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1、 11 集 合 11.1 集合的含义与表示 1我们在初中接触过“正数的集合”、“负 数的集合”等，集合的含义又是什么呢？ 解不等式2x13得x2，所有大于2 的实数集在一起称为这 个不等式的解集 平面几何中，圆是到定点的距离等于定 长的点的集合 自然数的集合0,1,2,3， 高一(5)班全体同学组成一个集合 请想一想，集合这个概念应该 怎样描述 ？ 一般地，我们把所研究的对象如点、自然 数、高一(5)班的同学统称为 ，把一些组成的总体叫做，通常用 表示 2元素与集合的关系用符号表示 3集合中元素的性质(或称三要素)： 元素元素集合大写拉丁字母A、B、C，、确定性、互异性、无序性 (1)给定的集
2、合中的元素必须是确定的 “我国的小河流”能不能组成一个集合，你 能用集合的知识解释吗 ？ 答案：“我国的小河流”不能组成一个集合 因为集合中的元素必须是确定的，而在 我国的河流中到底多大才算小河流并无具 体的标准 (2)集合中的元素必须是互不相同的，由1 ，1,1,3组成的集合为；若 aa2,1则a . (3)若构成两集合的元素是一样的，则称两 集合 ，若集合1,2与集合a,1相等 ，则a . 4常见的数集符号：自然数集： ；正整 数集： ；整数集： ；有理数集： ； 实数集： . 5把集合中的元素一一列举出来 并用 括起来表示集合的方 法叫做，如大于1且小于10的偶 数构成的集合可表示为1，
3、1,3相等2NNZQR花括号“ ”列举法0,2,4,6,80 用列举法表示下列集合： (1)方程(x21)(x22x8)0的解集为 (2)方程|x1|3的解集为 (3)绝对值 小于3的整数的集合为 1,1，4,22,42，1,0,1,2 6用集合所含元素的表示集 合的方法，称作描述法 具体方法是：在花括号内先写上表示这个 集合元素的，再画 一条竖线 ，在这条竖线 后面写出这个集 合中元素所具有的 它的一般形 式是xA|p(x)或x|p(x)“ ”为代表元 素，“ ”为元素x必须具有的共同特征 ，当且仅当“x”适合条件“p(x)”时，x才是 该集合中的元素，此法具有抽象概括、普 遍性的特点，当元
4、素个数较多时，一般选 用此法共同特征一般符号及取值(或变化)范围共同特征xp(x) 1试用描述法表示下列集合： (1)方程x23x20的解集为 (2)不等式3x20的解集为 (3)大于1小于5的整数组成的集合为 2用列举法表示下列集合： (1)6的正约数组成的集合_ (2)不等式2x15的自然数解组成的集合 _ (3)古代我国的四大发明组成的集合 _ (4)Ax|00xZ|13且x2n，nZ； (3)P|P在平面内且PAPB 例6 下面三个集合：x|yx21； y|yx21；(x，y)|yx21 (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？ 分析 对于用描述法给出的集合，首先 要
5、清楚集合中的代表元素是什么，元素满 足什么条件 解析 (1)由于三个集合的代表元素代表 的对象互不相同它们是互不相同的集 合 (2)集合x|yx21的代表元素是x， 当xR时，yx21有意义 x|yx21R； 集合y|yx21的代表元素是y， 满足条件yx21的y的取值范围是y1， y|yx21y|y1 集合(x，y)|yx21的代表元素是(x， y)，可以认为 是满足yx21的数对(x，y) 的集合；也可以认为 是坐标平面内的点(x ，y)构成的集合，且这些点的坐标满 足y x21， (x，y)|yx21P|P是抛物线yx2 1上的点总结评述：用描述法表示的集合，认 识它一要看集合的代表元素
6、是什么，它反 映了集合元素的形式；二要看元素满足什 么条件对符号语言所表达含义的理解在 数学中要求是很高的，希望同学们能逐步 提高对符号语言的认识 .总结评述：用列举法表示集合，就是要 根据集合的一般特性(确定性、互异性、无 序性)和集合本身的特征，把集合中的元素 不重复、不遗漏、不计顺 序地一一表示出 来 例8 已知集合A是由方程ax22x1 0(aR)的实数解作为元素构成的集合 (1)1是A中的一个元素，求集合A中的其它 元素； (2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组 成的集合B； (3)若A中至多有一个元素，试求a的取值 范围 若a0，则当且仅当方程的判别式4 4a0，即a1时，方程有
7、两个相等的实 根x1x21，此时集合A中有且仅有一 个元素， 所求集合B0,1； (3)集合A中至多有一个元素包括两种情况 ： A中有且只有一个元素，由(2)知此时a 0或a1； A中一个元素也没有，即A，此时a0 ，且44a0，a1； 综合、知所求a的取值范围是a|a1 或a0 已知集合AxR|ax2x20，若A中 至少有一个元素，则a的取值范围是 _ 分析 题中给出数集A满足的条件解 答此题就从此条件入手逐步推出结论 例10 集合Ax|x3n1，nZ，B x|x3n2，nZ，Cx|x6n3 ，nZ，对任意的aA，bB，是否一 定有abC？并证明你的结论 错解 由aA，有a3n1(nZ)，
8、由bB，有b3n2(nZ)， 则ab6n3(nZ)，故abC 辨析 集合A是所有被3除余1的整数所 组成的集合集合B是所有被3除余2的整 数所组成的集合，集合C是所有被6除余3 的整数所组成的集合，易知1A,5B， 而156C，则aA，bB，不一定有 abC.错解的根源在于将A，B中的n看 成同一个数，即a，b不是任意的，而是互 相制约的，从而破坏了a与b的独立性 正解 设a3m1(mZ)，b3t 2(tZ)， 则ab3(mt)3， 当mt是偶数时，设mt2k(kZ)， 有ab6k3(kZ)，则abC； 当mt为奇数时，设mt2k1(kZ) ， 有ab6k(kZ)，则abC 综上可知不一定有a
9、bC. 一、选择题 1给出下面四个关系： R,0.7Q,00,0N.其中正确的个数是 ( ) A1个 B3个 C2个 D4个 答案 B 解析 0.7为有理数，故0.7Q不正确 2下列集合表示方法正确的是 ( ) A方程(x1)(x2)2(x4)0的解集为 1,2,2,4 B不等式x50的解集为x50 C所有奇数构成的集合为xZ|x2k 1 D所有偶数构成的集合为x|x2k， kZ 答案 D 点评 应注意C与D的区别，C中xZ， 并没要求kZ，故是错误 的，若改为x|x 2k1，kZ则为 正确的 二、填空题 3用符号或填空： (1)1_1 (2)a_a，b，c (3)3_4，2 (4)0_N*
10、(5)_Q (6) _R (7)若Ax|x2x，则1_A； (8)若Bx|x2x60，则3_B ； (9)若CxN|1x10，则8_C； (10)若DxZ|2x3，则 1.5_D. 答案 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)；(7)；(8)；(9)；(10). 点评 如果a是集合A的元素，记作aA ，否则记 作aA，N*、Q、R分别表示正自 然数集、有理数集、实数集 4若3a3,2a1，a24，则实 数 a构成的集合为_ 答案 0,1 解析 当a33时，a0，此时集合 为1，3，4；当2a13时，a 1，此时a243，与集合元素的 互异性矛盾若a243，则a1，a 1已讨论 当a1
11、时，集合为2,1 ，3，综上所述a0或1. 三、解答题 5用列举法表示下列集合 (2)By|yx28，xN，yN (3)C(x，y)|yx28，xN，yN 解析 (1)要使x， 都是整数，故|2x| 必是6的约数，当x4，1,0,1,3,4,5,8 时，|2x|是6的约数A4， 1,0,1,3,4,5,8 (2)由yx28，xN，yN知，y8， 所以当x0,1,2时，y8，7,4符合题意 B4,7,8 (3)集合C中的元素是点，这些点必须满 足 两个条件它是抛物线yx28上的点 ，这些点的横坐标、纵坐标都必须是 自然数 6下面两个集合的意义是否相同？为什 么？ x|x2ax10，a|方程x2ax10有 实数根 解析 集合x|x2ax10中的元素x 是方程x2ax10的实数解；集合a|方 程x2ax10有实数根中的元素a是使 方程x2ax10有实数根的字母系数a的 取值范围，这两个集合中的元素的含义 是不同的 7下列集合，哪些是有限集？哪些是无 限集？ (1)今天正午12时生活在地球上的所有人构 成的集合； (2)线段AB上的点的全体构成的集合； (3)把线段AB等分为100等份的点的全体构 成的集合； (4)以点M为中点的所有线段构成的集合 解析 (1)有限集(2)无限集(3)有限集 (4)无限集
