12个经典的行程问题

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1、无论是小学奥数，还是公务员考试，还是公司的笔试面试题，似乎都少不了行程问题 题目门槛低，人人都能看懂；但思路奇巧，的确会难住不少人。平时看书上网与人聊天和 最近与小学奥数打交道的过程中，我收集到很多简单有趣而又颇具启发性的行程问题，在 这里整理成一篇文章，和大家一同分享。这些题目都已经非常经典了，绝大多数可能大家 都见过；希望这里能有至少一个你没见过的题目，也欢迎大家来信提供更多类似的问题。让我们先从一些最经典最经典的问题说起吧。选中空白部分显示答案。甲、乙两人分别从相距 100 米的 A 、B 两地出发，相向而行，其中甲的速度是 2 米每秒，乙的速度是 3 米每秒。一只狗从 A 地出发，先以

2、 6 米每秒的速度奔向乙，碰 到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇。问在此过 程中狗一共跑了多少米？这可以说是最经典的行程问题了。不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、 乙两人从出发到相遇需要 20 秒，在这 20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程 就是 120 米。说到这个经典问题，故事可就多了。下面引用某个经典的数学家八卦帖子： John von Neumann 曾被问起一个中国小学生都很熟的问题：两个人相向而行，中间一只狗跑来 跑去，问两个人相遇后狗走了多少路。诀窍无非是先求出相遇的时间再乘以狗的速度。 Neumann 当然瞬间给出了答案。

3、提问的人失望地说你以前一定听说过这个诀窍吧。 Neumann 惊讶道：“什么诀窍？我就是把狗每次跑的都算出来，然后计算无穷级数”某人上午八点从山脚出发，沿山路步行上山，晚上八点到达山顶。不过，他并不是匀 速前进的，有时慢，有时快，有时甚至会停下来。第二天，他早晨八点从山顶出发，沿着 原路下山，途中也是有时快有时慢，最终在晚上八点到达山脚。试着说明：此人一定在这 两天的某个相同的时刻经过了山路上的同一个点。这个题目也是经典中的经典了。把这个人两天的行程重叠到一天去，换句话说想像有 一个人从山脚走到了山顶，同一天还有另一个人从山顶走到了山脚。这两个人一定会在途 中的某个地点相遇。这就说明了，这个人

4、在两天的同一时刻都经过了这里。甲从 A 地前往 B 地，乙从 B 地前往 A 地，两人同时出发，各自匀速地前进，每个 人到达目的地后都立即以原速度返回。两人首次在距离 A 地 700 米处相遇，后来又在距 离 B 地 400 米处相遇。求 A 、 B 两地间的距离。答案： 1700 米。第一次相遇时，甲、乙共同走完一个 AB 的距离；第二次相遇时， 甲、乙共同走完三个 AB 的距离。可见，从第一次相遇到第二次相遇的过程花了两个从出 发到第一次相遇这么多的时间。既然第一次相遇时甲走了 700 米，说明后来甲又走了 1400 米，因此甲一共走了 2100 米。从中减去 400 米，正好就是 A 、

5、 B 之间的距离了。甲、乙、丙三人百米赛跑，每次都是甲胜乙 10 米，乙胜丙 10 米。则甲胜丙多少米？答案是 19 米。 “乙胜丙 10 米”的意思就是，等乙到了终点处时，丙只到了 90 米处。 “甲胜乙 10 米”的意思就是，甲到了终点处时，乙只到了 90 米处，而此时丙应该还在 81 米处。所以甲胜了丙 19 米。哥哥弟弟百米赛跑，哥哥赢了弟弟 1 米。第二次，哥哥在起跑线处退后 1 米与弟弟 比赛，那么谁会获胜？答案是，哥哥还是获胜了。哥哥跑 100 米需要的时间等于弟弟跑 99 米需要的时间。 第二次，哥哥在 -1 米处起跑，弟弟在 0 米处起跑，两人将在第 99 米处追平。在剩下的

6、 1 米里，哥哥超过了弟弟并获得胜利。如果你上山的速度是 2 米每秒，下山的速度是 6 米每秒（假设上山和下山走的是同 一条山路） 。那么，你全程的平均速度是多少？这是小学行程问题中最容易错的题之一，是小孩子们死活也搞不明白的问题。答案不 是 4 米每秒，而是 3 米每秒。不妨假设全程是 S 米，那么上山的时间就是 S/2 ，下山 的时间就是 S/6 ，往返的总路程为 2S ，往返的总时间为 S/2 + S/6 ，因而全程的平均速 度为 2S / (S/2 + S/6) = 3 。其实，我们很容易看出，如果前一半路程的速度为 a ，后一半路程的速度为 b ，那 么总的平均速度应该小于 (a +

7、 b) / 2 。这是因为，你会把更多的时间花在速度慢的那一半 路程上，从而把平均速度拖慢了。事实上，总的平均速度应该是 a 和 b 的调和平均数， 即 2 / (1/a + 1/b) ，很容易证明调和平均数总是小于等于算术平均数的。接下来的两个问题与流水行船有关。假设顺水时实际船速等于静水中的船速加上水流 速度，逆水时实际船速等于静水中的船速减去水流速度。船在静水中往返 A 、 B 两地和在流水中往返 A 、 B 两地相比，哪种情况下更快？这是一个经典问题了。答案是，船在静水中更快一些。注意船在顺水中的实际速度与 在逆水中的实际速度的平均值就是它的静水速度，但由前一个问题的结论，实际的总平均

8、 速度会小于这个平均值。因此，船在流水中往返需要的总时间更久。考虑一种极端情况可以让问题的答案变得异常显然，颇有一种荒谬的喜剧效果。假设 船刚开始在上游。如果水速等于船速的话，它将以原速度的两倍飞速到达折返点。但它永 远也回不来了船在流水中逆水前进，途中一个救生圈不小心掉入水中，一小时后船员才发现并调头 追赶。则追上救生圈所需的时间会大于一个小时，还是小于一个小时，还是等于一个小时？这也是一个经典问题了。中学物理竞赛中曾出现过此题， 编程之美上也有一个完全相同的问题。答案是等于一个小时。原因很简单：反正船和救生圈都被加上了一个水流的 速度，我们就可以直接抛开流水的影响不看了。换句话说，我们若以

9、流水为参照系，一切 就都如同没有流水了。我们直接可以想像船在静水当中丢掉了一个救生圈并继续前行一个 小时，回去捡救生圈当然也还需要一个小时。每当有人还是没想通时，我很愿意举这么一个例子。假如有一列匀速疾驰的火车，你 在火车车厢里，从车头往车尾方向步行。途中你掉了一个钱包，但继续往前走了一分钟后 才发现。显然，你回去捡钱包需要的时间也是一分钟。但是，钱包不是正被火车载着自动 地往远方走吗？其实，既然你们都在火车上，自然就可以无视火车的速度了。前面的救生 圈问题也是一样的道理。下面这个问题也很类似：假设人在传送带上的实际行走速度等于人在平地上的行走速 度加上一个传送带的速度。你需要从机场的一号航站

10、楼走到二号航站楼。路途分为两段，一段是平地，一段是自 动传送带。假设你的步行速度是一定的，因而在传送带上步行的实际速度就是你在平地上 的速度加上传送带的速度。如果在整个过程中，你必须花两秒钟的时间停下来做一件事情 （比如蹲下来系鞋带） ，那么为了更快到达目的地，你应该把这两秒钟的时间花在哪里更好？这个漂亮的问题出自 Terence Tao 的 Blog （http:/ 。很多人可能会认为， 两种方案是一样的吧？然而，真正的答案却是，把这两秒花在传送带上会更快一些。这是 因为，传送带能给你提供一些额外的速度，因而你会希望在传送带上停留更久的时间，更 充分地利用传送带的好处。因此，如果你必须停下来

11、一会儿的话，你应该在传送带上多停 一会儿。假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去。你看见一辆空车远 远地从甲地驶来，而此时整条路上并没有别人与你争抢空车。我们假定车的行驶速度和人 的步行速度都是固定不变的，并且车速大于人速。为了更快地到达目的地，你应该迎着车 走过去，还是顺着车的方向往前走一点？这是我在打车时想到的一个问题。我喜欢在各种人多的场合下提出这个问题，此时大 家的观点往往会立即分为鲜明的两派，并且各有各的道理。有人说，由于车速大于人速， 我应该尽可能早地上车，充分利用汽车的速度优势，因此应该迎着空车走上去，提前与车 相遇嘛。另一派人则说，为了尽早到达目的地，我应该充

12、分利用时间，马不停蹄地赶往目 的地。因此，我应该自己先朝目的地走一段路，再让出租车载我走完剩下的路程。其实答案出人意料的简单，两种方案花费的时间显然是一样的。只要站在出租车的角 度上想一想，问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车，出租车反正都要驶完甲地到乙地 的全部路程，因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间，加上途中接人上车可 能耽误的时间。从省事儿的角度来讲，站在原地不动是最好的方案！我曾经把这个有趣的问题搬上了新知客杂志 2010 年第 9 期的趣题专栏 （http:/ 。不少人都找到了这个题的一个 bug ：在 某些极端情况下，顺着车的方向往前走可能会更好一些，因为你或许会直接走

13、到终点，而 此时出租车根本还没追上你！某工厂每天早晨都派小车按时接总工程师上班。有一天，总工程师为了早些到工厂， 比平日提前一小时出发步行去工厂。走了一段时间后，遇到来接他的小车才上车继续前进。 进入工厂大门后，他发现只比平时早到 10 分钟。总工程师在路上步行了多长时间才遇到 来接他的汽车？设人和汽车都做匀速直线运动。据说，这是一道初中物理竞赛题（初中物理有“运动”一章） 。答案是 55 分钟。首先， 让我们站在车的角度去想（正如前一题那样） 。车从工厂出发，到半途中就遇上了总工程师 并掉头往回走，结果只比原来早到 10 分钟。这说明，它比原来少走了 10 分钟的车程， 这也就是从相遇点到总

14、工程师家再到相遇点的路程。这就说明，从相遇点到总工程师家需 要 5 分钟车程。现在，让我们把视角重新放回总工程师那里。让我们假设总工程师遇上了来接他的车 并坐上去之后，并没有下令汽车立即掉头，而是让车像平日那样继续开到他家再返回工厂， 那么他到工厂的时间应该和原来一样。这说明，他提前出发的那一个小时完全浪费了。这 一个小时浪费在哪儿了呢？浪费在了他步行到相遇点的过程，以及乘车又回到家的过程。 既然乘车又回到家需要 5 分钟，因此步行的时间就是 55 分钟了。有一位隐居在深山老林的哲学家。一天，他忘记给家里唯一的时钟上发条了。由于他 家里没有电话、电视、网络、收音机等任何能获知时间的设备，因此他彻底不知道现在的 时间是多少了。于是，他徒步来到了他朋友家里坐了一会儿，然后又徒步回到自己家中。 此时，他便知道了应该怎样重新设定自己的时钟。他是怎么做的？很多人的第一想法或许是观察日出日落。在此，我们也假设通过太阳位置判断时间是 不可靠的。 Update: 不少网友找到了此题的一个 bug 。在此我们假设，时钟是固定在墙 上的，或者由于太重，无法直接带走。