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1、重庆市江北中学-曹新田一、两个平面的位置关系一、两个平面的位置关系第一、二层的底面 和和 无论怎样延伸都没有公共点 ；前、后两面房顶 和和 则有一条交线AB二层楼房示意图（1）两个平面平行如果两个平面没有公共点，我们就说这两 个平面互相平行（3）两个平面的位置关系只有两种:两个平面平行没有公共点两个平面相交有一条公共直线（2）两个平面相交如果两个平面有公共点，它们就相交于一条 过该公共点的直线，我们说这个平面相交画两个互相平行的平面时，要注意使表 示平面的两个平行四边形的对应边平行， 如图1，而不应画成图2那样 图1图2（4）两个平面平行的画法思考题： 1、如果一个平面内的一条直线与另一个平面
2、 平行，能否说明平面与平面平行？ 2、要求一个平面内的多少条直线与另一个平 面平行才可判定两个平面平行呢？通过上面的两个问题，我们感觉到判定面面平行 转化为线面平行时不是条数的问题，而是要求一 个平面内的直线之间具备某种关系。二、两个平面平行的判定二、两个平面平行的判定判定定理判定定理：如果一个平面内有两条 相交直线都平行于另一个平面，那么这 两个平面平行 M已知：在平面 内有两条直线 、 相交且和平面 平行 求证： 证明：(用反证法) 假设 同理这与题设 和 是相交直线矛盾简称：线面平行，则面面平行.注：由符号语言知：判定两个平面平行时需五个 条件，在解题时请特别注意，不要漏掉条件。由定理可
3、知：今后在证明两个平面平行时一般可将面面 平行的问题转化为线面平行。思路是在其中一个平面内 找出两条相交直线分别与另一个平面平行.判定定理判定定理：如果一个平面内有两条 相交直线都平行于另一个平面，那么这 两个平面平行A推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。mn练习1：下列命题正确的是（ ） 1.如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平 面平行 2.如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平 面平行 3.如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个 平面平行 4.如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面
4、，那么这 两个平面平行练习2：有如下四个命题，判断正误1）平行于同一条直线的两个平面平行2）与同一条直线所成角相等的两个平面平行3）垂直于同一条直线的两个平面平行4）平行于同一个平面的两个平面平行D()()()()例:如图已知正方体求证: 111 1DABDCBCA例2:已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD 和ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角 线AE，BD的中点.BACDEFPQR求证：PQ平面BCE。1、已知：PA正方形ABCD所在的平面，M、N 分别是AB，PC的中点.求证：MN/面PAD.HPABCDNMG练习：思路：在平面PAD内 找MN平行线。CDABA1B1C1D12
5、、棱长为a的正方体中，E、F、G分别为中点.求证：平面EFG/平面A1BD.EFG练习：3、已知P在ABC所在的平面外，点A、B、 C分别是PAB、PBC、PAC的重心。 求证：平面ABC平面ABC.ABCPDEFABC思考：能否求出 ABC与 ABC的面积之 比？练习：问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？（）（）如果一个平面与两个平行平面相交，会有 什么结果出现？ab三、两个平面平行的性质三、两个平面平行的性质（1）一个结论根据两个平面平行及直线和平面平行的定义， 容易得出下面的结论：即：如果两个平面平行，那么其中一个平面 内的直线平行于另一个平面性质定理：如果两个平行平面同时和第三
6、个平面相交，那么它们的交线平行 即：（2）两个平面平行的性质定理 性质：夹在两个平行平面间的平行线段相等。性质：经过平面外一点只有一个平面和已知 平面平行。 两个平面平行的其它性质：性质：如果两个平面平行，那么其中一个平 面内的所有直线一定都和另一个平面平行。例3：求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线 段相等. 已知:平面 /平面 ,AB和DC为夹在 、 间的平行线段。 求证：AB=DCBCAD 证明：AB,DC确定平面AC 又因为AD,BC分别是平面AC 与平面 、 的交线. AD/BC，四边形ABCD是平行四边形 AB=DC.MNEPACBD例4：平面/，AC 、 BD是夹在 、 内的异
7、 面直线，M、N分别是AB、CD的中点， 求证：MN/ G连接AD，取AD中点G在ABD中，MG/同理GN/ ,因/ GN/ 平面MNG/ MN/证明：MG/DB练习:GH证明: 过A作直线AH/DF, 连结AD,GE,HF(如图).转 化/公垂线公垂线段和两个平面同时垂直的直线公垂线夹在两个平行平面 之间的部分公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离两个平行平面间距离实质 上也是点到面或两点间的 距离。 两个平行平面的公垂线 段都相等，公垂线段的 长度具有唯一性与两平行线间的 距离定义相类似演练反馈(1)与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )(A)都平行 (B) 都相交 (
8、C)在这两个平面内 (D) 至少与其中一个平面平行(2) a ,b 且，则直线a、b的关系为( )(A)ab (B)a与b异面 (C) a与b平行或异面 (D) a与b相交(3)如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面( )(A) 平行 (B) 相交 (C) 重合 (D) 平行或相交DCD(4)已知平面与不重合，则的一个充分条件是( ) (A) 且mn (B) 且m ，n (C) m ，n且mn (D) m ，n且mn(5)下列命题：垂直于同一条直线的两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行；平行于同一条直线的两个平面平行；与一直线成等角的两个平面平行.其中正确的命题有( )(A)一个 (B) 二个 (C) 三个 (D) 四个DB小结：1 两个平面的位置关系：相交 平行（及定义）2 . 两个平面平行的定义，判定定理及推论-作用为证明 平面平行线面或线线平行-面面平行（转化思想） 3. 两平面平行判定的四种方法：d) 平行于同一个平面的两个平面平行c) 垂直于同一条直线的两个平面平行b) 两平面平行的判定定理及推论两条相交直线都平行 于另一个平面a) 使用“两个平面互相平行”的定义
