《人教版-高中数学选修4-5_数学归纳法及其应用举例 (1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版-高中数学选修4-5_数学归纳法及其应用举例 (1)（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学归纳法及其数学归纳法及其 应用举例应用举例问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个 节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节 目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面 一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题3：有一台晚会，若知道第一个节目是 唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目 也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？一、设置情景，导学探究：多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则 必须保证下一块要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下-递推关系；即第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下-奠基；所以n=k+
2、1时结论也成立那么求证(一定要用上假设)二、挖掘内涵、形成概念： 证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来 证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 验证n=n0时命 题成立若当n=k(kn0 )时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。【归纳奠基】【归纳递推】数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结
3、论:（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件-游戏开始 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确；假设推理-游戏规则 （3）由（1）、（2）得出结论.点题找准起点 奠基要稳用上假设 递推才真写明结论 才算完整特别提醒：证明: (1) 当n=1时左1，右121n=1时，等式成立(2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2 那么，当n=k+1时左1+3+5+ +(2k1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据例1.用数学归纳法证明1+3+5+
4、(2n1)=n2 证明: (1) 当n=1时左1，右121n=1时，等式成立(2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2 那么，当n=k+1时左1+3+5+ +(2k1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立证明：1、当n=1时,左=12=1，右=n=1时，等式成立2、假设n=k时，等式成立，即那么，当n=k+1时左=12+22+k2+(k+1)2=右 n=k+1时，原不等式成立由1、2知当nN*时，原不等式都成立练1、用数学归纳法证明：例:如下证明对吗？证证明：当n=1时时，左边边 右边边等式成立。
5、设设n=k时时，有那么，当n=k+1时时，有即n=k+1时，命题成立。根据问可知，对nN，等式成立。 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. 证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明 时应根据具体情况而定.例:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第一个 取值应是多少?答:对n=1,2,3,逐一尝试,可知初始值为 n=5.例:用数学归纳法证明:(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“
6、n=k+1时”命题是什么 ，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加 的项.(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. 证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.练习巩固 1、 证明： 在验证 n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ） A 1 B. C D. 2.已知: 则 等于( )A: B
7、:C: D: 这就是说当 时等式成立， 所以 时等式成立.思考1：下列推证是否正确，并指出原因.用数学归纳法证明：证明：假设 时，等式成立，就是那么思考2：下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?(1)当n=1时,左边= , 右边= (2)假设n=k(kN*)时命题成立 ，那么n=k+1时,即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确. =右边,左边思考3：下列证法对吗？ 用数学归纳法证（nN+): 1+2+3+ 2n = n(2n+1 )证明：1)左边=1=2)假设n=k时等式成立,即: 1+2+3+ 2k = k(2k+1).1+2
8、+3+ 2k +2(k+1) = k( 2k+1)+2(k+1)=那么，n = k+1 时，1+2+3+ 2k = k(2k+1).1+2+3+ 2k+(2k+1)+ 2(k+1) = k(2k+1)+(2k+1)+ 2(k+1)=那么，n = k+1 时，证明：1)左边=1+2=3=右边2)假设n=k时等式成立,即:例、用数学归纳法证明： 122334n(n1) 从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即 122334k(k+1)则则当n=k+1时时， += n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。=1)当n=1时，左边=12=2,右边=
9、 =2. 命题成立1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等； 5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：例1、是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.(1
10、)数学归纳法证明等式问题：二、数学归纳法应用举例：(2)假设当n=k时结论正确,即:则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.例2、已知正数数列an中,前n项和为sn,且用数学归纳法证明:证:(1)当n=1时,=1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.(2)数学归纳法证明整除问题：例1、用数学归纳法证明:当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立.
11、 (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.则当n=2k+2时,有都能被x+y整除.故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.例2、用数学归纳法证明: 能被8整除.证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数. 那么:因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x
12、2+x+1整除.证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被x2+x+1整除则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1) 因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除, 所以上式右边能被x2+x+1整除.即当n=k+1时,命题成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.例6、平面内有n (n2)条直线，任何
13、两条都不平行，任何 三条不过同一点，问交点的个数 为多少?并证明.当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点，共增加k个点，由1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,而f(2)= 2(2-1)=1, 命题成立。 k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1),即当n=k+1时命题仍成立。2）假设n=k(kN,k2)时，k条直线交点个数为f(k)= k(k-1),(3)数学归纳法证明几何问题：练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线的条
14、数f(n+1)=f(n)+_.n-1练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+_个区域.2k(4)数学归纳法证明不等式问题：例1、用数学归纳法证明:证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立. (2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有: 则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 例2、证明不等式:证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.例3、求证:证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于故不等式成立. (2)假设n=k( )时命题成立,即则当n=k+1时,即
