电磁场与电磁波 第四版 第一章 矢量分析

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1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波本章内容1.1 矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理电磁场与电磁波 场的概念 标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q 等。 矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 常矢：若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力 变矢：若模和方向二者至少一个发生变化，如速度矢量描述：矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。矢性函数：设t是数性变量， 为变矢，对于某

2、区间Ga,b内的每一个数值t， 都有一确定的矢量 与之对应，则称 为数性变量t的矢性函数，记为： 电磁场与电磁波 物理量：被赋予物理单位并具有一定物理意 义的矢量和标量。如电压U、电荷量Q等。 场：在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度场，电位场等。 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如温度、密度等。 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、磁场、流速场等。 电磁场与电磁波 场的属性：占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个点和表面外，其物理量处处连续 场的分类 按与时间的关系分：

3、静态场/时变场，各处物理量是否随时间变化 按与方向关系分：标量场/矢量场，各处物理量是标量还是矢量电磁场与电磁波 矢量代数 空矢或零矢：一个大小为零的矢量 单位矢量：一个大小为1的矢量，在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分别沿 x，y，z轴分量的方向。矢量的表示方法 矢量一般表示： ，A为矢量 的大小， 为方向 注意：单位矢量不一定是常矢量。 电磁场与电磁波 任一矢量可以表示为： 位置矢量：从原点指向空间任一点P的矢量 位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。直角坐标系中点P(X,Y,Z)的位置矢量表达式为：电磁场与电磁波结论：若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直 数学

4、知识补充矢量的代数运算 求和差 作图法： 平行四边形法则 分量法： 求点积 （标量积、内积） 公式： 特点： 直角坐标系中：电磁场与电磁波 求叉积 （矢量积、外积）结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行公式：其中：符合右手螺旋法则特点：直角坐标系中：右手螺 旋法则电磁场与电磁波数学知识补充矩阵和行列式的计算 代数余子式： 的余子式前添加符号 ，称 的代数余子式，记为 ， 例：求 中元素 的余子式和代数余子式 余子式：在 n 阶行列式 中去掉元素 所在的行和列，剩下的 n-1 阶行列式称为元素 的余子式。记为电磁场与电磁波 n阶行列式的计算： 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数

5、余子式乘积的和，即例：求电磁场与电磁波 矩阵的乘法：设A=(aij)是ms矩阵， B=(bij)是sn矩阵，作A的第i行与B的第j列的对应元素的乘积之和 ,则矩阵为矩阵A与B的乘积例：已知：求AB解：电磁场与电磁波 方程组的矩阵表示设矩阵可记为Y=AX 则 X=A-1Y，A-1为A的逆矩阵，要求X，只需求A-1，即求A的逆矩阵电磁场与电磁波 逆矩阵的求法其中为A的伴随矩阵n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|0,且当A可逆时，有Aij是|A|的元素aij的代数余子式注意此矩阵行和 列的排列，转置矩阵电磁场与电磁波例：已知：求A-1解：电磁场与电磁波矢量的混合运算 分配律 分配律 标量三重积 矢量

6、三重积电磁场与电磁波三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。电磁场与电磁波 1. 直角坐标系 位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）o x y z0xx=（平面）0zz=（平面）P 直角坐标系x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzd ydx电磁场与电磁波 2. 圆柱坐标系坐标变量坐标单

7、位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系（半平面）（圆柱面）（平面）电磁场与电磁波3. 球坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系（半平面）（圆锥面）（球面）电磁场与电磁波 4. 坐标单位矢量之间的 关系 直角坐 标与 圆柱坐 标系 圆柱坐 标与 球坐标 系 直角坐 标与 球坐标 系of xy单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系foqrz单位圆 柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系qq电磁场与电磁波 1.3 标量场的梯度q 物理量是标量，称为标量场。如：温度场、电位场、高度场等。q

8、 物理量是矢量，称为矢量场。如：流速场、重力场、电场、磁场等。q 场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为： 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：研究标量场和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的 情况具有很大的意义。电磁场与电磁波1.标量场的等值面等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。 如等温面等。等值面方程：常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等

9、值面互不相交。 等值面的特点：意义: 形象直观地描述了标量场物理量在空间的分布状态。标量场的等值线(面)等值面在二维空间称为等值线。如等高线等。电磁场与电磁波 2.标量场方向导数(标量) Directional Derivative设M0是标量场=(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l, 在l上M0的邻近取一点M，MM0=，若当M趋于M0时(即趋于零时) 的极限存在，称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为 电磁场与电磁波结论： 方向导数 是函数 在点 处沿方向 对距离的变化率表明M0处函数 沿l 方向增加，反之减小 若函数=(x, y, z)在点M0(x0, y

10、0, z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为电磁场与电磁波 证明：M点的坐标为M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函数在M0处可微，故 两边除以，可得 当趋于零时对上式取极限，可得 电磁场与电磁波 3.标量场的梯度(矢量) gradient在直角坐标系中梯度的定义：在标量场 中的一点M处，其方向为函数 在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量 ，称为标量场 在M点处的梯度，用 表示。方向：函数 在M点处变化率最大的方向大小：最大变化率的矢量的模电磁场与电磁波哈米尔顿（Hamilton）算子定义： (读作d

11、el)是一个矢性微分算子（是一个微分符号， 同时又要当作矢量看待）直角坐标系中，算子的表达式为：补充：电磁场与电磁波梯度的表达式：圆柱坐标系 球坐标系直角坐标系 标量场的梯度（ 或 ）意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念： ，其中 取得最大值的方向电磁场与电磁波 梯度的性质质：标标量场场 中每一点M处处的梯度垂直于过该过该 点的等值值面，且指向函数 的增大方向。即梯度为该为该 等值值面的法向矢量。在某点M处处沿任意方向的方向导导数等于该该点处处的梯度在此方向上的投影。任一点梯度的模等于该该点各方向上方向导导数最大值值电磁场与电磁波梯度运算法则则设c为一常数，u(M)和v(M

12、)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。电磁场与电磁波 例1 求数量场=(x+y)2-z 通过点 M(1, 0, 1) 的等值面方程。解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 或 ：电磁场与电磁波例2 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模， 即 ， 证明： 证明： 所以 电磁场与电磁波解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为例1.2.1 设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量场。试求：(1) 该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯

13、度方向的单位矢量。(2) 求该函数 沿单位矢量方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。电磁场与电磁波表征其方向的单位矢量 (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向导数为对于给定的P 点，上述方向导数在该点取值为电磁场与电磁波而该点的梯度值为 显然，梯度 描述了P点处标量函数 的最大变化率，即最大的方向导数，故 恒成立。电磁场与电磁波1. 矢量线 意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线OM1.4 1.4 矢量场的通量和散度矢量场

14、的通量和散度电磁场与电磁波 矢量线的作用 根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向 根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。A点受到向下电场力B点受到向下电场力A点比B点受到的力大越密矢量越大电磁场与电磁波 例2 求矢量场 的矢量线方程解： 矢量线应满足的微分方程为 从而有 c1和c2是积分常数。 电磁场与电磁波一、面元矢量：面积很小的有向曲面方向：1、开曲面上的面元 2、闭合面上的面元确定绕行l的方向后， 沿绕行方向按右手 螺旋拇指方向闭合曲面的 外法线方向2. 矢量场的通量 （flux） 电磁场与电磁波二、通量（标量） 1、 穿过过面元的通量 2、 穿过过整个曲面S的通量3、 穿过闭过闭 合曲面S的通量通量特性：反映某一空间内场源总的特性通过闭合面S的通量的物理意义：0，穿出多于穿入，S内有发出矢量线的正源0，穿出少于穿入，S内有汇集矢量线的负源=0，穿出等于穿入，S内无源，或正源负源代数和 为0电磁场与电磁波通过闭合曲面有 净的矢量线穿出有净的矢 量线进入进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义电磁场与电磁波 例1 在坐标原点处点电荷产