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1、目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质 第一节一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第十章 第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分 曲线积分 曲面积分重 积 分 目录 上页 下页 返回 结束 柱体体积=底面积 高 特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体的体积一、问题的提出目录 上页 下页 返回 结束 解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
2、目录 上页 下页 返回 结束 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”令目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为 设D 的面积为 ,则若非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小块 .目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第
3、 k 小块的质量目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性 定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 目录 上页 下页 返回 结束 对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值目录 上页 下页
4、 返回 结束 引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在 D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质( k 为常数) 为D 的面积, 则 目录 上页 下页 返回 结束 特别, 由于则5. 若在D上6. 设D 的面积为 ,则有目录
5、上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理)证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此目录 上页 下页 返回 结束 解目录 上页 下页 返回 结束 例2. 估计下列积分之值解: D 的面积为由于积分性质5即: 1.96 I 2D目录 上页 下页 返回 结束 例3. 比较下列积分的大小:其中解: 积分域 D 的边界为圆周它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线从而而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上目录 上页 下页 返回 结束 解目录 上页 下页 返回 结束 例5. 判断积分的正负号.解: 分积分域为则原式 =猜想
6、结果为负但不好估计 .舍去此项目录 上页 下页 返回 结束 8. 设函数 D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍在 D 上在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果. 在第一象限部分, 则有目录 上页 下页 返回 结束 如果积分区域为：其中函数 、 在区间 上连续.1、利用直角坐标系计算二重积分X型四、曲顶柱体体积的计算目录 上页 下页 返回 结束 四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作 目录 上页 下页 返回 结束 如果积分区域为 ：Y型目录 上页 下页 返回 结束 同样, 曲顶
7、柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记作 目录 上页 下页 返回 结束 X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别 使用积分公式则必须分割.目录 上页 下页 返回 结束 解积分区域如图目录 上页 下页 返回 结束 解积分区域如图目录 上页 下页 返回 结束 解原式目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求两
8、个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.解: 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为目录 上页 下页 返回 结束 解目录 上页 下页 返回 结束 解目录 上页 下页 返回 结束 解目录 上页 下页 返回 结束 解 曲面围成的立体如图.目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 二重积分的定义2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法X型Y型（在积分中要正确选择积分次序）目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同, 且非负, 思考与练习解: 由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系:目录 上页 下页 返回 结束 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为 ( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算解:目录 上页 下页 返回 结束 4. 证明:其中D 为解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .目录 上页 下页 返回 结束 备用题1. 估计 的值, 其中 D 为解: 被积函数D 的面积的最大值的最小值目录 上页 下页 返回 结束 2. 判断的正负.解：当时，故又当时，于是目录 上页 下页 返回 结束 P96 2，4，5第二节 作业
