《_4.4线性方程组的解的结构》由会员分享，可在线阅读，更多相关《_4.4线性方程组的解的结构（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第四章 向量组的线性相关性4 线性方程组的解的结构 设有齐次线性方程组齐次线性方程组解的性质可写成向量方程的形式若是方程的解则称为方程组的解向量。性质1：若 为 的解，则 也是 的解.性质2：若 为 的解， 为实数，则也是 的解基础解系及其求法; 0,)1(21的解的一组线性无关是=AxthhhL,0)2(21的任一解都可由tAxhhhL=线性表出。解系的基础称为齐次线性方程组0 , 21=AxthhhL则：最大无关组且向量方程组的通解形式，可以表示成.,21是任意常数其中tkkkL齐次线性方程组基础解系的求法法一：从齐次线性方程组的通解形式中，直接求得基础解系。设齐次线性方程组的系数矩阵为
2、A，并设A的前r个列向 量线性相关，则A可初等变换为取 为自由变量，并令 可得线方程组的通解形式注明：找基础解系的方法可为由通解的标准形式去掉组合系数 得到的各向量的集合齐次线性方程 组解集的秩为 n-R（A）例1 求齐次线性方程组的基础解系与通解.解：法二：直接求基础解系选取系数行最简形矩阵对应的自由变量的线性无关向量，如下所示n-r个线性无关的 向量求得相应的非自由变量的解从而求得原方程组的 个解：这 即为线性方程组的基础解系。问题:为何上述操作得 到的就是方程组的基 础解系. 定理7特例：R(A)=n，方程只有零解，没有基础解系。结论:齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解都可构成它的
3、基 础解系，所以基础解系不唯一。设mn矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组AX=0的解集S的秩RS=n-r.例2 求齐次线性方程组的通解及基础解系解所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为注：求齐 次线性方 程组的基 础解系不 用此法非齐次线性方程组解的性质.0,2121 的解为对应的齐次方程则的解都是及设 =-= AxxbAxxx hhhh性质3：.,0, 的解仍是方程则的解是方程的解是方程设 bAxxAxxbAxx =+= hxxh性质4：非齐次线性方程组的通解：其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.非齐次线性方程组 没有基础解系解例3 求下述方程组的解则所以方程组的通解为另解:先求基础解系令代入对应的齐次线性方程组即为基础解系求特解代入对应的非齐次线性线性方程组即为一组特解所以方程组的通解为例4例5 设 ，证明例6 设n元齐次线性方程组AX=0与BX=0同解，证明R(A)=R(B) 例7).()(ARAART=证明需要掌握其证明思路: 若两矩阵的列数相等,则证其秩相等,只需证其同解 .常用有关秩的结论：利用齐次线性方程组解的结构特点 证明矩阵的秩的关系.作 业原教材P1023(1)P1082、6
