幅度平方函数满足给定指标p和s ，|Ha(j)|2 = Ha(j)Ha*(j) = Ha(s)Ha(-s)|S=j确定Ha(s)：系统Ha(s)应是稳定的系统，因此
8、，极点应位于S S 左左半平面内半平面内。 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器若干典型滤波器巴特沃斯(Butterworth)滤波器 切比雪夫(Chebyshev)滤波器 椭圆(Cauer)滤波器 贝塞尔(Bessel)滤波器等模拟滤波器的分类（按幅频特性）低通、高通、带通、带阻图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 1） p ：通带截止频率2） s ：阻带截止频率1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标：低通滤波器的幅度特性3）通带(=0p)内允许的最大衰减p 4）阻带s内允许的最小衰减s5） 3dB通带截止频率（ p =3dB时的c ）6）归一化的p和s如果=0处幅度
9、已归一化到1，即|Ha(j0)|=1对于单调 下降的幅 度特性滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此传输函数设计方法：注意：Ha(s)必须是稳定的，因此其极点落在s平面的左 半平面6.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器 1.从模拟滤波器到数字滤波器的设计过程按照设计要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通 滤波器的传输函数Ha(s)，再按一定的转换关系将Ha(s) 转换成数字低通滤波器的系统函数H(Z)。关键问题：将s平面上的Ha(s)转换成Z平面上的H(Z)。为了保证转换后的H(z)稳定
10、且满足技术要求，对转换关系 提出两点要求：(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。即S平面的左半平面Res0,r1另外，注意到z=esT是一 个周期函数，可写成为任意整数图6.3.1 z=esT,s平面与z平面之间的映 射关系模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号的傅里叶变换 之间的关系满足(6.3.7) 将s=j代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.8) (6.3.9) 表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴 按照周期s=2/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射关 系，映射到z平面上，就得到H(z)。图6.3.2 脉冲
11、响应不变法的频率混叠现象（3）混叠失真假设 没有频率混叠现象，即满足按照(6.3.9)式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到：令(4) 与 的关系那么此时极点为 (6.3.11) 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法 )的形式为 (6.3.12) 3.二阶基本节一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 极点为 (6.3.13)(6.3.14) 则对应的数字滤波器的二阶基本阶的形式为6.总结脉冲响应不变法的优点：1.频率坐标变换
12、是线性的，即=T，如果不考虑频率混叠 现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤 波器的频率特性。2.数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲 激响应，时域特性逼近好。脉冲响应不变法的缺点：会产生混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高 通、带阻滤波器的设计。5. 例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。极点为那么H(z)的极点为解： 首先将Ha(s)写成部分分式：转换时，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式进行转换。 首先将Ha(s)写成(6.3.13)式的形式，如极点s1,s2
13、=1j1,则按照(6.3.4)式，并经过整理，得到设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则再按照(6.3.14)式，H(z)为图6.3.3 例6.3.1的幅度特性复习：数字滤波器的幅频响应函数 滤波器的指标常常在频域给出。 数字滤波器的频响特性函数H(ej)一般为复函数， 所以通常表示为H(ej)=|H(ej)|ej()其中， |H(ej)|称为幅频特性函数， ()称为相频特性函数。 常用的典型滤波器|H(ej)|是归一化的， 即|H(ej)|max=1， 对IIR数字滤波器， 通常用幅频响应函数|H(ej)|来描述设计指标。注意： H(ej)是以2为周期的， 这是数字
14、滤波器与模拟滤波器的最大区别。 只给出主值区, 区间上的设计指标描述即可。 1和2分别称为通带波纹幅度和阻带波纹幅度， p为通带边界频率， p为通带最大衰减(dB)， s为阻带边界频率， s为阻带最小衰减(dB)。一般要求：当0|p时， 20lg|(Hej)|p当s|时， s20 lg|H(ej)|当p=3 dB时， 记p为c， 称c为3 dB截止频率。脉冲响应不变法的缺点：频谱混叠，使DF的频响偏离AF的频响特性原因：模拟低通滤波器不是带限于/T，在数字化后 产生 频谱混叠，再通过标准映射关系，使数字滤 波器在附近形成频谱混叠。解决办法：采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴压缩 到/T, /
15、T再利用z=esT转换到Z平面上。脉冲响应不变法的特点1、优点:（1）数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能（2）频率坐标的变换是线性的（3）如果H (s)是稳定的，映射后得到的H(Z)也是稳定的2、缺点：有频谱周期延拓效应只能用于带限的频响特性 高频衰减越大，频响的混淆效应越小3、解决的办法？（1）增加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率的频带会增加设计的复杂性和滤波器阶数（2）克服标准映射关系的多值对应关系设想变换分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混叠现象。6.4 用双线性变换法设计IIR数字 低通滤波器1.双线性变换法的基本原理S平面的整个j轴被压缩到S1平面的2/T 一段。(6.4.3) (6.4.4) 图6.4.1 双线性变换法的映射关系2.模拟频率和数字频率之间的关系令s=j,z=e js平面上与z平面上 的
