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1、控制工程基础第二章主讲教师：姚婷梅第二章 数学模型一、控制系统的运动微分方程二、非线性数学模型的线性化三、拉氏变换和拉氏反变换 四、传递函数五、系统方框图和信号流图六、小结、数学模型的基本概念第二章 数学模型、数学模型的基本概念l 数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为 零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系 的微分方程。 第二章 数学模型l 建立数学模型的方法 解析法 实验法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写
2、出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。第二章 数学模型l 数学模型的形式 时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性 第二章 数学模型一、控制系统的运动微分方程l 建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程； 消去中
3、间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排第二章 数学模型l 控制系统微分方程的列写 机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量mfm(t)参考点x (t) v (t)第二章 数学模型 弹簧KfK(t)fK(t)x1(t) v1(t)x2(t) v2(t)第二章 数学模型 阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t) x2(t)v2(t)第二章 数学模型q 机械平移系统mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)机械平移系统及其力学模型fC(t)静止（平衡）工作
4、点作为 零点，以消除重力的影响第二章 数学模型式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系 统可以由二阶常系数微分方程描述。第二章 数学模型显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数 ，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量 、弹簧）的数量。 q 弹簧阻尼系统xo(t)0fi(t)KC弹簧-阻尼系统系统运动方程为一阶常系数 微分方程。 第二章 数学模型q 机械旋转系统Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液体 齿轮JJ 旋转体转动惯量；K 扭转刚度系数；C 粘性阻尼系数柔性轴第二章 数学模型第二章 数学模型 电气系统 电阻电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)第二章
5、数学模型 电容Ci(t)u(t) 电感Li(t)u(t)第二章 数学模型q R-L-C无源电路网络第二章 数学模型LRCui(t)uo(t)i(t )R-L-C无源电路网络一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微 分方程。 若L=0，则系统简化为：第二章 数学模型q 有源电网络+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：第二章 数学模型 小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法） 。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的
6、基础； 第二章 数学模型 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。 第二章 数学模型 线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的 系数是时间t的函数，则为线性时变系统； q 线性系统线性是指系统满足叠加原理，即： 可加性： 齐次性：或：第二章 数学模型用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不 满足叠加原理。q 非线性系统为分析
7、方便，通常在合理的条件下，将非线性 系统简化为线性系统处理。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定 的工作范围内成立。 第二章 数学模型 液体系统节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统设液体不可压缩， 通过节流阀的液流 是紊流。 A：箱体截面积；第二章 数学模型上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。 ：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时， 为常数。第二章 数学模型q 线性系统微分方程的一般形式 式中，a1，a2，an和b0，b1，bm为由 系统结构参数决定的实常数，mn。 第二章 数学模型二、非线性数学模型的线性化l 线性化问题的提出
8、线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。 第二章 数学模型 线性化的提出q 线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性； q 非线性系统的分析和综合是非常复杂的； q 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。 第二章 数学模型l 非线性数学模型的线性化 泰勒级数展开法 函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数
9、 展开式为： 第二章 数学模型略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：或：y - y0 = y = Kx， 其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量 方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；第二章 数学模型增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移 到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统 就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点 ，这时，系统所有的初始条件均为零。 对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用 泰勒级数展开获得线性化的增量方程。 第二章 数学模型增量方程：静态方程：其中：第二章 数学模型 滑动线性化切线法 0xy=f(x)y0x0xyy非线性关系
10、线性化A线性化增量增量方 程为：y y =xtg切线法是泰勒级数 法的特例。第二章 数学模型l 系统线性化微分方程的建立 步骤 q 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； q 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； q 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程； 第二章 数学模型 实例：液位系统的线性化 解：稳态时：非线性项的泰勒展开为：第二章 数学模型节流阀节流阀qi(t )qo(t)H(t)液位系统则：由于：注意到：第二章 数学模型实际使用中，常略去增量符号而写成：所以：此时，上式中H(t)和qi(t)均为平衡工作点的增量。第二章 数学模型l 线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡
11、工作点的选择有关； 线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围； 某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。 第二章 数学模型inout0近似特 性曲线真实特性饱和非线性inout0死区非线性inout0继电器非线性inout0间隙非线性第二章 数学模型三、拉氏变换和拉氏反变换l 拉氏变换 设函数f(t) (t0)在任一有限区间上分段连续， 且存在一正实常数，使得：则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；第二章 数学模型称为拉
12、普拉氏积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数， 它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。l 拉氏反变换 L1为拉氏反变换的符号。第二章 数学模型l 几种典型函数的拉氏变换 q 单位阶跃函数1(t) 10tf(t)单位阶跃函数第二章 数学模型q 指数函数（a为常数）指数函数0tf(t) 1第二章 数学模型q 正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由欧拉公式，有： 第二章 数学模型从而：同理：第二章 数学模型q 单位脉冲函数(t) 0tf(t)单位脉冲函数1 由洛必达法则：所以：第二章 数学模型q 单位速度
13、函数（斜坡函数） 10tf(t)单位速度函数1第二章 数学模型q 单位加速度函数单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换 表直接或通过一定的转换得到。 第二章 数学模型l 拉氏变换积分下限的说明 在某些情况下，函数f(t)在t0处有一个脉冲函 数。这时必须明确拉氏变换的积分下限是0 还是0+，并相应记为：第二章 数学模型l 拉氏变换的主要定理 叠加定理 q 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；q 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。第二章 数学模型 实微分定理 证明：由于即：第二章 数学
14、模型所以：同样有：式中，f (0)，f (0)，为函数f(t)的各阶导数 在t=0时的值。第二章 数学模型当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零 初始条件）：第二章 数学模型当f(t)在t=0处具有间断点时，df(t)/dt在t=0处将 包含一个脉冲函数。故若f(0+) f(0)，则：第二章 数学模型 复微分定理 若Lf(t)=F(s)，则除了F(s)的极点之外，有：第二章 数学模型 积分定理 当初始条件为零时：若f(0+) f(0)，则：第二章 数学模型证明：第二章 数学模型同样：当初始条件为零时：第二章 数学模型 延迟定理 设当t0时，f(t)=0，则对任意0，有：函数 f(t
15、-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章 数学模型 位移定理 例：第二章 数学模型 初值定理 证明：初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函 数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。 第二章 数学模型 终值定理 若sF(s)的所有极点位于左半s平面， 即：存在。则：第二章 数学模型证明：终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值 相同。第二章 数学模型又由于：即： 卷积定理 若t0时， f(t)g(t)0，则f(t)和g(t)的卷积可表示为：其中，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。第二章 数学模型证明：第二章 数学模型 时间比例尺的改变例：第二章 数学模型l 求解拉氏反变换的部分分式法 部分分式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，Fn(s)的拉氏反变换可以 容易地求出，则：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)第二章 数学模型在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：式中
