《范德蒙行列式的几点重要的应用-应用数学毕业论文苏春》由会员分享，可在线阅读，更多相关《范德蒙行列式的几点重要的应用-应用数学毕业论文苏春（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、阜阳师范学院信息工程学院阜阳师范学院信息工程学院Fuyang Shifan Xueyuan Xinxi Gongcheng Xueyuan题题 目：目： 范德蒙行列式的几点重要的应用范德蒙行列式的几点重要的应用 姓姓 名：名： 苏春苏春 学学 院：院： 阜阳师范学院信息工程学院阜阳师范学院信息工程学院 专专 业：业： 数学与应用数学数学与应用数学 学学 号：号： 200904010221200904010221 指导教师：指导教师： 王海坤王海坤 诚信承诺书诚信承诺书我谨在此承诺我谨在此承诺: :本人所写的毕业论文本人所写的毕业论文范德蒙行列式的几点重范德蒙行列式的几点重要的应用要的应用均系本
2、人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理了注释。如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。承诺人（签名）承诺人（签名） 年年 月月 日日范德蒙行列式的几点重要的应用范德蒙行列式的几点重要的应用姓名：苏春姓名：苏春 学号：学号：200904010221200904010221 指导老师：王海坤指导老师：王海坤摘要摘要行列式是高等代数知识学习的基础，它在后续的学习中非常重要。由于它有良好的特点和独特的形式而深受数学工作者的关注。本文将立足于范德蒙行列式的性质, 探究其各种位置变化规律。 从而把
3、一些似于它的行列式特点且根据一定的规律性和技巧性可以转化且利用它的性质特点进行优化处理，及如何构造它，把复杂的行列式进行优化，本文主要通过举例来探究它在多项式、线性变换、向量空间以及微积分等理论中的具体应用。关键词关键词：范德蒙行列式；行列式；微积分：向量空间；线性变换；多项式；1. 预备知识1.1 范德蒙行列式的定义范德蒙行列式的定义我们把形式如下的行列式11 31 21 122 32 22 13211111n nnnnnnnaaaaaaaaaaaa D称为阶数为的范德蒙行列式（Vandermonde Determinant)。n下面我们来把范德蒙德行列式nD11 31 21 122 32
4、22 13211111n nnnnnnnaaaaaaaaaaaa D nijjiaa1)(对于任意的恒成立. 作具体的证明:)2( nn1.2 范德蒙行列式的证明范德蒙行列式的证明1.2.1 范德蒙行列的范德蒙行列的归纳法的证明归纳法的证明证明：证明：用数学归纳法当时，有故有当时成立。2n. )(112112 212 ijjiaaaaaaD2n假设对阶数为时成立原命题已证，现对阶数为时也证明同样成立。1nn首先，我们构造一个辅助的阶行列式，形式如下n)(xD，11 221 11111n nnnnxxxxxxxD）（设.则将D(x)按第列展开，我们易得nnDxD)(n,nnn nnnAxAxAx
5、AxD1 32 211)(其中是行列式中元素), 2 , 1(niAin)(xD), 2 , 1(1nixai in且不含的代数余子式，因此可知D定为一个次多项式.它的最高次整x x1n指数的系数是，易知=.1nxnnAnnA 111nnnnDD又因为也为的零点，易得nxxx,21)(xD1n. nnxxxxxxDxD21)(令代入上式易可得，nxx 1211xnnnnnxxxxxxDxD即。 xD 1211xnnnnnxxxxxxDxD根据归纳假设因此.结论的证. 111 nijjinxxD nijjinxxD11.3 范德蒙行列式主要的几个的性质范德蒙行列式主要的几个的性质我们容易得到它的
6、几个主要的性质如下：1.顺时针旋转它且为，易得90nnnnn nnnDaaaaaa2)1(121 211 1) 1(1112.顺时针旋它且为，易得180n nnnn nn nDaaaaaa 111111 11 113.顺时针旋转它且为，易得270nnnnn nnn nnDaaaaaa2)1(1 111 111) 1(111 2. 范德蒙行列式的应用 2.1 范德蒙行列式在计算行列式方面的的应用范德蒙行列式在计算行列式方面的的应用从范它的性质出发，可以对一些为规律性较强且结构叫特殊的行列式的计算进行简化。接下来，我们将根据阶数为的范德蒙行列式已有的特点来简化问题。对于范德蒙行列式n，它的每一列都
7、是以不同整指数的某个数的形式出现，且具有较强的规律性。幂次数nD的变化趋势呈现由到递增或递减的这一结构特点，从而把所给行列式转化为范德01n蒙行列式进行简化计算。主要方法有：行列式各列或各行都是以不同次整指数的某个具体数字的形式出现，却有着与它有着不完全类似整指数次数的排列，可以用行列式的计算方法如因式提取，调换行或列,拆行或列等将行列式化与它的形式相同，题型相对都较为简单，在此就不一一赘述了。2.2 范德蒙行列式在微积分中的应用范德蒙行列式在微积分中的应用 在微积分理论中，它仍然可能会出现，因而它转化的问题将是我们要面对的难题。如果我们能把所要求解的问题在正确的理论的指导下进行合理的转化，把
8、它与微积分理论的特点结合起来，就会很容易得出我们所需要的结论，从而达到简化问题的效果。例例1 1：设函数在附近连续且阶可导,若)(xf0xn. 0)0(, 0)0( , 0)0()(nfff)(xf若两两互异，且为实数, 证明：存在惟一的一组实数 121,nqqq,121nttt使得当时,是比高阶的无穷小.0h)0()(11fhqftiniinh证明证明：根据题设条件, 容易得到在处泰勒展开式，) 1, 2 , 1)(nihpfi0x则有),()0(!)()(01 1kknikk hfkhqhqf) 1 (),()0(!)()(02 2kknikk hfkhqhqf)2(),()0(!)()(
9、01 1kknikk n nhfkhqhqf ) 1( n得121) 1()2() 1 (ntntt+.)0()(11fhqftinii)0() 1(11ftnii)()0()(!1)(111nkknik iinkhhfqtk当若比高阶的无穷小, 则容易得到以为0h)0()(11fhqftiniinh121,nttt未知数的线性方程组0121nttt02112211nnqttqt02 12 222 11nnqtqtqt012211n nnnnqtqtqt观察易得它系数构成的行列式恰和范德蒙行列式旋转后极为相似，D90则为D=n nnnnnqqqqqqqqq D1212 12 22 112111
10、1 0)(0 nJIijqq可知线性方程组有惟一解, 即存在惟一一组实数使得当时，121,nttt0h是比高阶的无穷小. )0()(11fhqftiniinh2.3 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用范德蒙行列式在向量空间理论中的应用 在向量空间理论中，它仍然不失为一个重点和考点。范德蒙行列式结果连乘积的形式常常被出题人联想到特征方程的特征根所看重，在向量空间理论中大显身手。如果我们能把问题在正确的理论的指导下并结合它的特点合理的转化，就会很容易使问题得到解决。例例 2 2：设 A 是一个 n 阶矩阵，证明 A 的不同本征值的本征向量为线性的、无关的证明：证明：设是A的各不相同的 个本征值，设
11、为适合12,r r12,r 的不为零向量，若iiiA)1(ri 其中，11220rrxxx那么有，11220j rrAxxx1 1jr 即，1110rrr jjj iiiiiii iiiAxx Ax注意到，须有，从而 0j ir r11220rrxxx，则上述问题已得证120rxxx2.4 范德蒙行列式在线性变换理论中的应用范德蒙行列式在线性变换理论中的应用线性变换作为高等代数的一个重点，同时也是高等代数学习的一个难点，所涉及到的问题较复杂且又比较活，有些题目也涉及到了范德蒙行列式且较为复杂，这就需要我们对范德蒙行列式有一个较高的认识。例例3 3：设在数域上，为维数为的的线性变换的个互不 4F
12、n,21nVn相同的本征值，从而(1)和可交换的的线性变换都是的线性组合，这里V12,ne为恒等变换.e(2）是无关线性向量组的充分与必要条件为aaaaVan 12,，其中.niaa1niaaiii, 2 , 1,）（证明：证明：(1)令为和可交换的变换且为线性的，且 niaaiii, 2 , 1,）（则是的不变把子空间.且FkkaVii1 12 21 n ne由有则由以下方程组niaaiii, 2 , 1,）（1 112 121111 n nk1 212 222122 n nk1 12 21 n nnnnnnk易见上述它的系数行列式的形式与阶数为范德蒙行列式相似，且其值为n因而方程组只有一解
13、，所以为的线性组合. ),(1j nijiD 12,ne（2）充分性因为所以 niiaa1）（aaaan 12,),(21naaa1 31 221 11111n nnn并且所以是非退化矩阵，, 0)(11111 31 221 11 j nijin nnn1 31 221 11111n nnn又为的一组基底，因而是线性无关的.naaa,21Vaaaan 12,必要性设本征向量是由已知的本征值为分别所对应的，那neee,21n,21么就构成的一组基.则.neee,21Vnnekekeka2211若，则的本征向量为 如果存在且使得niki, 2 , 1, 0iiiek, 2 , 1nj，这里不妨令为不全为零数，0jknkkk,21而，因而有 则0, ,21rnrkkknnekekeka2211）（aaaan 12,),(21naaa1 31 221
