高中数学讲义微专题03--利用数轴解决集合运算问题

微专题 03 利用数轴解决集合运算问题数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些 结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题在集合的运算中，涉及到单 变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用 数轴快速的进行集合的交并运算 一、基础知识： 1、集合运算在数轴中的体现：在数轴上表示为表示区域的公共部分:AB,A B在数轴上表示为表示区域的总和:AB,A B在数轴上表示为中除去剩下的部分（要注意边界值能否取到）:UC AUA2、问题处理时的方法与技巧： （1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数 的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系 （2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的 区域 （3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和 集合包含区域交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域 （4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放 置参数即可 3、作图时要注意的问题： （1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实 心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察 （2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。

二、例题精析：例 1：（2009 安徽）集合，21213 ,03xAxxBxx则=_______AB思路：先解出的解集，,A B，作出数轴，则即为它们的公共部分11,2 ,,3,2AB   AB11,2AB  答案： 11,2AB  例 2：设集合，则的取值范围是____23 ,|8 ,Sx xTx axaSTRa思路：可解出 ，而集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集 , 15,S   T合做起，即画出的范围，由于，而数轴上有一部分区域没有被包含，那说明SSTRS集合负责补空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以TS画出图像，有图像观察可得只需要： 即可，解得：1 85a a  31a  答案： 31a   小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作 用，在本题中参数决定区间的端点T （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合（3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若或，则端3a  1a   点处既不在里，也不在里，不符题意。

ST例 3：对于任意的，满足恒成立的所有实数构成集合xR222240axaxa，使不等式的解集是空集的所有实数构成集合，则A43xxaaB______RAC B 思路：先利用已知条件求出，再利用数轴画出的范围即可,A BRAC B解：由 ① 恒成立，可得：222240axax当即时，①变为：恒成立20a2a 40  当时，若要①恒成立，则2a 220 22421620a aaa   2,2A 解集为空等价于：43xxa,43xR xxa min43axx设 27,4 431,34 72 ,3xx f xxxx x x  即 min1f x1a,1B  1,RC B1,2RAC B小炼有话说：本题更多考察的地方在于集合的求解集合要注意的情况，,A BA20a而不能默认为二次不等式，集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化在集合进行交B 并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。

例 4：已知集合，若0) 12(,31122mmxmxxBxxxA，则实数的取值范围为 AB  m思路：先解出的解集，意味着有公共部分，利用数轴可标注集合两,A BAB ,A BB端点的位置，进而求出的范围m解：113xx当时， 1x 31132xxx  312x 当时，恒成立11x 11323xx 当时， 1x  31132xxx  312x 3 3,2 2A 22(21)0xmxmm10xmxm1mxmAB  且312m  3 2m 5 3,2 2m 例 5：已知，当“”是“”2|521,|AxxxBx xaxxaxAxB的充分不必要条件，则的取值范围是__________a思路：为两个不等式的解集，因为“”是“”的充分不必要条件，所以,A BxAxB是的真子集考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出的范围即可ABa解： 2505211013521xxxxxxx    1,3A2210xaxxaxaxa10xxa由是的真子集可得： AB3a 答案：3,a小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：是的充分不必要条件对应集合pqp是对应集合的真子集PqQ2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围 加以限制，减少分类讨论的情况。

例如在本题中，若先处理，则解不等式面临着分类讨论B 的问题但先处理之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论A例 6：已知函数，对，使 221,02( )1,, 20xxg xaxf xxx 122,2 ,2,2xx  得成立，则实数的取值范围是__________  12g xf xa思路：任取任取，则，则取到取到值域中的每一个元素值域中的每一个元素，依题意，存在使得12,2x   1g x g x2x，意味着值域中的每一个元素都在的值域中，即的值域为  12g xf x g x f x g x的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出的范围 f xa解：时， 时，20,2x  20,3f x22,0x   24,0f x  24,3f x 对于，分三种情况讨论 g x当时， 0a  21,21g xaa 2141213aaa   0,1a 当时，，符合题意0a  1g x 当时， 0a  21, 21g xaa2141213aaa     1,0a  综上所述：1,1a 答案：1,1a 例 7：已知集合，若，|21 ,|Ax xxBx axb 或,2,4ABR AB则________b a思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合的范围。

B从而确定出的值，如图所示：可得，所以, a b1,4ab 4b a 答案： 4例 8：设，22|210 ,|0 ,|20AxxxxBx xaxbABx x，求|13ABxx, a b思路：集合的不等式解集为 ，集合为一A 2, 11,B元二次不等式的解集，由题意可知，设B  的两根为 ，则 ，在20xaxb1212,x xxx12,Bx x数轴上作图并分析后两个条件：说明将集合覆盖数轴的漏洞堵|20ABx xBA上了，说明与的公共部分仅有，左侧没有公共部分，从而|13ABxxBA1,3的位置只能如此（如图） ，可得：，由韦达定理可得：12,Bx x121,3xx 2,3ab  例 9：在上定义运算，若关于的不等式的解集是R:2xxyyx(1)0xxa 的子集，则实数 a 的取值范围是（ ）{ | 22,}xxxR A． B． C．或 D．22a 12a 31a  11a 31a 思路：首先将变为传统不等式：，(1)0xxa 1001xxxaxa 不等式含有参数，考虑根据条件对进行分类讨论。

设解集为，因为，所以aaA2,2A 首先解集要分空集与非空两种情况：当时，则；当时，根据的取值A  1a  A  a 分类讨论计算出解集后再根据数轴求出的范围即可a解：1000211xxxxaxaxa  设解集为 A当时，则A  1a   当时：A  若时，101aa  0,12,2Aa 12a  1a 11a 若时，101aa  1,02,2Aa 12a   3a  31a  综上所述：3,1a 答案：D 例 10：已知，若关于的不等式的解集中的整 (01)f xmxxnnm x 0f x 数恰有 3 个，则实数的取值范围是（ ）m A. B. C. D. 解：36m13m01m10m 所解不等式为，可以考虑两边平方后去mxxn掉 绝对值，因式分解可得：110mxnmxn，由题意中含 3 个整数解可得：解集应该为封闭区间，所以的系数均大于零，即，另一x10110mmm  方 面，解集区间内有 3 个整数，从端点作为突破口分析，两个端点为，因为，所以，进而结合数,11nnxxmm 01nm 0,11nxm轴分析可得三个整数解为，所以另一个端点0, 1, 2 的取值范围为①，而3221311nmnmm     ②，所以只要①②有交集，则可找到符合01nm 条件的，结合数轴可得：，求出, n m211mm1,3m答案：1,3m三、近年模拟题题目精选：1、 （2016 四川高三第一次联考）已知集合，|2,,|1,MxxxRNxxa aR若，则的取值范围是（ ）NMaA. B. C. D. 01a1a 1a 01a2、 （2014 吉林九校二模，1）已知 ，则 | 12 ,|3MxxNx x RC MN （ ）A.B. C. D. 2,32,3 , 12,3 , 12,3 3、 （重庆八中半月考，1）设全集为，集合，则R12 ,01Ax xBxx（ ）AB A. B. C. D. 2,22,11,22,4、已知函数的定义域为，的定义域为，则  22xf x x M ln1g xxN（ 。