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1、 第 1 页 共 8 页 高中数学第十五章 复数 考试内容：考试内容：复数的概念复数的加法和减法复数的乘法和除法数系的扩充 考试要求：考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义 （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算 （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想 15. 复复复复 数数数数 知识要点知识要点知识要点知识要点1. 复数的单位为 i，它的平方等于1，即1i2. 复数及其相关概念： 复数形如 a + bi 的数（其中Rba，）； 实数当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a； 虚数当0b时的复数 a + bi；
2、 纯虚数当 a = 0 且0b时的复数 a + bi，即 bi. 复数 a + bi 的实部与虚部a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数） 复数集 C全体复数的集合，一般用字母 C 表示.两个复数相等的定义： 00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，（其中，且.两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：若21, zz为复数，则1若021zz ，则21zz.（）21, zz为复数，而不是实数2若21zz ，则021zz .（）若Ccba,，则0)()()(222accbba是cba的必要不充分条件.（当22)(iba，0)( , 1)(22accb时，上式成立
3、）2. 复平面内的两点间距离公式：21zzd.其中21zz ，是复平面内的两点21zz 和所对应的复数，21zzd和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z为圆心，r为半径的圆的复数方程：）（00rrzz.曲线方程的复数形式：00zrzz表示以为圆心，r 为半径的圆的方程.21zzzz表示线段21zz的垂直平分线的方程.212121202ZZzzaaazzzz，）表示以且（为焦点，长半轴长为 a 的椭圆的方程（若212zza ，此方程表示线段21ZZ ，）.第 2 页 共 8 页 ），（2121202zzaazzzz表示以21ZZ ，为焦点，实半轴长为 a 的双曲线方程（若212zza ，此方程
4、表示两条射线）. 绝对值不等式：设21zz ，是不等于零的复数，则212121zzzzzz.左边取等号的条件是），且（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz.212121zzzzzz.左边取等号的条件是），（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz.注：nnnAAAAAAAAAA11433221.3. 共轭复数的性质：zz 2121zzzzazz2，i2bzz（za + bi） 22|zzzz2121zzzz 2121zzzz2121 zz zz （02z） nnzz)(注：两个共轭复数之差是纯虚数. （）之差可能为零，此时两个复数是相等的4 复数的乘方：)(.Nnzzz
5、zznn 对任何z，21, zzC及Nnm,有nnnnmnmnmnmzzzzzzzzz2121)( ,)( ,注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1, 142ii若由11)(21 21 42 ii就会得到11的错误结论.在实数集成立的2|xx . 当x为虚数时，2|xx ，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.常用的结论：1, 1, 143424142nnnniiiiiii)( , 0321Zniiiinnnn第 3 页 共 8 页 iiiiiiii11,11,2)1 (2若是 1 的立方虚数根，即i23 21，则 .5. 复数z是实数及纯虚数的充要条件： zzRz
6、. 若0z，z是纯虚数0zz. 模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零 向量的方向是任意的，其模为零.注：|zz . 6. 复数的三角形式：)sin(cosirz.辐角主值：适合于 02的值，记作zarg.注：z为零时，zarg可取)2 , 0内任意值.辐角是多值的，都相差 2的整数倍.设,Ra则23)arg(,2arg,)arg(, 0argaiaiaa.复数的代数形式与三角形式的互化：)sin(cosirbia，22bar，rb rasin,cos.几类三角式的标准形式：)sin()cos()sin(cosirir)sin()cos
7、()sin(cosirir)sin()cos()sincos(irir)2sin()2cos()cos(sinirir7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程)0(02acbxax时，应注意下述问题：当Rcba,时，若0，则有二不等实数根abx22 , 1；若=0，则有二相等实数根abx22 , 1；若0，则有二相等复数根aibx2| 2 , 1 （2 , 1x为共轭复数）.当cba,不全为实数时，不能用方程根的情况.不论cba,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：)sin()cos()sin(cos)sin(cos21212122
8、2211irririr)(0, 01 ,1, 121223Znnnn 第 4 页 共 8 页 )sin()cos()sin(cos)sin(cos 2121 21222211irr irir棣莫弗定理：)sin(cos)sin(cosninrirnn一、选择题1.(2009 年广东卷文)下列 n 的取值中，使=1(i 是虚数单位）的是 niA.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=54.（2009 浙江卷文）设（ 是虚数单位），则（ ）1zi i22zzA B C D5.（2009 北1 i1 i 1 i1 i 7.(2009 山东卷文)复数等于（ ）. 3 1i i A B. C.
9、D. i 211 2i2i2i16.（2009 辽宁卷文）已知复数，那么1 2zi 1 z（A） （B） （C） （D）52 5 55i52 5 55i12 55i12 55i16.（2009 辽宁卷文）已知复数，那么1 2zi 1 z（A） （B） （C） （D）52 5 55i52 5 55i12 55i12 55i19.（2009 宁夏海南卷文）复数32 23i i（A） （B） （C） (D)11ii2. (安徽文安徽文.1)i 是虚数单位，i（1+i）等于（A）1+i （B）1i （C）1i （D）1+i5.5.(广东文广东文.2)下列 n 的取值中，使=1(i 是虚数单位）的是 n
10、iA.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=59. (宁夏海南文宁夏海南文.2)复数32 23i i（A） （B） （C） (D)11ii12.(山东理山东理,文文.2)复数等于（ ）. 3 1i i A B. C. D. i 211 2i2i2i15.(天津理天津理,文文.1) 是虚数单位，=iii 25A B C D i 21i 21i 21i 21第 5 页 共 8 页 17.(浙江文浙江文.3)设（ 是虚数单位），则（ ）1zi i22zzA B C D1 i1 i 1 i1 i 二、填空题2.（2009 福建卷文）复数的实部是 。2i1+i4. (江苏文理江苏文理.1)若复数
11、其中 是虚数单位，则复数的实部为 12429 ,69 ,zi zii12()zz i。高中数学第十三章高中数学第十三章-极极极极 限限限限考试内容：考试内容：教学归纳法数学归纳法应用数列的极限函数的极限根限的四则运算函数的 连续性 考试要求：考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 （2）了解数列极限和函数极限的概念 （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限 （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质知识要点知识要点知识要点知识要点1. 第一数学归纳法第一数学归纳法：证明当n取第一个0n时结论正确；假设当kn （0,n
12、kNk）时，结论正确，证明当1 kn时，结论成立.第二数学归纳法：设)(nP是一个与正整数n有关的命题，如果当0nn （Nn0）时，)(nP成立；假设当kn （0,nkNk）时，)(nP成立，推得1 kn时，)(nP也成立.那么，根据对一切自然数0nn 时，)(nP都成立.2. 数列极限的表示方法数列极限的表示方法：aan n lim当n时，aan.几个常用极限：CC n lim（C为常数）),(01lim是常数kNk nkn 对于任意实常数，当1|a时，0lim nna第 6 页 共 8 页 当1a时，若 a = 1，则1lim nna；若1a，则nnnna) 1(limlim 不存在当1a时，nna lim不存在数列极限的四则运算法则数列极限的四则运算法则：如果bbaabnnn lim,lim，那么babannn )(lim babannn )(lim )0(lim bba bannn特别地，如果 C 是常数，那么CaaCaCnnnnn limlim)(lim.数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当1q时，无穷等比数列的各项和为) 1(11qqa
