一元随机变量及分布

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1、第二章第二章 随机变量及数字特征随机变量及数字特征 一元随机变量及分布 随机变量数字特征 常用分布 一元随机变量及分布一、随机变量及分布二、离散型随机变量及分布三、分布函数四、离散型随机变量的分布函数五、连续型随机变量及概率密度六、一元随机变量函数的分布1一、随机变量及分布21、随机变量：对于随机试验的每一个可能结果w (样本点 ) ,都有唯一的实数X(w)与之对应，则称X(w)是一个 随机变量，简记为R. V. X 注意： (1)随机变量X(w)实质是函数， X(w)取值是值 域 (2)实验结果是随机的， X(w)取值也是随机 (3)实验的各个结果的出现有一定概率， X(w)取值有一定概 率

2、离散型连续型取值为有限个和至多可列个的 随机变量.可以取区间内一切值的随机变量.、分类二、离散型随机变量及分布二、离散型随机变量及分布 、离散型随机变量定义：设X是一个随机变量，如果X 的所有可能取的值为有限个或可数个，则称X为离散型随 机变量，记为 D.R.V X 2、离散型随机变量的概率分布：设X是离散型随机变 量，可能取的值为 ，则称 为X的 概率分布或分布列3、分布列的性质 （1） （2） 4、求分布列的步骤： （1）明确X的含义及一切可能取 值。（2）利用概率的计算方法，计算X取各值的概率。3例1设某项试验的成功率是失败率的2倍，试用一个 随机变量描述该项一次试验的结果,求分布列。2

3、/31/3P10X 解:设X为一次试验的成功次数4由已知条件求随机变量分布列的例题例、袋中有只同样大小的球，编号为、 、从中同时取出只球，以X表示 取出的球的最大号码，求X的概率分布6/103/101/10P543X解:设X取出的球的最大号码例3设一试验成功的概率为p(0p1),接连重复进行试验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布.解 设X表示试验次数,X取值为1,2,.,n,.,PX=1=p, PX=2=(1-p)p, ., PX=n=(1-p)n-1p.,记 q=1-p, 则X的概率分布为:几何分布PX=n=qPX=n=qn-1n-1p, (n=1,2,.)p, (n=1,2,.)

4、5例4某射手有五发子弹，每次射击命中目标的概 率为.，如果命中就停止射击，不命中就一直射 到子弹用尽。（1）射击次数X的分布列Y=5-X（）求子弹剩余数Y的分布列6解:(1)例5一袋中有5个新球，3个旧球。每次从中任取一 个，有下述两种方式进行抽样，X表示直到取得新 球为止所进行的抽样次数：（1）不放回地抽取； （2）有放回地抽取。求X的分布列。几何分布7例6一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红 绿信号灯的路口。每个信号灯为红或绿与其它信 号灯为红或绿独立，且红绿两种信号显示时间相 等。以X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口 数，求X的概率分布。8例7设一个试验只有两个结果：成功或失败，

5、且每次试验成功的概率为P现反复试验，直 到获得K次成功为止以X表示获得K次成功 时的实验次数，求X的概率分布910-1分布均匀分布几何分布常用离散型分布三、分布函数三、分布函数 1、定义：设X是一个随机变量，x为任意实数，函数 称为X的分布函数 2、性质： （1） （2） 是非减函数 （3） （4） 右连续， 即 10下列四个函数中，不能作为随机变量分布函数的是解:故选11例.X 的概率分布 是：求其分布函数 解：当 分布函数为为 12四、离散型随机变量的分布函数四、离散型随机变量的分布函数1、分布列与分布函数的关系： 3、分布函数、分布列与事件概率的关系13例X的概率分布是：则其分布函数 解

6、：当 分布函数为 -14例2.若X的概率分布如下，分别求其分布函数X01 P1/32/3X 345P1/103/106/10151、定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，如 果存在非负函数f(x)，使得对任意实数X有：则称X是连续型随机变量，记为:C.R.V X 称f(x)是X的概率密度函数，简称概率密度五、连续型随机变量及概率密度五、连续型随机变量及概率密度2、概率密度的性质：连续型随机变量的分布函数处处连续163、密度函数和分布函数与事件概率的关系4、密度函数和分布函数的关系17例下列函数可以作为某一连续型随机变量的概率密度的是_ 解:(A)（B），（C）中的函数不是非负函数判断函数是否

7、为某连续随机变量的密度函数18例若f(x),g(x)均在同一区间a,b上是概率密度函数试证(1) f(x)+g(x)不是这区间上的概率密度函数(2)对任一数 （0 ）, f(x)( ) g(x)是这个区间上的概率密度函数故 f(x)+g(x)不是这区间上的概率密度函数故 f(x)( ) g(x)是 这个区间上的概率密度函数19例若C. R .V X的概率密度是， 求待定参数B及P0X0.5 已知某连续随机变量的密度函数或分布函数求其中的未知 参数并利用密度函数或分布函数求事件的概率20例2设连续型随机变量X的概率密度为试确定常数b的值及PX221例3连续型随机变量X的概率密度为：（1）试确定常

8、数 的值（）如果概率 试确定常数b 的值。书P68 6 22（2）求P1X3例4.若C .R. V X的分布函数是 求（）待定参数A，B，C。 23（2）求PX例.服从柯西分布的随机变量X的分布函数是 求（）待定参数A，B24例1服从指数分布的RVX的概率密度为 求：X的分布函数 解：已知密度函数求分布函数；已知分布函数求密度 函数25例2若C. R .V X的概率密度是， 求X的分布函数 26例3设连续型随机变量X的概率 密度为试求X的分布函数27例4连续型随机变量X的概率密度为：求X的分布函数书P68 6解:28求X的密度函数例5.服从柯西分布的随机变量X的分布函数是 例6.若C .R.

9、V X的分布函数是 求X的密度函数 求X的分布函数29例7.某型号电子管，其寿命为一随机变量，概率密度 为 某一个电子设备内配有三个这样的电子管， 求电子管使用小时都不需要换的概率又设A为个电子管使用小时都不需要换30例8.某城市每天用电量不超过百万千瓦小时，以X表 示每天的耗电率（用电量除以百万千瓦小时），它 具有概率密度：若该城市每天的供电量仅为80万千瓦小时 求：供电量不够需要的概率 故 供电量不够需要的概率为8 31六、一元随机变量函数的分布随机变量函数的定义：设X是一个随机变量，y=g(x)是一个连 续函数，则Y=g（X）也是一个随机变量，称它为随机变量X的函数离散型随机变量函数的分

10、布：设X是离散型随机变量，Y=g（X） 也是离散型随机变量，并且Y的概率分布可由X的概率分布来确定，设 X的概率分布为：(1)如果 各的值各不相等,则Y=g（X）的概率分布为（2）如果各 有相等的情形,则应把那些相等的值分别合并，并根据概率的加法公式把相应的 相加，就得到Y的概率分布32已知X的分布列,分别求其函数 的分布列解：33）判断一数学形式是否为某随机变量的数学形式 ）已知离散型随机变量的分布列，求其分布函 数或反过来 ）由已知条件，确定离散型随机变量的分布列方法归纳这部分内容的题型大致有下列几种：）利用分布函数、密度函数、分布列，求随机变量落在某区间内的概率）已知连续型随机变量的密度函数，求其分 布函数或反过来）确定分布函数、分布列、密度函数中的待定常数34