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1、利用勾股定理求最短路线长www.QYXK.net中学数学网 收集整 理1、如果直角三角形的两直角边长分 别为a、b，斜边长为c，则a、b、c满 足关系式: 。2、在同一平面内，两点之间 最短 。 a2+b2=c2线段3、圆柱体的侧面展开图是 形。 长方www.QYXK.net中学数学网 收集整 理www.QYXK.net中学数学网 收集整 理例1、如下图，一只壁虎在底面半径为20cm，高为 30cm的圆柱的下底面A处，它发现在它正上方圆 柱边缘的B处有一只害虫，为捕捉这只害虫，它故意 不走直线，而绕着圆柱表面从背后对害虫进行袭击 ，请问：壁虎捕捉到害虫至少要爬行多少厘米？BABA解：AC=22
2、0=40AB2=BC2+AC2AB=50壁虎捕捉到害虫至少 要爬行50厘米=(30)2+(40)2=(50)2c在RtABC中，www.QYXK.net中学数学网 收集整 理AB我怎么走 会最近呢?例2有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面 半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有 一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着 圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (的 值取3)BA高 12cmB长18cm (的值取3)9cm在RtABC中 AB2=92+122=81+144=225= AB=15(cm)蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.15212cmCwww.QYXK.net中学数学网 收集整 理例3、 有
3、一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m ，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB解：AC = 6 1 = 5 ， BC = 24 = 12， 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, AB=13(m) .21ABC它爬行的最短路线长为13mwww.QYXK.net中学数学网 收集整 理o AABDC一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的 中点O，试求出爬行的最短路程。（的值取3)162O解：AD=2 2=232=3 DO=160.5=8 由勾股定理得 AO2= AD2+ DO2=32+82=73, AO= 爬行的最短路程是ADwww
4、.QYXK.net中学数学网 收集整 理www.QYXK.net中学数学网 收集整 理例4、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出 发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.（A）3 （B） 5 （C）2 （D）1AB分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.CABC111Bwww.QYXK.net中学数学网 收集整 理在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木 箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫， 它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多 远？ CDA.B.305040www.QYXK.net中学数学网 收集整 理305040DACB图CDA.B
5、.305040www.QYXK.net中学数学网 收集整 理CCDA.B.ACBD 图304050304050www.QYXK.net中学数学网 收集整 理ADCBCCDA.B.图304050504030www.QYXK.net中学数学网 收集整 理305040ADCBACBD304050A50DCB4030www.QYXK.net中学数学网 收集整 理如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方 体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示） ，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214ABDCD1C1421AC1 =42+32 =25 ;ABB1CA1C141 2
6、AC1 =62+12 =37 ;AB1D1DA1C1412AC1 =52+22 =29 . www.QYXK.net中学数学网 收集整 理如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 5dm、3dm、1dm，A和B是这个台阶两个相对的端点 ，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁 沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？5 31AB51313131213 AB2=AC2+BC2=169, AB=13. www.QYXK.net中学数学网 收集整 理（2010年，泉州）如下图，长方体的底面边长为1cm和 3cm，高为6cm,（1）如果用一根细线从点A开始经过4 个侧面缠绕1圈到达点B，那么所
7、用细线最短需要 厘 米.AB3cm1cm6cm3131AB610www.QYXK.net中学数学网 收集整 理2cm2cm2cm1331AB3cm1cm6cm（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕3 圈到达点B，那么所用细线最短需要 （ ）cm。 www.QYXK.net中学数学网 收集整 理3636108108A AB BC C为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个 圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红 色泊纸，如图已知圆筒高色泊纸，如图已知圆筒高108cm108cm，其截面，其截面 周长为周长为36cm36cm，如果在表面
8、缠绕油纸，如果在表面缠绕油纸4 4圈，圈， 应截剪多长油纸。应截剪多长油纸。2727454545454=4=180180www.QYXK.net中学数学网 收集整 理www.QYXK.net中学数学网 收集整 理如图，如图，将一根将一根25cm25cm长的细木棍放入长，宽长的细木棍放入长，宽 高分别为高分别为8cm8cm、6cm6cm、和、和 cmcm的长方体的长方体 无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长 度是多少？度是多少？ABCDE8 86 62525101020205 5www.QYXK.net中学数学网 收集整 理如图所示，一个圆柱形饮料罐底面半径是
9、5， 高是12.上底面中心有一个小圆孔，则一条到 达底部的直吸管在罐内部分a的长度范围是 （罐壁厚度和小圆孔的大小忽 略不计）。 12 a13www.QYXK.net中学数学网 收集整 理www.QYXK.net中学数学网 收集整 理2.如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公园 的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路 将两村连通,经测得 AB=600m,AC=800m,问此公 路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.ABC4001000D解：在RTABC中， BC2=AB2+AC2=6002+8002=10002 B
10、C=10001000AD=ABAC AD=480480400此公路不会穿过该森林 公园www.QYXK.net中学数学网 收集整 理小 结： 求最短距离，可以把几何体适当 展开成平面图形，根据“两点之 间线段最短”或“点到直线垂线 段最短”的性质，构建直角三角 形，利用勾股定理来解决问题。 一展二构三求www.QYXK.net中学数学网 收集整 理AMNPQ30301601608080E E如图，公路如图，公路MNMN和小路和小路PQPQ在在P P处交汇处交汇, ,QPN=30,QPN=30, 点点AA处有一所学校处有一所学校,AP=160m,AP=160m,假设拖拉机行使时假设拖拉机行使时,
11、 , 周围周围100m100m内受噪音影响内受噪音影响, ,那么拖拉机在公路那么拖拉机在公路MNMN上上 以以18km/h18km/h的速度沿的速度沿PNPN方向行驶时方向行驶时, ,学校是否受到噪学校是否受到噪 音的影响音的影响? ?如果学校受到影响如果学校受到影响, ,那么受影响将持续多那么受影响将持续多 长时间长时间? ?作业：www.QYXK.net中学数学网 收集整 理AMNPQP PQQE E如图，公路如图，公路MNMN和小路和小路PQPQ在在P P处交汇处交汇, ,QPN=30,QPN=30,点点AA 处有一所学校处有一所学校,AP=160m,AP=160m,假设拖拉机行使时假设
12、拖拉机行使时, ,周围周围 100m100m内受噪音影响内受噪音影响, ,那么拖拉机在公路那么拖拉机在公路MNMN上以上以 18km/h18km/h的速度沿的速度沿PNPN方向行驶时方向行驶时, ,学校是否受到噪音的学校是否受到噪音的 影响影响? ?如果学校受到影响如果学校受到影响, ,那么受影响将持续多长时间那么受影响将持续多长时间? ?www.QYXK.net中学数学网 收集整 理AMNPQ3030B BD D1601608080E E10010060606060100100如图，公路如图，公路MNMN和小路和小路PQPQ在在P P处交汇处交汇, ,QPN=30,QPN=30,点点AA 处
13、有一所学校处有一所学校,AP=160m,AP=160m,假设拖拉机行使时假设拖拉机行使时, ,周围周围 100m100m内受噪音影响内受噪音影响, ,那么拖拉机在公路那么拖拉机在公路MNMN上以上以 18km/h18km/h的速度沿的速度沿PNPN方向行驶时方向行驶时, ,学校是否受到噪音的学校是否受到噪音的 影响影响? ?如果学校受到影响如果学校受到影响, ,那么受影响将持续多长时间那么受影响将持续多长时间? ?www.QYXK.net中学数学网 收集整 理问题二：如图，已知正方体的棱长为2cm （1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。 （2）如果蚂蚁从A点到G点，求蚂蚁爬行的距离。 （3）如果
14、蚂蚁从A点到CG边中点M，求蚂蚁爬行 的距离。EABCFGDHM问题一：如图，已知圆柱体底面直径为2cm，高为4cm （1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。 （2）如果蚂蚁从A点到CG边中点H，求蚂蚁爬行的距 离。AFH作业：www.QYXK.net中学数学网 收集整 理www.QYXK.net中学数学网 收集整 理聪明的葛藤葛藤是一种刁钻的植物，它自 己腰杆不硬，为了得到阳光的沐 浴，常常会选择高大的树木为依 托，缠绕其树干盘旋而上。如图 (1)所示。葛藤又是一种聪明的植物， 它绕树干攀升的路线，总是沿着 最短路径螺旋线前进的。若 将树干的侧面展开成一个平面， 如图（2），可清楚的看出葛藤 在这个平面上是沿直线上升的。（1）（2）数学奇闻www.QYXK.net中学数学网 收集整 理9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于cm，cm和cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAABC www.QYXK.net中学数学网 收集整 理
