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1、1.1.7 柱、锥锥、台和球的体积积学习目标学习目标1.了解祖暅原理及等体积变换的意义2掌握柱、锥锥、台、球的体积积公式并会求它们们的体积积课堂互动讲练知能优化训练11.7课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基1棱长为长为 a的正方体体积积V_. 2长长方体的长长、宽宽、高分别为别为 a、b、c，其 体积为积为 V_. 3底面半径为为r，高为为h的圆圆柱的体积为积为 V _.a3abcr2h知新益能知新益能1长长方体的体积积公式 V长长方体_. 其中a、b、c分别别是长长方体的长长、宽宽和高，S、h分 别别是长长方体的底面面积积和高 2祖暅暅原理 幂势幂势 既同，则积则积 不容异 这这就是说
2、说，夹夹在_的两个几何体， 被_的任意平面所截，如果截 得的两个截面的面积积_，那么这这两个几何 体的体积积_abcSh两个平行平面间间 平行于这这两个平面 总总相等 相等3祖暅暅原理的应应用_、_的两个柱体或锥锥体的体积积相等4柱、锥锥、台、球的体积积其中S表示面积积，h表示高，r和r分别别表示上、下底面的半径，R表示球的半径.等底面积积等高把锥锥体用平行于底面的平面截开，截得的小锥锥 体的体积积与原锥锥体的体积积之比等于截得小锥锥体 的高度与原锥锥体的高度之比的立方提示：可以思考感悟课堂互动讲练考点突破考点突破柱体的体积对对于不易求出的柱体，应应当进进行适当的变变形和“割补补”，使其成为为
3、易求的柱体，运用公式求之棱柱ABCABC的侧侧面 AACC的面积为积为 S，且这这个侧侧面到与它相对对 的侧侧棱BB之间间的距离为为a，求这这个棱柱的体 积积 【分析】 此题题若直接求底面ABC的面积积及其 上的高，将是困难难的，能否考虑虑采取补补充或截 割的办办法，以已知面积积的侧侧面为为底来解呢？如 图图，设设法补补上一个与原三棱柱全等的三棱柱， 成为为一个平行六面体，再将面AACC看做底 来求例例1 1【解】 如图图，过侧过侧 棱BB、CC分别别作侧侧面 AC、AB的平行平面，DD是交线线，再伸展 两底面，得到平行六面体ABDC ABDC. 侧侧面AACC的面积为积为 S，设设此面为为底
4、面， 则则平行六面体BDDBACCA的高为为a，【点评评】 当所给给几何体的体积积不易求出时时 ，我们们可以通过过“割补补法”，使之变变形为为我 们们熟悉的几何体去解决跟踪训练训练 1 正三棱柱侧侧面的一条对对角线线长为长为 2且与该侧该侧 面内的底边边所成角为为45，求此三棱柱体积积将台体的体积积与上、下底面积积及高建立函数关系或者根据等量建立方程台体的体积例例2 2已知正四棱台两底面边长边长 分别为别为 20 cm和10 cm，侧侧面积积是780 cm2.求正四棱台的体积积【分析】 借助于正四棱台内直角梯形，求得棱台底面积积及高，从而求解其体积积【解】 如图图所示，正四棱台ABCDA1B1
5、C1D1 中，A1B110 cm，AB20 cm.取A1B1的中点 E1，AB的中点E，则则E1E是侧侧面ABB1A1的高设设 O1、O分别别是上、下底面的中心，则则四边边形 EOO1E1是直角梯形【点评评】 在求台体的体积时积时 ，关键键是根据题设题设条件，分析得出所求问题问题 需要哪些量，现现在已知哪些量，然后归纳归纳 到正棱台的直角梯形中列式求解，最后代入体积积公式求解体积积跟踪训练训练 2 棱台的上底面积为积为 16，下底面积为积为64，求棱台被它的中截面分成的上、下两部分体积积之比关键键是找出球的半径或者半径与其它量之 间间的关系球的体积例例3 3 球的两个平行截面的面积积分别别是5
6、，8，两截面间间距离为为1，求球的体积积【分析】 应应用轴轴截面中的直角三角形来求球的半径【点评评】 球既是中心对对称又是轴对轴对 称的几何体，它的任何截面均为圆为圆 ，过过球心的截面都是轴轴截面，因此球的问题问题 常转转化为圆为圆的有关问题问题 解决不规则规则 的无体积积公式的几何体通过过割补补变换变换 ，转转化为为能直接用体积积公式计计算的几何体不规则几何体的体积例例4 4 如图图所示，三棱柱ABCA1B1C1中， 若E、F分别为别为 AB、AC的中点，平面EB1C1F 将三棱柱分成体积为积为 V1、V2(V1V2)的两部分 ，求V1V2.【点评评】 不规则规则 几何体的体积积可通过对过对
7、 几何 体分割，使每部分都能够够易求得其体积积，或者 使所求体积积等于整体几何体体积积减去部分几何 体体积积 跟踪训练训练 3 如图图所示，已知等腰梯形ABCD的 上底AD2 cm，下底BC10 cm，底角 ABC60，现绕现绕 腰AB所在直线线旋转转一周， 求所得的旋转转体的体积积方法感悟方法感悟1祖暅暅原理是推导导柱、锥锥、台和球体积积公式的基 础础和纽带纽带 原理中含有三个条件：条件一是两个 几何体夹夹在两个平行平面之间间；条件二是用平行 于两个平行平面的任何一平面可截得两个截面；条 件三是两个截面的面积总积总 相等这这三个条件缺一 不可，否则结论则结论 不成立 2多面体与旋转转体的体积
8、积公式只要求我们们了解， 但结论结论 “等底面积积、等高的两个棱锥锥的体积积相等 ”必须记须记 熟且学会对对它的熟悉运用，柱体、锥锥体 、台体的体积积关系如下：3在推导导棱锥锥的体积积公式时时，是将三棱柱分成 三个三棱锥锥，这这三个三棱锥变换锥变换 它们们的底面和 顶顶点，可以得到它们们两两之间间等底面积积、等高 ，因此它们们的体积积相等，都等于三棱柱体积积的 三分之一在这这个过过程中，一是运用了等体积积 转换转换 的方法，二是运用了割补补法，这这些方法在 今后解题时题时 要灵活运用 4有的几何体是由若干个简单简单 几何体如柱、锥锥 、台、球等组组合而成，我们们称之为组为组 合体，求 解组组合体体积积的关键键是掌握简单简单 几何体的体积积 公式，会将组组合体分解成若干个简单简单 几何体
