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1、 第十二章 系统的 状态变量分析本章的主要内容w1、信号流图w2、连续时间系统状态方程的建立w3、连续时间系统状态方程的求解w4、离散时间系统状态方程的建立w5、离散时间系统状态方程的求解w6、状态矢量的线性变换系统模拟w基本模拟单元s s- -1 1 a a a a系统模拟图 直接形式系统函数为：令：即： 系统模拟图 级联形式和并联形式w级联形式一阶节：二阶节：与直接形式的图相同。由子系统一阶节, 二阶节级联组成系统模拟图w并联形式 由子系统一阶节, 二阶节并联组成由系统模拟图求系统函数 设：中间变量为X2 2-2-2-1-13 3 例 画出直接形式模拟图已知 ，试画出直接形式模拟图。解：系
2、统函数可变为s -1s -1s -1s -1-7-16-1232F (s)Y (s)例 画出级联形式模拟图已知 ，试画出级联形式模拟图。解：系统函数可变为-2s -13s -1-22F (s)s -1s -1-3Y (s)例 画出并联形式模拟图已知 ，试画出并联形式模拟图。解：系统函数为s -1-2F (s)s -1-3Y (s)s -1-2s -1-5/4例已知如图所示系统。解：系统函数为s -1F (s)s -1 -Y (s) (1)求系统函数H(s)。(2)冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。(3)若 f (t)=u(t-1)- u(t-2)，求零状态响应y(t)。解：根据线性非时变性质
3、解：第一节 信号流图 下册P286一、概述w利用方框图（子系统）组合分析线性系统的 方法可使求解过程简化。 w线性系统的仿真（simulation ,也称模拟） 。 w对于连续时间系统采用基本运算单元：包括 相加、倍乘和积分构成的系统模型。 w对于离散时间系统采用基本运算单元：包括 相加、倍乘和延时构成的系统模型。二、信号流图 1、产生w为了进一步简化各种方框图（子系统）组合 方法，出现了线性系统的“信号流图”（ Signal flow graphs)表示与分析方法。 w这个方法是由美国麻省理工学院的梅森（ Mason)于20世纪50年代初首先提出。此后 ，在反馈系统分析、线性方程组求解、线性
4、 系统模拟以及数字滤波器设计等方面得到广 泛应用。2、信号流图的优点w（1）系统模型的表示简明清楚；w（2）系统函数的计算过程明显简化。w（3）对于由多个反馈环路组成的复杂系统 进行分析时，信号流图方法的优点更为突出 。 w（4） 借助信号流图研究系统状态空间分析 可显示出许多优点。3、信号流图的表示法w用一些点和支路来描述系统 。X(s)Y(s)H(s)看出简单的方框图，变成流图形式是用一有始有终的 线段表示。起始点标为X(s),终点标为Y(s).X(s)Y(s)H(s)4、流图中的名词w结点：表示系统中变量或信号的点。 w线段（支路）：两个结点之间的定向线段，表示 信号传输的路径。 w箭头
5、：表示信号的传输方向； w转移函数： 两个结点之间的增益称为转移函数， 标注在箭头附近。 w输入结点或源点：只有输出支路的结点，它对应 的是自变量（即输入信号）。 w输出结点或阱点：只有输入支路的结点，它对应 的是因变量（即输出信号） w混合结点：既有输入支路又有输出支路的结点。w通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允 许有相反方向支路存在）。 w开通路：通路与任一结点相交不多于一次。 w闭通路（环路）：如果通路的终点就是通路的起点， 并且与任何其他结点相交不多于一次。闭通路又称环 路。 w环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。 w不接触环路：两环路之间没有任何公共结点。 w前向通路：
6、从输入结点（源点）到输出结点（阱点 ） 方向的通路上，通过任何结点不多于一次的全部支路 径。 w前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积 。 w因此： w每一条支路相当于乘法器；结点可以有很多信号输入 ，而且可以向不同方向输出。三、信号流图的性质w运用信号流图时必须遵循流图的以下性质： w（1）支路表示了一个信号与另一信号的函数关系 。信号只能沿着支路上的箭头方向通过。X(s)Y(s)H(s)w（2）结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把 总和信号传送到所有输出支路。w（3）具有输入和输出支路的混合结点，通过增加 一个具有单位传输的支路，可以把它变成输出结 点来处理。w（4）给定系统，信
7、号流图形式并不是惟一的。 w这是由于同一系统的方程可以表示成不同形式，因 而可以画出不同的流图。w（5）流图转置以后，其转移函数保持不变。 w所谓转置就是把流图中各支路的信号传输方向给以 调转，同时把输入输出结点对换。例w如图所示：结点X4有三个输入，二个输出。w按流图构成原则有：H14(s)H24(s)H34(s)H45(s)H46(s)例 w如图所示方框图改画为信号流图形式，并求 系统的转移函数。H1(s)H3(s)G2(s)H2(s)G1(s)G3(s)H4(s)G4(s)例例例四、信号流图的代数运算w流图既是表示一组线性方程组，代表某一线性系统 ，因而和系统的方框图表示一样，可以按一些
8、代数 运算规则加以简化。 w常用的一些规则： w（1）只有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以 支路增益。因而串联支路可以简化合并为单一支路 。w（2）串联支路的总增益，等于所有各支路增益的 乘积，因而串联支路可以简化合并为单一支路。w（3）通过并联相加可以把并联支路合并为单一支路。w（4）混合结点可以按一定方式消掉。w（5）环路可以按一定方式消掉。w利用这些信号流图的代数运算，可以把一复杂的流 图加以简化。使之只剩下一个源点和一个阱点，从 而确定系统的转移函数。例 w利用信号流图的代数运算规则重求下列系统 的转移函数。w解（1）消去X1，X1结点有三个输入信号w另一种方法是把输出支路增益除以
9、（1+G2H2）。 这两种方法等同。w（2）消去X2，这个结点有二个输入信号和一个环路 。有二种方法。第一种方法：把所有输入支路增益 除以（1+G2H2）w（3）消去X3。X3是有三个输入的混合结点。w消去X2。w（4）消去X4。w（5）最后结点消去。它是一个输入支路和 二个并联环路组成。w最后消去环路，求得最终的转移函数。w并联环路增益相加。五、信号流图的梅森增益公式w利用梅森增益公式可以根据流图很方便地求 得输入与输出间的转移函数。或：五、信号流图的梅森增益公式例w用梅森公式求下图所示系统的转移函数。w解：先按梅森公式求出其有关参数。 w求流图的特征行列式：例 w用梅森公式求下图所示系统的
10、转移函数。w解：为了应用梅森公式，先求出有关参数。例w解：连续系统通常用积分器来模拟，因而可把上式改写为 ：w根据梅森公式求用下列转移函数表示的系统流图。第二节 状态变量分析概念1. 经典的线性系统理论一、概论2. 现代的线性系统理 论二、状态变量的引入例子一阶微分联立方程组即为状态变量分析法或状态空间分析法此方程为状态方程三、状态方程引入w在状态空间分析方法中，将状态方程以矢量和矩阵 形式表示。w如果一个系统需要k个状态变量来描述，则状态矢 量就是k维的矢量，对应的状态空间就是k维空间。w状态变量分析法对于连续时间系统用一阶微分联立方程来 表述。对于离散时间系统用一阶差分联立方程来表述。四、
11、输出方程引入w当系统的阶次较高因而状态变量数目较多或系统 具有多输入-多输出信号时，描述系统的方程形式 一样，只是矢量或矩阵的维数有所增加。w以r(t)表示输出信号，输出方程为：w实际上，电路的输出信号可能由多个状态变量以及 输入信号的作用组合而成，则需列出“输出方程”。五、状态变量分析法的优点w状态变量分析法分析系统的优点在于： w（1）便于研究系统内部的一些物理量在信号转换 过程中的变化。它们用状态矢量分量表示。w（2）系统的状态变量分析法与系统的复杂程度没 有关系，复杂系统和简单系统的数学模型形式相似 ，都表示为一些状态变量的线性组合，这种以矢量 和矩阵表示的数学模型特别适用于描述多输入
12、-多输 出系统。w（3）状态变量分析法也适用于非线性或时变系统。状态变量分析法的优点w（4）状态方程的主要参数表征系统的关键性能。 利用状态方程分析系统的稳定性比较方便。w（5）因状态方程的都是一阶微分方程或一阶差分 方程，因而便于采用数值解，便于利用计算机分 析系统。w（6）状态变量分析法的方法有：时域法和变换 域法。第三节 连续时间系统 状态方程的建立一、连续时间系统的状态方程的结构连续时间系统的状态方程的结 构连续时间系统的状态方程的结 构连续时间系统的状态方程的结 构二、状态方程的建立本章着重介绍后者1、直接法例例例2、间接法状态方程的建立状态方程的建立状态方程的建立状态方程的建立例例
13、例例例例例例例例例例第三节 连续时间系统 状态方程的求解一、 方程的求解连续时间系统的状态方程的求解，可以采用两种方法：时域法：可借助计算机求解变换域法：比较简单一、 变换域求解法变换域求解 法变换域求解 法例例例例例(1)定义“矩阵指数”二、时域法即用矢量微分方程求解状态方程:(2) 矩阵指数的性质时域法(3)方程的时域求解方程的时域求 解方程的时域求 解b. 计算机解法：由定义求无穷级数之和取有限项；方程的时域求 解(4)eAt的求法虽然状态方程及输出方程的形式都求出来， 但要求出其解关键是要求出eAt。 求其方法有：方程的时域求 解凯莱-哈密顿定理（1）先写出A的特征方程式，并求出其特征
14、根。方程的时域求 解eAt的求解例例例例例例例例例例例例例例例例例三、由状态方程求解系统函数H(s)由状态方程求解系统函数H(s)例25-53-1-1例第四节 离散时间系统 状态方程的建立一、状态方程的建立状态方程的建立w看出： w（1）（n+1)时刻的状态变量是n时刻状态变 量和输入信号的函数。 w（2）在离散系统中，动态元件是延时单元， 因而状态变量常常取延时单元的输出。例例连续时间系统的状态、输出方程 与离散时间的状态、输出方程比较二、离散时间系统状态方程的求解1、时域法离散时间系统状态方程的求解 2、Z域法离散时间系统状态方程的求解3、状态转移矩阵的求解（1）时域求法离散时间系统状态方程的求解 （2）Z域求法第六节 状态变量的 线性变换一、线性变换下系统的特性线性变换下系统的特性二、 A矩阵对角化的作 用例例例例三、由A矩阵来判定系统的稳定性例（连续系统）例例例（离散系统）例例例 总结w1、信号流图，梅逊公式w2、连续时间系统状态方程的建立w3、连续时间系统状态方程的求解w4、离散时间系统状态方程的建立w5、离散时间系统状态方程的求解w6、用状态方程表述的系统稳定性分析
