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1、课时提升练(五十一) 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1过点的直线 l 与抛物线 yx2交于 A，B 两点，O(0，12)为坐标原点，则的值为( )OAOBA B C4 D无法确定1214【解析】 由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设其方程为 ykx .12由Error!得 2x22kx10.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error!x1x2y1y2x1x2(k21)OAOB(kx112)(kx212)x1x2 k(x1x2) (k21) k(k) .故选 B.121412121414【答案】 B2(2014豫西五校联考)已知椭圆1(0b2)，左、右x24y2b2焦点分
2、别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若|BF2|AF2|的最大值为 5，则 b 的值是( )A1 B. C. D.2323【解析】 由椭圆的方程可知 a2，由椭圆的定义可知，|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则3.所以 b23，2b2a即 b.3【答案】 D3已知双曲线1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双x212y24曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A. B(，)(33，33)33C. D，33，3333【解析】 由题意知，焦点为 F(4,0)，双曲线的两
3、条渐近线方程为 yx.当过点 F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一33个交点，画出图象，数形结合可知应选 C.【答案】 C4过椭圆1 内一点 P(3,1)，且被这点平分的弦所在直x216y24线的方程是( )A3x4y130 B4x3y130C3x4y50 D3x4y50【解析】 设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B 两点均在椭圆上，故1，1，x2 116y2 14x2 216y2 24两式相减得0.x1x2x1x216y1y2y1y24又P 是 A，B 的中点，x1x26，y1y22，kAB .y1y2x1x234直线 AB 的方程为 y1 (x3)34
4、即 3x4y130.【答案】 A5(2014湖北高考)设 a，b 是关于 t 的方程 t2cos tsin 0 的两个不等实根，则过 A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1 的公共点的个数为( )x2cos2y2sin2A0 B1 C2 D3【解析】 由根与系数的关系，得 abtan ，ab0，则a，b 中必有一个为 0，另一个为tan .不妨设 A(0,0)，B(tan ，tan2)，则直线 AB 的方程为 yxtan .根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为 yxtan ，显然直线 AB 是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点【答案】 A6(2014四川高考)已
5、知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，2(其中 O 为坐标原点)，则OAOBABO 与AFO 面积之和的最小值是( )A2 B3 C. D.17 2810【解析】 设直线 AB 的方程为 xnym(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，x1x2y1y22.OAOB又 y x1，y x2，y1y22.2 12 2联立Error!得 y2nym0，y1y2m2，m2，即点 M(2,0)又 SABOSAMOSBMO |OM|y1| |OM|y2|y1y2，S1212AFO |OF|y1| y1，1218SABOSAFOy1y2 y118 y123，
6、982y198y12y1当且仅当 y1 时，等号成立43【答案】 B二、填空题7(2013江西高考)抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，其准线与双曲线1 相交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则x23y23p_.【解析】 由于 x22py(p0)的准线为 y ，由Error!p2解得准线与双曲线 x2y23 的交点为A，B，所以 AB2 .( 314p2，p2)(314p2，p2)314p2由ABF 为等边三角形，得ABp，解得 p6.32【答案】 68已知抛物线 y28x 的焦点为 F，直线 yk(x2)与此抛物线相交于 P，Q 两点，则_.1|FP|1|FQ|【解析】 设 P(
7、x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，|PF|x12，|QF|x22，则1|FP|1|FQ|1x121x22，联立直线与抛物线方程消去 y 得，x1x24x1x22x1x24k2x2(4k28)x4k20，可知 x1x24，故1|FP|1|FQ| .x1x24x1x22x1x24x1x242x1x2812【答案】 129设斜率为的直线 l 与椭圆1(ab0)交于不同的22x2a2y2b2两点，且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为_【解析】 设椭圆的左、右焦点分别为 F1(c,0)、F2(c,0)，两个交点分别为 M，N，由题意知M，N，kMN，又直线的斜
8、率为，(c，b2a)(c，b2a)b2ac22，即 2b2ac，(a2c2)ac，e2e0，解b2ac222222得 e或，又 0e1，e.22222【答案】 22三、解答题10(2014陕西高考)图 895已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为 ，左右焦x2a2y2b2312点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：y xm 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2为12直径的圆交于 C，D 两点，且满足，求直线 l 的方程|AB|CD|5 34【解】 (1)由题设知Error!解得Error!椭圆的方程为1.x24y23(2)由题设，以 F1F2为
9、直径的圆的方程为 x2y21，圆心到直线 l 的距离 d，2|m|5由 d1 得|m|.(*)52|CD|22 . 1d2145m225 54m2设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!得 x2mxm230，由根与系数的关系可得 x1x2m，x1x2m23.|AB| .1(12)2m24m231524m2由得1，解得 m，满足(*)|AB|CD|5 344m254m233直线 l 的方程为 y x或 y x.1233123311(2014潍坊模拟)已知双曲线 C：1(a0，b0)的x2a2y2b2焦距为 3，其中一条渐近线的方程为 xy0.以双曲线 C 的实22轴为长轴，虚轴为短
10、轴的椭圆记为 E，过原点 O 的动直线与椭圆 E交于 A，B 两点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点，2，求|2|2的取PGGOGAGB值范围；(3)若点 P 满足|PA|PB|，求证：为定值1|OA|21|OB|22|OP|2【解】 (1)由双曲线1 的焦距为 3，得 c，x2a2y2b223 22a2b2 .92渐近线的方程为 y x，由题意知 ，baba22由解得 a23，b2 ，32椭圆 E 的方程为 y21.x2323(2)由(1)知 P.( 3，0)设 G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)PGGO3即Error!解得Error!G.(
11、33，0)设 A(x1，y1)，则 B(x1，y1)，|G|2|22y 2yAGB(x133)2 1(x133)2 12x 2y 2x 3x 2 12 1232 12 123x .2 1113又x1，x 0,3，332 1x ，1132 1113203|2|2的取值范围是.GAGB113，203(3)证明：由|PA|PB|，知 P 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性可知 A，B 关于原点对称若 A，B 在椭圆的短轴顶点处，则点 P 在椭圆的长轴顶点处，此时22.1|OA|21|OB|22|OP|21b21b22a2(1a21b2)若 A，B 在椭圆的长轴顶点处，则点 P 在椭圆的短轴
12、顶点处，此时22.1|OA|21|OB|22|OP|21a21a22b2(1a21b2)当点 A，B，P 不在椭圆顶点处时，设直线 l 的方程为ykx(k0)，则直线 OP 的方程为 y x，设 A(x2，y2)，1kB(x2，y2)由Error!解得 x ，y .2 2312k22 23k212k2所以|OA|2|OB|2x y ，2 22 231k212k2用 代换 k，得|OP|2.1k31k22k22.1|OA|21|OB|22|OP|212k231k212k231k222k231k2综上，为定值 2.1|OA|21|OB|22|OP|212(2014湖北高考)在平面直角坐标系 xOy
13、 中，点 M 到点F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 M 的轨迹为 C.(1)求轨迹 C 的方程；(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(2,1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围【解】 (1)设点 M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，x12y2化简整理得 y22(|x|x)故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2Error!(2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线 l 的方程为 y1k(x2)由方程组Error!可得 ky24y4(2k1)0.(*1)当 k0 时
14、，此时 y1.把 y1 代入轨迹 C 的方程，得 x .14故此时直线 l：y1 与轨迹 C 恰好有一个公共点.(14，1)当 k0 时，方程(*1)根的判别式为 16(2k2k1)(*2)设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0)，则由 y1k(x2)，令 y0，得 x0.(*3)2k1k()若Error!由(*2)(*3)解得 k1 或 k .12即当 k(，1)时，直线 l 与 C1没有公共点，(12，)与 C2有一个公共点，故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点()若Error!或Error!由(*2)(*3)解得 k，或 k0.1，1212即当 k时，直线 l 与 C1只有一个公共点，与 C2有一1，12个公共点当 k时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2没有公共12，0)点故当 k时，直线 l 与轨迹 C 恰好
