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1、1、正规矩阵定义：下列类型的矩阵都是正规矩阵： 实对称矩阵 AT=A; 反实对称矩阵 AT=-A; 正交矩阵 AT=A-1; 酉矩阵 AH=A-1; Hermite矩阵 AH=A; 反Hermite矩阵 AH=-A; 对角矩阵设满足第三节 正规矩阵与酉对角化2、酉相似3、Schur 定理（1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即Schur 定理（2）任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即引理 正规上三角矩阵是对角矩阵证明 设n阶矩阵A是正规上三角矩阵，则比较等式两边，可得定理 ，则A酉相似于一个对角矩阵的充 分必要条件是A为正规矩阵，即证明 必要性充分性由schur定理知，A酉相似于一个上三角
2、矩阵T，正规矩阵的性质：1、正规矩阵有n个线性无关的特征向量；2、正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的；3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。解 显然A满足求得对应的线性无关特征向量例1 判断A是否为正规矩阵，如果是，将其酉对角化即A是Hermite矩阵，从而是正规阵由得A的特征值即酉变换矩阵为 则 经过验证它们两两正交。因此，只需将它们单位化得：实际上，对于正规矩阵来说，属于不同特征值的特征向 量相互正交。正定矩阵如果对于任意非0的向量X，成立 f (X)=XHAX 0 则称二次型f (X)是正定二次型，称A为正定矩阵.定理 设A是n阶Hermite矩阵，则下列命题等价（1） A是正定矩阵。（2） A与单位矩阵合同。（3） A的n个特征值全是正数。（4） A=QHQ，Q是可逆矩阵。（5） A的顺序主子式都大于0。例 判断矩阵的正定性提示：矩阵A为Hermite矩阵，只需求出其特征值，若特征 值有三个，且全为正数，A是正定矩阵。推论： 设A是n阶正定的Hermite矩阵，则（1） A-1也是正定矩阵。（2） detA0（3） trA大于每个特征值定理证明 设是AHA的特征值，x是相应的特征向量，则 AHAx= x由于AHA为Hermite 矩阵，故是实数。又同理可证AAH的特征值也是非负实数。证明 设x是方程组AHAx=0的非0解，定理 则由得
