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1、第十一节 曲线的曲率本节要点本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方法.一、曲率的概念二、曲率的计算公式1.问题的引出在下图中，我们看到弧段 比较平坦，而弧段 弯曲得比较比较厉害。即动点沿这段弧从点到点 再到点 时，切线所转过的角有较大的差异.一、曲率的概念但是，转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度，例如在下图中，两段弧 与 有相同的切线转角，但曲线的弯曲程度则是不同的.2.曲率的概念设平面曲线 是光滑的，在 上取一点 作为度量弧长的基点，设点 是曲线上任意一点，弧 的弧长为 点 是曲线 上的另外一点，弧 的弧长为点 处切线的倾角为 处切线的倾角为则 的弧长为切线的转角为 +sxoy称
2、为弧段 的平均曲率，记为 即若当 时，平均曲率的极限存在，则称此极限为曲线 在点 处的曲率，记为 ，即例1 对直线而言，动点从 到 相应的切线的转角为 则从而曲率即: 直线上任意点处的曲率为零.例2 设曲线是半径为R的圆，则 平均曲率为 因而，此说明圆周上每一点的曲率相同，且等于半径的倒数.二、曲率的计算公式设曲线的直角坐标方程为 即曲线是光滑的。在曲线上取定点 作为度量弧长的基点，并且设曲线在区间 上对应的一段弧长为 曲线上的点与之间的一段弧长为 +sxoyab而线段 的长度为并注意到因(此式将在定积分中证明)又因， 即从而由此即得：其中： 则若曲线 由参数方程给出例3 求 在任意点处的曲率
3、.解 因 由计算公式得曲线在任一点处的曲率为注意到， 此说明当或 曲线就越平坦。利用知 处，曲率最大。例4 计算抛物线 上任意一点处的曲率，并求出曲率最大处的位置.解 因 代入公式得由于在上式中，分子为常数，故当 时，曲率 达到最大，即当 曲率取最大值，此时，对应曲线上的点为抛物线的顶点.曲率圆与曲率半径设曲线 在点 处的曲率为 作出点 处曲线 的法线，并且在曲线凹向一侧的法线上取点 使以 为圆心， 为半径作圆，称该圆为曲线 在点 的曲率圆， 为曲线 在 处的曲率 中心，半径 称为曲线 在点 处的曲率半径.由定义可知，曲线 在点 处与其曲率圆有相同的切线与曲率，并且在点 的邻近处有相同的凹向.
4、例如抛物线 在顶点 处，曲率为2，曲率半 径为1/2.座椅对飞行员的压力等于飞行员的离心力及飞行员本身 的重量对座椅的压力之和，因此例7 铁路弯道的缓和曲线 铁路弯道的主要部分是呈圆弧形的（称为主弯道）。如果直道与圆弧直接相切，则在切点处曲率有一跳跃度。 此时列车会突然产生离心力，从而列车行进变得不平稳， 也极容易发生出轨事故。为了使列车在转弯时既平稳又安全，除了必须使直道与 弯道相切外，还须考虑轨道曲线的曲率在切点邻近连续 地变化。我们知道，直线的曲率是零，而半径为 的圆弧的曲率 是 只有当 充分大，列车在转弯时才显得比较平 稳。但这并不符合实际。故需要在直道和圆弧道之间加一段 称作缓和曲线的弯道，使得铁轨的曲率连续地从零过度 到圆弧道(主弯道)直道缓和弯道目前一般采用采用三次抛物线作为缓和曲线。在上图中，以 表示直道， 表示半径为 的圆弧弯道， 表示缓和弯道，设 点的坐标为并设 的方程为 其中 为缓和曲线 的长度， 是待定常数.由于 的曲率可见当 从 变化至 时，曲率连续地从 变到因 故由于在实际中，总是把比值 取得比较小，使得故取 时，有 从而得到缓和曲线方程
