大学物理.第三章.刚体的转动

《大学物理.第三章.刚体的转动》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理.第三章.刚体的转动（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章 刚体的转动教学基本要求教学基本要求一 理解描述刚体定轴转动的物 理量，并掌握角量与线量的关系.二 理解力矩和转动惯量的概念， 掌握刚体绕定轴转动的转动定律.能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.三 理解刚体定轴转动的转动动 能概念，能在有刚体绕定轴转动的问 题中正确地应用机械能守恒定律.四 掌握力矩的功和转动动能定 理. 掌握刚体转动时角动量守恒的条件.本章重点 1 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常 见轴的转动惯量； 2 力矩计算、转动定律的应用； 3 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准 确计算。概要：实

2、际的物体运动不总是可以看成质点的 运动。 一、何谓刚体 在任何情况下形状和大小都不发生变化的 物体。即每个质元之间的距离无论运动或 受外力时都保持不变。 mi mj二、刚体运动的两种基本形式 平动-刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)3-1 刚体的定轴转动理想模型刚体的平动过程刚体的平动过程bcabca刚体的平动过程刚体的平动过程bcab刚体的平动过程刚体的平动过程bca刚体的平动过程刚体的平动过程bca刚体的平动过程刚体的平动过程bca刚体的平动过程刚体的平动过程bca刚体的平动过程刚体的平动过程bca刚体的平动过程刚体的平动过程bca刚体的平动过程刚体的平动

3、过程二、刚体运动的两种基本形式1) 平动-刚体运动时，刚体内任一直线恒 保持平行的运动 mi mjO选取参考点O，则：对（1）式求导：结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、 加速度及相同的轨迹。只要找到一点的运动规律 ，刚体的运动规律便全知道了。事实上这一点已 经知道-质心运动已告诉了我们。也就是说质 心运动定理是反映物体平动的规律。 2）转动:定轴转动和定点转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运 动，称为刚体作定轴转动。OO定点转动：绕 一固定点转动 。如陀螺。刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周 运动，且在相同时间内转过相同的角度。3）刚体的一般运

4、动一般运动：总可以看成是一个随质心的平动加上 绕质心的转动组合。平动转动参考平面角位移角坐标q约定 沿逆时针方向转动 沿顺时针方向转动 角速度矢量方向: 右手螺旋方向参考轴三、刚体定轴转动的角速度和角加速度角加速度1） 每一质点均作圆周运动，转动平面为圆面； 2） 任一质点运动 均相同，但 不同；3） 运动描述仅需一个坐标 .定轴转动的特点 刚体定轴转动（一 维转动）的转动方向可 以用角速度的正负来表 示 .r ip在p点取一质点，OXY刚体的平动动能 mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC其平动动能应为各质元动能和。vc

5、为质心 的速度 miMC3-2 转动动能 转动惯量一、转动动能M刚体的动能应为各质元动能 之和，为此将刚体分割成很多 很小的质元任取一质元 距转轴 ，则该质元动能：故刚体的动能：刚体绕定轴以角速度旋转r i质量不连续分布（离散）质量连续分布Mr i转动惯量质量不连续分布质量连续分布I转动惯量:物体转动惯性大小的量度线分布m/面分布m/S体分布m/V质量元:二、决定转动惯量的三因素hO质BAX3）刚体转轴的位置。（如细棒绕中心、绕一端）1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；例3-1 求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种 转轴的转动惯量： 转轴通过棒的中心o并与棒垂直

6、 转轴通过棒的一端B并与棒垂直 转轴通过棒上距质心为h的一点A 并与棒垂直 hO质BAX已知：L、m 求：IO、IB、IA 解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分 割 成许多质元dm.平行轴轴定理：刚刚体对对任一轴轴A的转动惯转动惯 量IA 和通过质过质 心并与A轴轴平行的转转 动惯动惯 量Ic有如下关系：为刚体的质量、 为轴A与轴C之间的垂直距离 MCA正交轴轴定理：（仅仅适用于薄板状刚刚体）(zx、y，xy轴轴在刚刚体平面内,坐标标原点位置任意 ) Iz绕绕垂直其平面的转轴转轴 的转动惯转动惯 量， Ix，Iy在转动转动 平面内两个正交轴轴的转动惯转动惯 量。例题3-2 半径为R的质量均匀

7、分布的细圆环及薄 圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并 与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。RR例3-3 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径 为轴的转动惯量。 解：一球绕Z轴旋转，离球 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为其体积：其质量：其转动惯量：YXZORrd ZZ3-3 力矩 转动定律rp 矢量式：力矩：注意：单位：米.牛顿1）力 必须在转动平面内：2）若力 不在转动平面内， 分解成一 力矩3）若刚体受N个外力作用，力是连续的力不连续注意 :4） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O例3-4 如图所示, 均匀细杆, 长为L，在平面内以角 速度绕端点转动，摩擦系数为 求M摩擦力。

8、r解: 质量线密度:质量元:所受摩擦力为:例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度转动，求 摩擦力产生的力矩（、m、R）。解:要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一 个类似于牛顿定律的规律转动定律。 二、转动定律O刚体可看成是由许多小质元组 成，在p点取一质元，受力：外力 ，与 成 角合内力 ，与 成 角- P用 左叉乘式- 对整个刚体，对式求和转动定律定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受合 外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的转动 惯量与角加速度的乘积。或说明：1）定轴转动定律是瞬时对应关系；如图可将力分解为两个 力，只求那个垂直于轴 的力的力矩就可以了。Z2）应是对同 一轴而言的如何求力

9、对轴的力矩呢？3）转动转动 定律说说明了I是物体转动惯转动惯 性大小的量 度。因为为：即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就 越强，转动惯性就越大；反之，I越小，越容 易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者 说转动惯性越小。 如一个外径和质量相同的实心圆 柱与空心圆筒，若 受力和力矩一 样，谁转动得快些呢？MM飞轮的质量为什么大 都分布于外轮缘？竿子长些还是短些较安全？T例3-6 一质量为m1的物体绕在一半径为r质量为m2的圆盘 上,开绐时静止, 求重物的加速度、绳中的张力和t时刻重 物下降多高?(绳的质量与轴上的摩擦力不计).r m2m1m1grm2gT TN已知: m1 、m2、r 求

10、：a、T、h解：建立转动轴的 正方向，加速度的 正方向.T隔离物体分析力：a+2m1g (2m1+m2)r=m1gt2 2m1+m2h=T=m1m2g 2m1+m2求：解：以为研究 对象。 受力分析：例3-7 质量分别为m1。m2的物体通过轻绳挂在质 量为m3半径为 的圆盘形滑轮上。求物体m1。 m2运动的加速度以及绳子张力,（绳子质 量不计）已知：抵消建立轴的正向：（力矩投 影的正方向）m1m2例3-8 一静止刚体受到一等于M0 的不变力矩的作 用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的角 速度成正比,即| M1 |= a, (a为常数)。又已知刚体 对转轴的转动惯量为I, 试求刚体角速

11、度变化的规 律。M+M0M1已知：M0M1= aI|t=0=0求：（t）=？解： 1）以刚体为研究对象； 2）分析所受力矩 3）建立轴的正方向； 4）列方程：I例3-9 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此竖 直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰 动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动 . 试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角 速度 .解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用O3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理一、力矩的功力矩的功 d是刚体在力矩的作用下转过的角度,是矢量说说明:力矩的功1 上式中力矩是指合力矩

12、。2 对对于刚刚体定轴转动轴转动 情形，因质质点间间无相 对对位移，任何一对对内力作功的和为为零。3 力矩的瞬时时功率:设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而 能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：例3-10 重力矩的功当杆到达铅直位置时重力矩所作的功.ZFNmgL以杆为研究对象 受力：mg，FN重力矩: 思考:若取为为角坐标标,该该 如何计计算? 表明：一个不太大的刚刚体的重力势势能与它的 质质量集中在质质心时时所具有的势势能一样样。即：质质心高度为为：对对于一个不太大的质质量为为 的物体，它 的重力势势能应应是组组成刚刚体的各个质质点的重 力势势能之和。二、刚刚体的重力势势能力矩的功反

13、映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？三、刚体转动动能定理力矩的功定义式OMXMX考虑一个过程，设在力 矩作用下，刚体的角位 置由角速度由此称刚体转动 的动能定理定轴转动刚体的动能定理：合外力矩对转动刚体 所作的功，等于刚体转动动能的增量。四、刚体的机械能守恒若包含刚体的系统 ，则该 系统的机械能守恒E1E2。例3-11 设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢 轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求： 当杆过铅直位置时的角速度及此时端点A和中点 C的线速度量值.Nmg解: 法一: 转动定律LAC法二: 动能定理法三：

14、机械能守恒定律 Rhmmm例3-12 一质量为 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳 ，一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时，其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 .m法一：动能定理法二: 动力学方法, 转动定律法三: 机械能守恒定律；法四: 动量矩定理；法五: 对圆盘应用动量矩定理， 对重物应用动量定理；一 定轴转动的角动量定理积分形式定轴转动的角动量定理积分形式Z3-5 角动量定理、角动量守恒定律刚体的角动量：角动动量定理微分形式设 时间内，刚体角速度由角冲量角动量的增量注意：1）角冲量又叫冲量矩，故此定理又 叫冲量矩定

15、理定轴转动的角动量定理积分形式: 定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同 一转轴合力矩的角冲量Z2）该定理也适应于绕某一定点转动的刚体和 质点：或:二 定轴转动的角动量守恒定律若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩恒 为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。定轴转动的角动量守 恒定律 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量. 守 恒条件若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变.讨论 在冲击等问题中常量注意：角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非 刚体也成立。 一般有三种情况： A：I不变变，也不变变，保持匀速转动转动 。 B：I发发生变变化，但I不变变，则则要发发生改变变 。 花样滑冰 跳水运动员跳水C：开始不旋转转的物体，当其一 部分旋转时转时 ，必引起另一部分 朝反方向旋转转。观察与思考:猫习惯于在阳台上睡觉，因而从 阳台上掉下来的事情时有发生。 长期的观察表明猫从高层楼房的 阳台掉到楼外的人行道上时，受 伤的程度将随高度的增加