《山东大学高等数学教学课件(ppt版)重积分__重积分应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东大学高等数学教学课件(ppt版)重积分__重积分应用（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 重积分的应用第四节 重积分的应用一.几何应用解法一:将立体看作曲顶柱体,利用二重积分计算.两种解法1.立体体积解法二:利用三重积分性质计算.例1 计算由 和 围成的立体体积.由对称性,只要求出第一卦限 部分的体积,再乘以8倍即可.看作曲顶柱体例2 计算由 和三个坐标面围成的四面体体积.曲顶abc2a2a2axyzO2.曲面面积D为 S 在 xoy 面上的投影区域.在D上有连续偏导数设曲面S :S dA微元法: 在D上任取小区域 ,相应的得到S上小曲面dS.用切平面 近似代替面积微元同理,若曲面 S 的方程为 x = x( y,z ) 或 y = y( z,x ),可分别把 S 投影到
2、yoz 面或 zox 面上,得面积公式:或S 在 yoz 面上投影区域S 在 zox 面上投影区域例3 计算例1中立体的表面积.由对称性,只要求出第一卦限 阴影部分的面积,再乘以16倍.曲面方程二.物理应用1.物体重心(1).平面薄板:设薄板占有平面区域D,面密度 在D上连续.Dxy在D上任取小区域 及其上面任意一点(x , y),的质量对 x 轴 y 轴的静力矩分别为:于是平面薄板的重心为:(2).空间物体:物体占有空间区域 ,密度 在 上连续.则物体的重心为:例4.半径为1的半圆形薄板,各点处的密度等于该点到圆心的距离,求此半圆的重心.xy由对称性:于是重心:2.转动惯量(1).平面薄板:设薄板占有平面区域D,面密度 在D上连续.由静力学及微元法,薄板对x 轴, y 轴以及原点的转动惯量分别为:(2).空间物体:同理,物体对坐标轴,坐标面以及原点的转动惯量分别为:例5.求均匀球体绕其直径的转动惯量.设半径为R,密度为 ,球心在原点,则绕 z 轴的转动惯量为:为均匀球体的质量
