第四章 微振动微振动：很常见的一种物理现象定义：振动是指系统对平衡位形(势能有极小值的位形)的某种周期性偏离§1.4.1 一个自由度的微振动一、自由振动平衡位置：系统势能U(q)具有最小值的位置 (此时：系统最稳定) 例：长为 l 的单摆的拉格朗日函数为其中平衡位置：微振动：质点对平衡位置的偏离不大在平衡位置附近对L作泰勒展开，得到推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标，则系统的拉格朗日函数为 设：q0 ——系统的平衡位置，则 对U 在q0附近作泰勒展开，只保留到二阶小量，有——二阶小量 (势能：平滑不陡峭；若 大，则单位时间运动的距离大振动不是微振动)则 a(q)只需展开到零阶小量，即 略去对运动方程无关的常数项“-U(q0)”(物理上相当于选新的零势能点，数学上：拉格朗日函数的非唯一性)，且令则由拉格朗日方程得到运动方程注：参见《理论物理基础教程》P383－388“量子谐振子”二、自由振动方程的解 自由振动：无强迫力、无阻尼的振动方程 的解为积分常数：A—振幅； 角频率； —初相位其中振幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。
由位置与时间的函数 ，分别得到速度和加速度由质点的位置、速度和加速度的表达式可见，它们均与有关，因此定义 为相位关于相位的讨论：1. 对于同一振动系统，相位不同，则振动状态不同如：对于振动 ， 和时，它们的振动状态就不同2. 对于以下两个同频率的简谐振动系统当 时，振动同时到达最大位置，同时到达平衡位置，同时到达反方向最大位置 (步调一致)；当 时，振动1到达正方向最大位置时，振动2到达反方向最大位置，反之亦然 (步调相反) 通过相位，我们可以比较两个不同振动的振动状态：振动超前、振动同步、振动落后3. 相平面与相速度 (注意：波动与振动密切相关)等相面：空间中相位相同的点所组成的曲面若电磁波的等相面为平面，则称该电磁波为平面电磁波；若电磁波的等相面为球面，则称该电磁波为球面电磁波例：平面电磁波 ，其等相面为相速度定义为 则当 k 与 vp 共线时，有—平面方程于是即相速度为4. 非相干波的叠加、波的群速度频率单一的波叫做单色波。
真正单色波的波列必须是无穷长的，而有限长的波列是许多单色波的叠加由这样一群单色波组成的波列叫做“波包”为了讨论方便，设有振幅相等、波长和频率都相近的两列波组成的波包，它们的角频率和波数分别为 和 ，且有二者叠加后，可得、 ，即yx在前式中，右边第二个余弦项表示高频的波动，而第一个余弦项可视为低频传播的振幅叠加所得的某瞬时波形如上图所示，称高频波受到低频波的调制 (如图中绿色的线—包络线)式中高频波的传播速度(即相速)为 ，而低频波向前传播的速度(群速度)为 当两列波的频率差无限小时，波数差也无限小，在此极限情况下有附：关于色散的概念牛顿于1666年用三棱镜把太阳光分成彩色光带，即将复色光分解为单色光而形成光谱，这种现象叫做光的色散如右图所示色散的原因：复色光进入棱镜后，由于它对各种频率的光具有不同折射率(即光速随波长而变)，各种色光的传播方向有不同程度的偏折，在离开棱镜时就各自分散，形成光谱 在物理学中把“色散”的概念推而广之，凡波速与波长有关的现象都叫做色散，ω与 k 的依赖关系称为色散关系。
根据色散关系，可以对相速度和群速度进行比较因为所以，对于色散介质，有而对于无色散介质，则群速度等于相速度凡是一个物理系统对输入物理量的不同频率成分有不同的响应，往往就称为“色散”,这是借用光学术语自由振动系统：保守系 能量守恒即方程解的复数形式(指数形式)：令 ，则：思考：为什么用复数形式？什么条件下用复数形式？数学上： 1. 对指数因子进行运算比对三角函数因子进行运算更简单，因为对指数微分并不改变它们的形式；2. 进行线性运算(相加、乘以常系数、微分、积分等)时，可先用复数形式运算，运算完后再取实部；3. 反例：非线性运算例：电磁场中坡印廷矢量 ，不是另外的例子：见P58 三、受迫振动 设：振子受到一个随时间变化的外场力Ue (x,t)的作用则在平衡位置附近展开Ue (x,t)，有上式中，Ue (x,t)只是t的函数，对方程无贡献，略去确定平衡位置时，不考虑外场)令 ，则由拉格朗日方程，得到运动方程因令——关于X的一阶微分方程上式的解法：由F(t)=0得到与上式对应的齐次方程再通过变易系数法解得非齐次方程的解 讨论：若外力场为周期性外场则选t0，使 ，则积分下限为零。
令 ——按本征频率 的振动和按强迫力频率 的振动的叠加四、拍1. 当强迫力的频率 =本征频率 ——共振现象，(I)式不能用 (待讨论)2. 当 和 接近相等时，设 ——共振区 (I)式的指数形式为 在一个本征振动周期 内， 改变很少(对 求微分)(II)式中：——振幅(随t变化)； ——频率设 ，则振幅A在 与 之间变化；变化的频率是强迫力的频率与本征振动频率之差 ——拍现象 xtx2tx1t§1. 4. 2 阻尼振动 共振一、无阻尼的共振出发点改写为注意：此处的 不同于第一式的 当 时：则——共振时，振动的振幅将随时间的增长而无限增大讨论：1.振幅增到一定程度，微振动的假设已不再成立；2.实际运动存在阻尼，振幅不会随时间无限增大。
二、阻尼振动说明：所谓“阻尼”是指消耗系统能量的因素，它主要分两类：一类是摩擦阻尼，例如单摆运动时的空气阻力等；另一类是辐射阻尼，当系统引起周围质点的振动时，系统的能量逐渐向四周辐射出去，变为波的能量例如音叉发声时，一部分机械能随声波辐射到周围空间，导致音叉振幅减小，最后音叉的振动会停止下来实际的振动：存在阻尼阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使机械运动停止(无外力时)此时：1.对振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数；2.不能肯定运动物体的状态只是该瞬时它的坐标和速度的函数(因为此时要考虑介质本身的运动、介质和物体内部的热状态) 力学中的运动方程不存在(因为前面已假定，只要同时给定坐标和速度就能完全确定力学系统的状态)但：在某些情况——振动频率比介质中的内耗过程的特征频率小，即振动周期比内耗过程的周期长认为：在物体上作用着只依赖于它的速度的“阻力”办法：在运动方程中加进阻力项若速度又很小，则按速度的方次来展开阻力，有 ( ：较小)考虑到阻力和运动方向相反，有运动方程解的形式：特征方程：其中：弹力>阻力； ：弹力<阻力通解为 三、有阻尼情况下的共振有阻尼情况下强迫振动的运动方程为——频率为ω而振幅按指数衰减的振动备忘：当 时，解为该方程的复数形式为通解为其中：初始条件决定由通解，可以看到，长时间后，系统以本征频率的振动衰减，只剩下第二项。
即： 1.有阻尼的受迫振子，经过足够长时间后，完全按强迫力的频率振动，振动的相位落后于强迫力的相位(因为 )；2.当 时，振幅c取极大值，发生共振(并不随t的增长而 无限增长)四、通过共振时的相位变化和能量吸收率接近共振时，令( 很小 小量)共振时：远离共振时 ：由低到高( 由负到正)通过共振频率时，振动的相位改变共振点相位：振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时，有振子的能量不再变化——克服阻尼所消耗的能量通过吸收外力源能量来补充单位时间从外力源吸收的能量I=克服阻力在单位时间内做的功，即一个周期( )内能量的平均值为——吸收对频率的依赖关系(色散) ：平均能量吸收率当共振时 ，有 达到极大值： ——共振吸收当 时， 降到最大值的一半若用S表示与 类似的某一物理量，它依赖与外来频率 设S在 时达到共振，则——布雷特－维格纳分布(共振曲线的普遍分布)一维阻尼振动方程另外的推导方法定义耗散函数：——瑞利耗散函数由此得到而这样，广义力可以写为对于主动力中既有保守力，又有非保守力的系统，广义力为由基本形式的拉格朗日方程得到耗散系统的拉氏方程上式中的L包含了系统的总动能及保守力的势能。
例子：对于一维阻尼振子系统，所受主动力有弹簧的弹力 (保守力) 和阻力 (非保守力)若阻力为 时，则瑞利耗散函数为 而系统的拉格朗日函数为 ，则由耗散系统的拉氏方程，得到一维阻尼振子系统的运动方程§1.4.3 多自由度的耦合振动一、弱耦合的二振子系统 (两个自由度)设：两个振子 m，k；m，k两个振子之间用一软弹簧χ 连接——实现两个振子的耦合χ<< k：弱耦合 (将软弹簧换为硬弹簧或刚性杆会如何?)又设：滑块 1、滑块 2 的平衡位置为坐标原点，作两轴o1 x1、 o2 x2，则势能为系统的拉格朗日函数为(思考：将两个方程相加或相减，会出现什么结果？)设：解的形式为——两个滑块以同一频率振动由拉格朗日方程得到运动方程—— 关于 C1、 C2 的齐次方程组非零解条件为C1、 C2 的两组解：(具体值由初始条件定) (久期方程)C1、 C2 矩阵形式的解为显然，它们是相互正交的，即归一化：令 ，有满足正交归一条件：耦合振子系统有两个振动频率：ω1、ω2 。
与ω1、ω2 对应，有如下两种确定的集体振动模式一般情况下，振动是以上两种振动模式的叠加，即选新的广义坐标：Q1、Q2，令则 Q1、Q2 分别表示两种独立的集体振动模式这样从而得到新旧坐标之间的变换关系新坐标系下的拉格朗日函数——耦合项消失(退耦)，此时相互耦合的二振子系统变成两个独立的振子系统定义：Q1、Q2 为耦合振子系统的简正坐标 二、对称矩阵的本征值与本征矢(参见p320)为将二耦合振子系统推广到任意 S 个耦合振子系统，将前面关于 C1、 C2 的方程改写成矩阵形式，有令则一列二行矩阵 U 可看成一个二维空间中的矢量一般：2×2 对称矩阵 S 作用在一个任意二维空间矢量上，会改变它的大小和方向，即 SU 和 U 一般不平行但： SU =λU 表明此式中的矢量 U 。