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1、运筹学 Operations ResearchChapter 1 线性规划 Linear Programming1.LP的数学模型 Mathematical Model of LP 2.图解法 Graphical Method 3.标准型 Normalized Form of LP 4.基本概念 Basic Concepts 5.单纯形法 Simplex Method 6.人工变量法 Artificial Variable Method 7.计算公式 Calculate Formula Date1.1 1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of L
2、PLinear Programming Page 2 of 21返回首页线性规划线性规划（Linear ProgrammingLinear Programming缩写为缩写为LPLP）是运筹是运筹 学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方 法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用 领域更广泛和深入。领域更广泛和深入。线性规划通常解决下列两类问题线性规划通常解决下列两类问题 （1 1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理 安排，用最少的资源安排，用最少的资源
3、（如资金、设备、原标材料（如资金、设备、原标材料 、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；、人工、时间等）去完成确定的任务或目标； （2 2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生 产获得最好的经济效益（如产品量最多产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最、利润最 大大. . Date1.1 1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPLinear Programming Page 3 of 21返回首页产品 设备 甲 乙 丙设备能力 （小时） A 3 1 220 B 2 2 415 C 4 0 11
4、6 D 0 3 512利润润（元/件 ）4 3 5 【例例1.11.1】某企业计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分某企业计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分 别要在别要在A A、B B、C C、D D、四种不同的设备上加工。按工艺资料四种不同的设备上加工。按工艺资料 规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如表规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如表1-11-1所所 示示 ，已知各设备在计划期内的能力分别为，已知各设备在计划期内的能力分别为2020、1515、1616、1212 小时；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分小时；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分
5、 别为别为4 4、3 3、5 5元。企业决策者应如何安排生产计划，使企业元。企业决策者应如何安排生产计划，使企业 在计划期内总的利润收入最大？在计划期内总的利润收入最大？Date1.1 1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPLinear Programming Page 4 of 21返回首页【解解】设设x x1 1、x x2 2、x x3 3分别为甲、乙、丙三种产品的产分别为甲、乙、丙三种产品的产 量数学模型为：量数学模型为：Date1.1 1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPL
6、inear Programming Page 5 of 21返回首页线性规划的数学模型由线性规划的数学模型由决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints构成。称为三个要素称为三个要素。n n其特征是：其特征是：n n1 1解决问题的目标函数是多个决策变量的解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或线性函数，通常是求最大值或 最小值；最小值；n n2 2解决问题的约束条件是一组多个决策变量解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？D
7、ate1.1 1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPLinear Programming Page 6 of 21返回首页200万万mm3 3500500万万mm3 3工厂2：【例1.2】 河流1：每天流量500万m3 ；河流2：每天流量200万m3 ,水质要求：污水含量0.2%2 2万万mm3 31.41.4万万mm3 3污水从工厂1流向工厂2有20%可以净化 处理污水成本：工厂1 1000元/万m3； 工厂2 800元/万m3 问两个工厂每天各处理多少污水总成本最少？ 工厂1：【解】设x1 、x2分别为工厂1、2每天处理的污水量（万m
8、3），则Date1.1 1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPLinear Programming Page 7 of 21返回首页数学模型为：Date1.1 1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPLinear Programming Page 8 of 21返回首页【例1.3】下料问题，某一机床需要用甲、乙、丙三种规 格的轴各一根，这些轴的规格分别是2.9，2.1，1.5（m ），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为7.4m。 现在要制造100台机床，最少要用多少圆钢来生产这些
9、轴？【解解】第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的 根数分别为根数分别为y y1 1, ,y y2 2, ,y y3 3, ,则切割方式可用不等式则切割方式可用不等式 2.92.9y y1 1+2.1+2.1y y2 2+1.5+1.5y y3 37.47.4表示，求这个不等式关于表示，求这个不等式关于y y1 1，y y2 2，y y3 3的非负整数解。例如的非负整数解。例如y y1 1=2,=2,y y2 2=0=0则则y y3 3只能为只能为1 1，余料为，余料为0.10.1 。象这样的非负整数解共有。象这样的非负整数解共有8 8组，也就是有
10、组，也就是有8 8种下料方式种下料方式 ，如表，如表1-21-2所示。所示。n n第二步：建立线性规划数学模型。设第二步：建立线性规划数学模型。设x xj j( (j j=1,2,8)=1,2,8) 为第为第j j种下料方案所用圆钢的根数。则数学模型为种下料方案所用圆钢的根数。则数学模型为 Date1.1 1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPLinear Programming Page 9 of 21返回首页方案 规格12345678需求量y1(2.9m)21110000100 y2(2.1m)02103210100 y3(1.5m)
11、10130234100 0.10.30.901.10.20.8 1.42.9y1+2.1y2+1.5y37.4 表12min z =x1+x2+x3 +x4+x5 +x6+x7 +x8 2x1+x2+x3 +x4 100 2x2+x3+3x5 +2x6 +x7 100 x1+x3 +3x4 +2x6 +3x7 +4x8 100 xj 0, j =1, 2, , 8Date1.1 1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPLinear Programming Page 10 of 21返回首页最优下料方案为：第一种方案用料10根，第二种方案50
12、根 ，第四种方案30根，总余料为 16m。 用1.5的单纯形法求得最优解为x1=10,x2=50,x4=30，其余x 为零，即第一种方案用料10根，第二种方案用50根，第 四种方案用30根，共计用料90根。如果要求余料最少，则目标函数及约束条件为：如果要求余料最少，则目标函数及约束条件为：min z =0.1x1+0.3x2+0.9x3 +1.1x5 +0.2x6+0.8x7 +1.4x8 2x1+x2+x3 +x4=100 2x2+x3+3x5 +2x6 +x7 =100 x1+x3 +3x4 +2x6 +3x7 +4x8 =100 xj 0, j =1, 2, , 8Date1.1 1.1
13、 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPLinear Programming Page 11 of 21返回首页注意：1 .余料不能超过最短毛坯的长度；2.最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切 割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最 短的；不能遗漏了方案。3.在实际中，如果毛坯规格较多，毛坯的长 度又很短的方案可能很多，甚至有几千个方案， 这时用人工计算几乎是不可能的，即使计算机也 有可能溢出。当碰到这种情况时，可以给余料确 定一个临界值，当某方案的余料大于时马上舍 去这种方案，从而减少占用计算机内存，也简化 了后面的数学模型。Date1.1
14、 1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPLinear Programming Page 12 of 21返回首页【例1.4】配料问题。某一合金公司同一科研单位签订 一项包含有四种金属的合金订购单，要求的成分规格 是：金属A不少于23%，金属B不多于15%，金属C不 多于4%，金属D要界于35%65%之间，不允许有其他 成分。合金公司拟从六种不同级别的矿石中进行冶炼 ，每种矿物的成分含量和价格如表1-3所示。矿石杂质 在治炼过程中废弃，现要求也每吨合金成本最低的矿 物数量。假设矿石在冶炼过程中，金属含量没有发生 变化。Date1.1 1.1
15、 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPLinear Programming Page 13 of 21返回首页金属矿石 A% B% C% D% 杂质 费用 （元/t ） 125101025302324000303020320100304018 40155206010 520200402027 68515175512表13Date1.1 1.1 线性规划的数学模型线性规划的数学模型 Mathematical Model of LPLinear Programming Page 14 of 21返回首页【解】设xj（j=1,2，6）是第j 种矿石数量，目标函数是 总成本最少，得到下
