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1、1第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 1.2 复数的几种表示一、复数的几何表示二、复数的三角表示和指数表示三、复数的乘幂与方根四、几个关系2第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 一、复数的几何表示1. 复平面此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。在平面上建立一个直角坐标系，定义用坐标为 的点来表示复数从而将全体复数和平面上的全部点一一对应起来，的平面称为复平面或者这样表示复数 zz 平面。P4 3第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。在复平面上，从原点到点所引的向量与该复数 z 也构成一一一、复数的
2、几何表示1. 复平面y 实轴虚轴xO对应关系(复数零对应零向量)。比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。4第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 将复数和向量对应之后，除了利用实部与虚部来给定一个复数以外，一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角y xOxy定义 设 z 的是一个不为 0 的复数，(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为还可以借助向量的长度与方向来给定一个复数。(2) 向量 z 的“方向角” 称为复数 z 的辐角，记为 (?)P5 5第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角xy+-两点说明(1) 辐角是多
3、值的，(2) 辐角的符号约定为：逆时针取正号，顺时针取负号。 相互之间可相差其中 k 为整数。例如 对于复数则有复数 0 的模为 0，辐角无意义。注6第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 由此就有如下关系：一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角主辐角对于给定的复数 设有 满足：且则称 为复数 z 的主辐角，记作7第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 解xy8第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。一、复数的几何表示3. 相互转换关系 y xOxyP7 9第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 (1) 已知实部与虚部，求模与
4、辐角。一、复数的几何表示3. 相互转换关系(2) 已知模与辐角，求实部与虚部。由此引出复数的三角表示式。y xOxy10第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、复数的三角表示和指数表示1. 复数的三角表示称 为复数 z 的三角表示式。y xOxy如图，有定义 设复数 r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角，由P9 11第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、复数的三角表示和指数表示2. 复数的指数表示利用欧拉公式 得称 为复数 z 的指数表示式。定义 设复数 r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角，但习惯上一般取为主辐角。在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不
5、是唯一的，注补 (欧拉公式)12第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 解xy复数 的三角表示式为复数 的指数表示式为13第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、复数的三角表示和指数表示3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算设乘法即(在集合意义下?)两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。模等于它们的模的乘积；P10 补 、(集合意义)14第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、复数的三角表示和指数表示3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算设除法(在集合意义下)两个复数的商的幅角等于它们幅角的差。模等于它们的模的商；即15第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表
6、示 例 计算解 由有附 一些“简单”复数的指数形式16第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 解 由有P11 例1.5 修改 17第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 复数 z 的乘幂，设 z 是给定的复数， n 为正整数，n 个 z 相乘的积称为定义三、复数的乘幂与方根1. 复数的乘幂设则法则利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。即记为P12 18第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 三、复数的乘幂与方根1. 复数的乘幂由以及复数的三角表示式可得在上式中令 r = 1，则得到棣莫弗(De Moivre)公式：棣莫弗(De Moivre)公式进一步易得到正弦与余
7、弦函数的 n 倍角公式。19第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 例此外，显然有由此引出方根的概念。20第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 复数 w ，三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根称为把复数 开 n 次方，或者称为求复数 的复数求方根是复数乘幂的逆运算。设 是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 的定义n 次方根，记作 或复数 的 n 次方根一般是多值的。P13 21第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。设推导即得 正实数的算术根。由有22第一章 复数与复变函数 1.2 复数的
8、几种表示 三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根描述 在复平面上， 这 n 个根均匀地为半径的圆周上。根的辐角是分布在一个以原点为中心、以其中一个方法 直接利用公式求根；先找到一个特定的根，再确定出其余的根。23第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 例 求解具体为：例 求解方程解具体为：24第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 四、几个关系(1)(2)(3) P6 P8 P6 25第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 证利用复数与向量的关系，可以证明一些几何问题。ABC比如，上例证明的结论可描述为：三角形的两边之和大于等于第三边。P8 26第一章 复数与复变函数 1
9、.2 复数的几种表示 轻松一下吧27第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 1748 年，欧拉给出了著名的公式令 有它把五个最重要的数 联系起来。公式之一，附：知识广角 奇妙的欧拉公式克莱茵认为这是数学中最卓越的28第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 附：人物介绍 欧拉瑞士数学家、自然科学家(17071783)欧 拉Leonhard Euler十八世纪数学界最杰出的人物之一。数学史上最多产的数学家。不但为数学界作出贡献，而且把数学推至几乎整个物理领域。29第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 (牛顿全集 8 卷，高斯全集 12 卷)彼得堡科学院为了整理他的著作，足
10、足忙碌了 47 年。整理出他的研究成果多达 74 卷。欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。一生共写下了 886 本书籍和论文。以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，其中附：人物介绍 欧拉30第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 课本上常见的如 i , e , sin , cos , tg , x , , f (x) 等等，也都是他创立并推广的。有的学者认为，自从 1784 年以后，微积分的教科书基本上都抄袭欧拉的书。欧拉编写了大量的力学、分析学、几何学的教科书。无穷小
11、分析引论、微分学原理以及积分学原理都成为数学中的经典着作。附：人物介绍 欧拉31第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 附：人物介绍 欧拉如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字：初等几何的欧拉线多面体的欧拉定理解析几何的欧拉变换四次方程的欧拉解法数论中的欧拉函数微分方程的欧拉方程级数论的欧拉常数变分学的欧拉方程复变函数的欧拉公式32第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 欧拉的记忆力惊人！ 附：人物介绍 欧拉能背诵罗马诗人维吉尔(Virgil)的史诗Aeneil，能背诵“全部”的数学公式，直至晚年，还能复述年轻时的笔记的“全部” 内容。能背诵前一百个质数的前十次幂，33第一
12、章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 欧拉的心算能力罕见！ 附：人物介绍 欧拉欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行了道听途说的前 17 项加起来，算到第 50 位数字，两人相差一个单位；全部运算，最后把错误找了出来。34第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 欧拉的毅力极其顽强！ 附：人物介绍 欧拉可以在任何不良的环境中工作。常常抱着孩子在膝上完成论文。在双目失明以后，也没有停止对数学的研究。在失明后的 17 年间，还口述了400 篇左右的论文。(返回)35第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 关于 (在集合意义下)附：所谓“在集合意义下”是指：分别从集合 中与集合 中任取一个元素(即辐角)，相加后，得到集合 中的一个元素(即辐角)。比如 设则事实上，(返回)
