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1、1.1 实 数 (R)1. 实数的分类实数无理数 ： 有理数(Q)：无限不循环小数正数负数正整数分数2. 实数的性质1).实数关于加、减、乘、除四种运算封闭.考虑自然数N、整数Z、无理数、有理数Q是否关于上 述四种运算封闭?不是无理数，而是有理数. 只有有理数关于此四种运算封闭.零正分数 负整数负分数可以把数轴看成是实数的直观图形(几何模型),即 一个实数可以理解为数轴上的一个点。4).实数与数轴的上的点一一对应。2).实数是有序的,即任意两个实数a,b必满足下述三个关系 之一：ab,a 01.2 函数的概念一、 函数的定义定义 设D为一个非空实数集,若对D中每一个 值 x,按照一定的对应法则
2、 ,总有确定的数值y和它 对应,则称 f是定义在D上的一个函数,记作 y=(x). 称 x 为自变量, y 为因变量; D 为 f 的定义域; 注：1. 要求定义域D为非空集合.当 时,称 为函数在 的函数值.函数值全体组成的数集 Z =y|y=f(x), xD为 f 的值域.4. 定义域D和对应法则f 是确定函数的两要素.3. 函数的定义域是使函数有意义的自变量的全体 。所以一般情况下，函数的定义域都省略不写.在判断两个函数是否相同时，判断其是否具有 相同的定义域及对应法则.2. 由f 确定的y 值，必须是唯一的.这类函数成为单值函数, 还有一类函数为多值函数.由于有些函数的对应法则虽然形式
3、上不同，但 却表示同一个函数,所以在判断过程中经常把两个 函数的定义域及值域是否相同作为一种判断方法.但要注意的是,函数的定义域及值域相同仅是两 个函数相同的必要条件而非充分条件.即一般用它 来判断两个函数不相同.5.同一个函数不会因自变量,因变量字符的改变 而发生改变.二、函数的表示法:列举法、描述法、列表法、图 象法.三、分段函数问题：是否所有的函数都可用一个数学式子 表示呢？有的函数在其定义域的不同范围内,要用两个或两个以上的数学式子来表示,这一类函数叫作分 段函数.例：绝对值函数 yxoy=|x|例 符号函数11oxy例 狄立克莱函数 例 取整函数(阶梯曲线) y = x 为不超过 x
4、 的最大整 数部分. 实际上是取左端点. oxy12 1120.3=02.8=2-0.3=-1-2.6= -3注：分段函数虽然有几个式子，但它们合起来 是一个函数，而不是几个函数.四、函数定义域的求法 1.实际问题中的函数定义域例 边长为a的正方形铁皮，在四个角裁掉 边长为x的四个小正方形后，所得铁皮折为一个 无顶的立方体，问x多大时，可使容积最大？集合表示法区间表示法2.一般函数的定义域例 求函数 的定义域.解 ：要使 有意义，必须有从而，函数的定义域为如未特别指明,函数定义域Df 为使函数有意义的自变 量的全体.例 求函数 的定义域.解 ：要使 有意义，必须有从而，函数的定义域为3.分段函
5、数的定义域分段函数的定义域为各分段子定义域的并集.例 求函数 的定义域.解：可以看出，函数的定义域为例解故f f(x+3)的定义域为：-3,-1确定分段函数的定义域并求f (1), f (0), f (1), f (x1).解习题1.3 函数的基本性质一、 单调性单调性、有界性、奇偶性和周期性对应曲线是的. 则称(x)在区间 I 上严格单调或单调xyoy= (x) y= (x)oxy设(x)为定义在区间 I 上的函数,若x1, x2D,当x10,使得对 xD,都有| f (x)| M 成立,则称f (x)在D上有界.oy=My=Mxyy= (x)函数在区域D上有界的充要条件是在该区域上 既有上
6、界又有下界.例：说明函数例：说明函数 y y=sin(=sin(x x) )在（在（ ， ）上有界）上有界. .所以函数 y=sin(x)在（，）上有界.oxy有界性必须指明区间有界性必须指明区间函数的界不唯一函数的界不唯一设函数 f (x)在D上有定义.如果M,使得对xD,都有 f (x) M 成立,则称f (x)在D上有上界.设函数 f (x)在D上有定义.如果M,使得对xD,都有 f (x) M 成立,则称f (x)在D上有下界.设函数 f (x)在D上有定义.如果M0,使得对xD,都 有| f (x)| M 成立,则称f (x)在D上有界.设函数 f (x)在D上有定义.如果 M,x0(M)D,使 得 f (x0) M ,则称f (x)在D上无上界.设函数 f (x)在D上有定义.如果 M,x0 (M) D, 使得f (x0) 0,x0 (M) D, 使得 f (x0) M或 f (x0)| MM oxyx0y =My =M1x1oxy1
