《2012年高三数学系列复习1立体几何(空间向量文)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年高三数学系列复习1立体几何(空间向量文)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012 年秋高三数学系列复习年秋高三数学系列复习 立体几何（空间向量）立体几何（空间向量）1、空间向量的数量积、空间向量的数量积；| | |cos ，332211babababaababab2、两个向量的夹角公式、两个向量的夹角公式 cos，ab 2 32 22 12 32 22 1332211 bbbaaabababa3、两个向量共线（或平行）：Rkbkaba,/两个向量垂直：=0 baab332211bababa3、空间直角坐标系中的点，、空间直角坐标系中的点，已知点，),(111zyxA),(222zyxB),(121212zzyyxxABA、B 中点 M 坐标公式：，)(21OBOA
2、OM)2,2,2(212121zzyyxxM二、平面的法向量：二、平面的法向量：定义：和平面垂直的向量叫平面的法向量。法向量的求法：设是平面内的两个不共线向量，),(),(321321bbbbaaaa是平面的法向量，则：。),(zyxn 00nbna例例 1、已知、已知，求平面的法向量)2 , 1, 1 (),3 , 0 , 2(ba三、常三、常见见几何体的建系：几何体的建系： 建系原则：尽量选择过同一点互相垂直的直线当坐标轴； 尽量让的更多的点在坐标轴上； 尽量让图形放在第一卦限内；四、空四、空间间向量的作用：向量的作用：1、证明直线与平面垂直：证明直线与平面内的两个不共线向量垂直； 2、证
3、明直线与平面平行：证明直线与平面的法向量垂直（如图） ； 3、求空间的角；五、空五、空间间的角及求法：的角及求法：1、异面直线所成的角：、异面直线所成的角：异面直线所成的角的范围：20两条直线所成的角的范围：，两个向量所成的角的范围： 200求法一：作平行线：在一条上任一点，作另一条的平行线； 求法二：（向量）两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值abAnaabn设直线的方向向量为，异面直线所成的角为,则ml,ba,ml, |,cos|cos bababa 2、斜线和平面所成的角：、斜线和平面所成的角：（1） 、一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角；斜线和平面不垂直，不平行。斜线与平面所
4、成的角的范围：20直线与平面所成的角的范围：20如果直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角是 00的角。（2）求法一：一找公共点,二找垂线；解直角三角形,斜线、斜线的射影、垂线构成直角三角形；求法二：向量法：已知 PA 为平面的一条斜线，n 为平面的一个法向量，过 P 作平面的垂线 PO，连结 OA 则PAO 为斜线 PA 和平面所成的角为 ；则sin|,cos|,cos|PAnPAnAPnAPOP3、二面角：（1）由一条棱出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角。平面所成的二面角的平面角为， （垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线所成的角）,（2）求法：平面的法向量，记二面角的大小为
5、，,vu,l则=，钝角还是锐角根据具体的何图形确定。|,cos|cos|vu |vuvu例例2、如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CACBCDBDABAD（1）求证：平面 BCD；AO （2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （3）求 OC 与平面 ADC 所成的角； （4）求二面角 B-AD-CnAPOPBAaABCDOEAAOBAAOBOOBBAAaPBAauuvl3：已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，ABDC，底面 ABCD，PADAB,90且 PA=AD=DC=AB=1，M 是 PB 的中点奎屯王新敞新疆 21（1）证明：面 P
6、AD面 PCD； （2）求 AC 与 PB 所成的角； （3）求 AD 与面 AMC 所成的角； （4）求面 AMC 与面 BMC 所成的二面角； （5）在 MC 上确定一点 N，使 ANMC。4、在长方体 ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AD 上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当 E 为 AB 的中点时，求点 AE 与面 ACD1所成的角；（3）AE 等于何值时，二面角 D1ECD 的大小为.4ABCDMPBCDD1B1A1 B1E六、立体几何的常用定理：八个六、立体几何的常用定理：八个（ （1）直）直线线与平面平行两个：与平面平行两个：定理
7、一：判定定理：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，这条直线和这个平面平行 （线线平行（线线平行线面平行）线面平行）定理二：性质定理：直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，直线和交线平行 （线面平行（线面平行线线平行）线线平行）（ （2）两个平面平行两个：）两个平面平行两个： 定理三：判定定理：有两条相交相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （线面平行（线面平行面面平面面平行）行） 定理四：性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 （面面平行（面面平行线线平线线平行）行）两个平面平行，其中一个平面内的直线，平行于另一个平面；（面面平行
8、（面面平行线面平行）线面平行）夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。（ （3）直）直线线和平面垂直两个：和平面垂直两个：定理五：判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线和这个平面垂直。 （线线垂直线线垂直线面垂直）线面垂直） 定理六：性质定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。 过一点和已知平面垂直的直线只有一条，过一点和已知直线垂直的平面只有一个。（ （4）两个平面垂直两个：）两个平面垂直两个： 定义：平面角是直角的二面角叫直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。 定理七：判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （线面
9、垂直线面垂直面面垂直）面面垂直） 定理八：性质定理：两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线， 垂直于另一个平面。 （面面垂直面面垂直线面垂直）线面垂直）七、七、证证明明线线、面平行垂直及、面平行垂直及线线面角的的思路面角的的思路1 1、证线面平行的思路：、证线面平行的思路：法一：证线与平面内的一条线平行；法二：线所在的平面与平面平行。 2 2、证线面垂直、证线面垂直, ,面面垂直的思路：面面垂直的思路：证一个平面的一条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直。5、在三棱锥 A-BCD 中，平面，点 E 在 BD 上，DCABCCDBCACBAC23 21,90且 BE=3ED， （1）
10、求证：，BCAE （2）BD 与平面 AEC 所成角的正弦值， （3）求二面角 B-AE-C 的余弦值。平行平行间间的相互的相互转转化关系：化关系：线线线线平行平行 线线面平行面平行 面面平行面面平行CBEAD垂直垂直间间的相互的相互转转化关系：化关系：线线线线垂直垂直 线线面垂直面垂直 面面垂直面面垂直ACD EB参考答案 3、因为 PAPD，PAAB，ADAB，以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系， 则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0） ，C（1，1，0） ，D（1，0，0） ，P（0，0，1） ，M（0，1，.)21（）证明：因., 0),0 , 1 ,
11、 0(),1 , 0 , 0(DCAPDCAPDCAP所以故又由题设知 ADDC，且 AP 与与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC面 PAD. 又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD面 PCD奎屯王新敞新疆（）解：因),1, 2 , 0(),0 , 1 , 1 (PBAC.510|,cos, 2,5| ,2| PBACPBACPBACPBACPBAC所以故由此得 AC 与 PB 所成的角为.510arccos（）解：在 MC 上取一点 N（x，y，z） ，则存在使,R,MCNC.21, 1,1),21, 0 , 1 (),1 ,1 (zyxMCzyxNC要使.54, 02
12、10,解得即只需zxMCANMCAN0),52, 1,51(),52, 1 ,51(,. 0),52, 1 ,51(,54MCBNBNANMCANN有此时能使点坐标为时可知当为所求二面角的平面角.ANBMCBNMCANMCBNMCAN所以得由.,0, 030304|,|,.555ANBNAN BN 2cos(,).3| |AN BNAN BNANBN 2arccos().3故所求的二面角为4、以 D 为坐标原点，直线 DA，DC，DD1分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x，则 A1（1，0，1） ，D1（0，0，1） ，E（1，x，0） ，A（1，0，0）C（0，2，0）（
13、1）., 0) 1, 1 (),1 , 0 , 1 (,1111EDDAxEDDA所以因为A BCDP MNxzy（2）因为 E 为 AB 的中点，则 E（1，1，0） ，从而，)0 , 2 , 1(),1, 1 , 1 (1ACED，设平面 ACD1的法向量为，则) 1 , 0 , 1(1AD),(cban , 0, 01ADnACn也即，得，从而，所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 002caba caba2)2 , 1 , 2(n.31 3212|1 nnEDh（3）设平面 D1EC 的法向量，),(cban ),1 , 0 , 0(),1, 2 , 0(),0 , 2, 1 (11DDCDxCE由 令 b=1, c=2,a=2x， . 0)2(02, 0, 01 xbacbCEnCDn).2 , 1 ,2(xn依题意.225)2(2 22| 4cos 2 11 xDDnDDn（不合，舍去） ， .321x322xAE=时，二面角 D1ECD 的大小为.3245、 （1）（2）35105cos
