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1、数学思想方法数学思想方法 与数学教学与数学教学吴丽华 2010年1月14日 哈尔滨1数学思想方法简要概述数学思想方法简要概述中考中的数学思想方法中考中的数学思想方法数学思想方法教学策略数学思想方法教学策略2一、一、数学思想方法简要概述数学思想方法简要概述问题引入思想概述3之一：之一：20002000年江苏省中学生英语能力竞赛试题年江苏省中学生英语能力竞赛试题题例How can we move jist one match to make asquare? A. Move A B. Move B C. Move C D. Move D（一）问题引入问题引入45之一：之一：20002000年江苏省
2、中学生英语能力竞赛试题年江苏省中学生英语能力竞赛试题分析怎样移动一根火柴而得到 一个正方形？ 英语老师不得而解，求助数学老师 为什么？（一）问题引入问题引入6之一：之一：20002000年江苏省中学生英语能力竞赛试题年江苏省中学生英语能力竞赛试题分析 “移动”的理解 英语中，学生注意语言的表述结构， 淡化了“如何移动” 数学中，学生注重对“方法和图形” 的认识，即用数学的思维寻求问题解决 用数学思维解题，问题不能解决时， 学生应知道变换思路寻找答案。（一）问题引入7之一：之一：20002000年江苏省中学生英语能力竞赛试题年江苏省中学生英语能力竞赛试题分析本题的突破口 移动只是“轻轻”挪动一下
3、； 不是火柴的整体拼成正方形，而是 由其尾部构成一个正方形。（一）问题引入为什么要学习数学？8是在数学活动中解决问题的 基本观点和根本想法， 是对数学概念、命题、 规律、方法和技巧的本 质认识，是数学中的智 慧和灵魂。（二）思想概述是指解决数学问题的途径、 策略和手段。代数几何三角概率数学素质数学精神数学修养数学思维数学思想数学方法9两者都以一定的数学知识为 基础，反过来又促进着数学知识 的深化以及向数学能力转化。 两者具有抽象概括程度不同 ，表现出互为表里的关系。数学思想与数学方法联系（二）思想概述10数学思想是相应数学方法的结晶和 升华，数学思想带有理论性的特征； 数学方法具有实践性的倾向
4、。数学思想与数学方法区别（二）思想概述“方程方法”、“方程思想” 实践中，统称为数学思想方法11授人以鱼 ，不如授 人以渔数学中最主要 的始终是思想 方法，而这确 实是人类共同 的思想源泉完善的思 想方法犹 如北极星 ，使人们 找到正确 的道路。教育古训弗赖凳塔尔波利亚（二）思想概述观点12全域性数学思想公理化思想符号化思想集合论思想（二）思想概述算法化思想形式化思想数学辩证思想13数与运算思想数与运算思想图形几何思想图形几何思想方程函数思想方程函数思想无穷极限思想无穷极限思想微分积分思想微分积分思想概率统计思想概率统计思想局域性数学思想（二）思想概述14一般性数学方法 推理证明方法-说理论证
5、的一般方法 合情推理方法-猜想发现的一般方法 数学抽象方法-数学化活动一般方法 数学化归方法-数学解题的一般方法 数学模型方法-数学应用的一般方法 数学结合方法-数学转化的一般方法（二）思想概述15特殊性数学方法 分类讨论方法 逐次逼近方法 反证法 数学归纳法 构造性方法 反例法（二）思想概述16中学中常见的数学思想方法方程思想函数思想转化思想整体思想（二）思想概述中学中常见的数学思想方法17中学中常见的数学思想方法（二）思想概述中学中常见的数学思想方法分类讨论思想数形结合思想数学建模思想归纳猜想思想18二二 、中考中的数学思想方法、中考中的数学思想方法思想方法精析思想方法精析典型试题导引典型
6、试题导引19 思想方法精析思想方法精析 （一）（一）方程思想定义：从分析问题的数量关系入手，适当设定义：从分析问题的数量关系入手，适当设 定未知数，运用定义、公式、性质、定理和定未知数，运用定义、公式、性质、定理和 已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题 中已知量和未知量之间的数量关系，转化为中已知量和未知量之间的数量关系，转化为 方程或方程组等数学模型，从而使问题得到方程或方程组等数学模型，从而使问题得到 解决的思维方法。解决的思维方法。 学会代数设想学会代数设想 学会代数翻译学会代数翻译 掌握解方程的思想掌握解方程的思想20代数学先驱丢番图（公元代数学
7、先驱丢番图（公元3 3世纪希腊世纪希腊 数学家），在他的墓碑上刻着一首诗：数学家），在他的墓碑上刻着一首诗： 路过的人啊，路过的人啊， 这里埋葬着丢番图。这里埋葬着丢番图。 请您算一算下面的数目，请您算一算下面的数目， 便可知他的一生经过多少寒暑。便可知他的一生经过多少寒暑。 他一生的六分之一是幸福的儿童。他一生的六分之一是幸福的儿童。 青年期占十二分之一，两颊胡须渐生。青年期占十二分之一，两颊胡须渐生。 接下来，七分之一的生命用在谈情说爱，接下来，七分之一的生命用在谈情说爱，（一）（一）方程思想 典型试题导引典型试题导引 21才结婚成立美满家庭。才结婚成立美满家庭。 五年后，有了儿子，五年后
8、，有了儿子， 不料，这孩子竟先其父四年而终，不料，这孩子竟先其父四年而终， 只活到他爸爸的一半年龄。只活到他爸爸的一半年龄。 晚年丧子的老人，真可怜，晚年丧子的老人，真可怜， 悲痛中度过那风烛残年。悲痛中度过那风烛残年。 算一算吧，路过的人，算一算吧，路过的人， 丢番图共活了多少岁，才和死神见面。丢番图共活了多少岁，才和死神见面。（一）（一）方程思想 典型试题导引典型试题导引 22解代数问题时的应用解代数问题时的应用 -列方程求值列方程求值 -降次求值降次求值 -因式分解因式分解 -求完全平方式求完全平方式 -应用方程根的定义求值应用方程根的定义求值 -构造方程构造方程 -求解函数问题求解函数
9、问题（一）（一）方程思想 典型试题导引典型试题导引 23解几何问题时的应用解几何问题时的应用 -根据勾股定理列方程根据勾股定理列方程 -根据平行线分线段成比例定理列方程根据平行线分线段成比例定理列方程 -根据相似三角形性质列方程根据相似三角形性质列方程 -根据相交弦定理列方程根据相交弦定理列方程 -根据三角形或多边形内角和定理列方程根据三角形或多边形内角和定理列方程 -根据圆内接四边形性质列方程根据圆内接四边形性质列方程（一）（一）方程思想 典型试题导引典型试题导引 2007年中考数学方程思想专题复习.doc24 思想方法精析思想方法精析 （二）（二）函数思想函数思想反映的量与量之间的关系是运
10、动变函数思想反映的量与量之间的关系是运动变 化中的关系；对应是函数思想的本质特征；化中的关系；对应是函数思想的本质特征； 自变量的变化处于主导地位。自变量的变化处于主导地位。 函数是描述客观世界变化规律的重要数函数是描述客观世界变化规律的重要数 学模型学模型 函数的符号、表示法函数的符号、表示法 函数的三要素函数的三要素25函数解析式的求法函数解析式的求法 函数的图象与性质函数的图象与性质 函数与面积函数与面积 函数作为其他知识的工具函数作为其他知识的工具 建立几何量间的函数关系式建立几何量间的函数关系式 函数型综合题函数型综合题中考数学中要准确理解数学语言.doc（二）（二）函数思想 典型试
11、题导引典型试题导引 26 思想方法精析思想方法精析 （三）（三）分类讨论思想定义：根据数学本质属性的相同点和不同点定义：根据数学本质属性的相同点和不同点 ，把数学的研究对象区分为不同种类的一种，把数学的研究对象区分为不同种类的一种 数学思想。数学思想。 分类应按同一标准进行分类应按同一标准进行 分类应当不重复，不遗漏分类应当不重复，不遗漏27例题一：一本书共有例题一：一本书共有402402页，要把它编出页页，要把它编出页 码，数字码，数字2 2一共出现几次？一共出现几次？ 与数学概念、定义有关的分类讨论与数学概念、定义有关的分类讨论 涉及适用范围的分类讨论涉及适用范围的分类讨论 涉及待定参数变
12、化的分类讨论涉及待定参数变化的分类讨论 涉及几何元素位置变化的分类讨论涉及几何元素位置变化的分类讨论 综合问题中的分类讨论综合问题中的分类讨论 分类讨论思想在中考数学客观题中的应用分类讨论思想在中考数学客观题中的应用 .doc.doc 中考数学压轴题（分类思想）中考数学压轴题（分类思想）.doc.doc（三）（三）分类讨论思想 典型试题导引典型试题导引 28 思想方法精析思想方法精析 （四）（四）数学建模思想定义：从实际问题中，发现、提出、抽象、定义：从实际问题中，发现、提出、抽象、 简化、解决、处理问题的思维过程，它包括简化、解决、处理问题的思维过程，它包括 对实际问题进行抽象、简化，建立数
13、学模型对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型 ，求解数学模型，解释验证等步骤。，求解数学模型，解释验证等步骤。 “七桥问题七桥问题” 建模思想在中考数学解题中的运用建模思想在中考数学解题中的运用.doc.doc29方程模型：利息和税率、百分率、工程方程模型：利息和税率、百分率、工程 、行程、浓度分配、劳力调配等问题、行程、浓度分配、劳力调配等问题 不等式（组）模型：方案设计、最佳优不等式（组）模型：方案设计、最佳优 化等问题化等问题 平面几何模型：零件加工、工程选点、平面几何模型：零件加工、工程选点、 道路设计、拱桥等问题道路设计、拱桥等问题 函数模型：造价成本最低、产出利润最函数模型：造价成
14、本最低、产出利润最 大、风险决策、股市等大、风险决策、股市等 解直角三角形模型：测高、航海等问题解直角三角形模型：测高、航海等问题（四）（四）数学建模思想 典型试题导引典型试题导引 30 思想方法精析思想方法精析 （五）（五）归纳、猜想与探索思想根据给定的信息，结合已掌握的知识，作出根据给定的信息，结合已掌握的知识，作出 一种可能存在的规律性、普遍性的结论推断一种可能存在的规律性、普遍性的结论推断 ，这是猜想的过程。合理的猜想，是正确解，这是猜想的过程。合理的猜想，是正确解 决问题的前奏，它的思路一般是从简单的、决问题的前奏，它的思路一般是从简单的、 局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳局部
15、的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳 、猜想未知，寻找一般规律，获取新结论，、猜想未知，寻找一般规律，获取新结论， 再作推理、论证。再作推理、论证。31归纳创造归纳创造 -规律探索规律探索 -结论探索结论探索 -推理探索推理探索 猜想论证猜想论证 -根据题设的，观察其中隐含的规律，归纳根据题设的，观察其中隐含的规律，归纳 猜想出一般性的结论猜想出一般性的结论 -根据对题设的阅读理解，灵活应变，类比根据对题设的阅读理解，灵活应变，类比 猜想出新结论。猜想出新结论。（五）（五）归纳、猜想与探索思想 典型试题导引典型试题导引 32探求开放探求开放 -由已知条件探求未知的结论由已知条件探求未知的结论 -探求使已知结论成立的条件探求使已知结论成立的条件 中考数学综合题探究中考数学综合题探究.doc.doc（五）（五）归纳、猜想与探索思想 典型试题导引典型试题导引 33 思想方法精析思想方法精析 （六）（六）转化思想转化是解数学题的一种重要的思维方法，转转化是解数学题的一种重要的思维方法，转 化思想是分析问题和解决问题的一重要的基化思想是分析问题和解决问题的一重要
