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1、数学-集合与常用逻辑用语知识体系1.集合是高考的必考内容.高考对集合问题的考查一般有两种形式：一是考查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等，题型以选择题和填空题为主；二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用，往往与其他知识融为一体，题型可以是选择题、填空题，也可以是解答题.其中，集合的特征性质描述和集合的运算是高考考查的重点，常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、求范围等问题联系在一起.2.常用逻辑用语主要包含三部分内容：命题以及命题的四种形式、充分必要条件、量词.本单元内容在高考试题中每年必考，主要体现在三个方面：一是充分必要条件的推理判断；二是命题的四种形式；三是全称量词与存
2、在量词、全称命题与特称命题.对于充分必要条件的推理判断问题，一般是以其他的数学知识为载体，具有较强的综合性；对于全称命题与特称命题，一般是考查对两个量词的理解，考查两种命题的否定命题的写法，这是考查的热点.通过对本单元近几年高考试题以及命题立意的发展变化趋势，尤其是新课改地区的高考试题的分析，复习时宜采用以下应试对策：1. 在复习中首先要把握基础知识，深刻理解本单元的基本知识点，基本的数学思想方法，重点掌握集合的概念和运算,掌握充分条件、必要条件和充要条件的判断和应用.2. 涉及本单元知识点的高考题既有基本的选择题和填空题，也有小型和大型的综合题，因此在复习中既要灵活掌握基本题型，又要对有一定
3、难度的大型综合题进行有针对性的准备.3. 重视数学思想方法的复习.本单元体现的主要有数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法，而且图示法、反证法等数学方法也得到了广泛应用.第一节 集合1. 集合的含义与表示（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.2. 集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.3. 集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给
4、定子集的补集.(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算.1. 元素与集合 （1）集合中元素的三个特征: 确定性 、 互异性 、无序性.（2）集合中元素与集合的关系文字语言符号语言 属于 不属于(4)集合的表示法：列举法 、描述法 、Venn图法.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号 N N*或N+ Z Q R C(3)常见集合的符号表示2. 集合间的基本关系表示表示 关系 文字语言 符号语言子集A中任意一个元素均为B中的元素相等A是B的子集且B是A的子集真子集A中任意一个元素均为B中的元素，B中至 少有一个元素不是A中的元素A B 或 B A空集空集是任何集合的子集，是任何非空
5、集合 的真子集集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为CUA图形表示意义x|xA, 或xB x|xA, 且xB3.集合的基本算法1. (教材改编题)用适当符号填空.0 0，1；a,b b,a;0 ;答案：2. （2009福州市高中毕业班单科质量检查）集合 A=x|x(x-1)0,B=y|y= ,xR，则AB是（ ） A. (0,2) B. (1,2) C. (0,1) D. (-,0)解析: 由已知得A=x|0x1，B=y|y0.AB=(0,1) 答案： C3. （2009福州市高三第二次质检）设集合 A=x|1x2,B=x|xa.若A B,则a的范围是（ ）
6、 A. a1 B. a1 C. a2 D. a24. （2009全国)设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9, 全集U=AB,则集合 （AB）中的元素共有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个解析: U=AB=3,4,5,7,8,9, 又AB=4,7,9, (AB)=3,5,8. 答案: A解析: 集合A、B如图所示：，A B,a1. 答案： B1. 集合中元素的三个基本性质的应用(1)确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会
7、模棱两可.如：“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合.5. 设全集U=1,3,5,7,集合M=1，|a-5|,M U, =5,7,则a的值为（ ） A. 2或-8 B. -8或-2 C. -2或8 D. 2或8解析: M=5,7,M=1,3,|a-5|=3,a=8或a=2. 答案: D2. 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键即文字语言、符号语言、图象语言的互化.4. 进行集合的运算时，应把参与运算的集合化到最简形式，再进行运算，运算时要借助于Venn图、数轴或函数图象等工具.3. 利用集合间的关系建立不等式求参数范围时，要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.（3）无序性.（2）互
8、异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验.5. 注意分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想在集合运算 中的应用.题型一 集合的基本概念【例1】已知集合A=m,m+d,m+2d,B=m,mq,mq2,其中m0,且A=B,求q的值.解 由A=B可知，解（1）得q=1;解（2）得q=1,或 又因为当q=1时，m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以分析 由A=B可知A,B两个集合中的元素相同，观察A,B两个集合中有一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要分类讨论.学后反思 本题考查集合元素的基本特征确定性、互异性，切
9、入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少.1. 设A=-4,2a-1, ,B=9,a-5,1-a,已知AB=9，求实数a的值.解析: AB=9,9A.(1)若2a-1=9,则a=5,此时A=-4,9,25,B=9,0,-4,AB=9,-4,与已知矛盾，舍去.（2）若a2=9,则a=3.当a=3时，A=-4,5,9,B=-2,-2,9,B中有两个元素均为-2,与集合元素的互异性相矛盾，应舍去;当a=-3时，A=-4,-7,9,B=9,-8,4，符合题意.综上所述，a=-3.举一反三解 先化简集合A=-4,0. 由AB=B，则B A，可知集合B可为 ，或 0，或-4，或-4,0.
10、(1)若B= ，则=4(a+1)2-4(a2-1)0，解得a-1；(2)若0B，代入得a2-1=0 a=1或a=-1，当a=1时，B=A，符合题意； 当a=-1时，B=0 A，也符合题意.(3)若-4B，代入得a2-8a+7=0 a=7或a=1，当a=1时，已经讨论，符合题意； 当a=7时，B=-12，-4，不符合题意.综上可得，a=1或a-1.题型二 集合之间的关系【例2】设集合A =x| +4x=0，B =x| +2(a+1)x+a2-1=0，aR，若AB=B ，求实数a的取值范围.分析 根据A、B间的关系，对B进行分类讨论，然后求解并验证.学后反思 解决集合间的关系问题，关键是将集合化简
11、，特别是含有字母参数时，将字母依据问题的实际情况进行合理分类，分别进行求解，最后综合后得出答案.2. 设集合A=x|x-a|2，集合B=x|4x+1|9,且 求a的取值范围.解析： A=x|a-2xa+2,B=x|x2或x ,AB=A,如图所示.a+2 或a-22,a 或a4.举一反三题型三 集合的运算【例3】已知全集I=R,A=x|x24, ,求(CRA)(CRB).分析 解决本题的关键：(1)集合B的化简；(2) (CRA)(CRB)=CR(AB)(等价转化). 解 A=x|x2或x-2,AB=x|x-2或x-1. (CRA)(CRB)=CR(AB)=x|-2 x -1学后反思 本题是集合
12、的运算与解不等式的综合求解问题.解答这类问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解，同时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算.3. 设集合A=x|x-2|2,xR,B=y|y=-x2,-1x2,则 CR(AB)等于( )A. R B. x|xR,x0C. 0 D. 解析： 由已知，A=0,4,B=-4,0,AB=0,CR(AB)=x|xR,x0. 答案： B举一反三题型四 利用Venn图解决集合问题【例4】设全集U是实数集R,M=x| 4,N=x|1x3,则图 中阴影部分所表示的集合是( ) A. x|-2x1 B
13、. x|-2x2 C. x|1x2 D. x|x2分析 首先用集合符号表示出阴影部分，然后对相应集合化简 . 解 依题意，该图形中阴影部分表示的集合应该是N( M) ,而M=x| 4=x|x2或x-2,于是 M=x|-2x2, 因此N( M)=x|1x2.学后反思 新课标特别指出“能使用Venn图表达集合的关系及运 算”，将对Venn图的要求提高到一个更高的层次，因此我们必须 注意Venn图在表达集合关系和运算中的重要作用.应结合交集、 并集、补集等的定义进行理解.举一反三4. （2009江西）已知全集U=AB中有m个元素，（ A)( B)中有n个元素.若AB非空，则AB的元素个数为( ) A
14、. mn B. m+n C. n-m D. m-n解析: 如图，( A)( B)= (AB).而阴影部分 就表示集合 (AB),阴影部分有n个元素， 而U=AB中有m个元素，AB中有m-n个元素. 答案: D题型五 新型集合的概念与运算【例5】(12分)对于集合M,N，定义M-N=x|xM且x N,M N=(M-N)(N-M),设A=y|y=x2-3x,xR,B=y|y=- ,xR,求A B.分析 充分理解“M-N”与“M N”两种运算法则,然后把A,B两个集合化到最简，再代入进行计算.解 由y=x2-3x(xR),即 得y=-2x(xR),2x0,-2x0,y0,B=y|y0,.6学后反思 新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题.在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知求解是关键.集合命题中与运算法则相关的问题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素之间的运算相关性及封闭性的研究.举一反三5. （2008江西）定义集合运算:A*B=z|z=xy,xA,yB. 设A=1，2，B=0，2，则集合A B的所有元素之和为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 6解析: 依题意，A*B=0,2,4,它的所有元素之和为6. 答案: D【
