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1、第二章 推理与证明 归纳 是通过对 特例的观察和综合去发现 一般规律，一般通过观 察图形或分析式 子寻找规律，归纳过 程的典型步骤是： 先在诸多特例中发现 某些相似性，再把相 似性推广为一个明确表述的一般命题，最 后对该 命题进 行检验 或论证 例1 在德国布莱梅举行的第48届世乒赛 期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成 若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只 有一层，就一个乒乓球；第2,3,4、堆最 底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆 放从第二层开始，每层的乒乓球自然垒 放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒 乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则 f(3)_；f(n)_(答案用n
2、 表示) 类比是提出新问题 和作出新发现 的一个 重要源泉，是一种较高层次的信息迁移， 应用类比的关键就在于如何把相关对象 在某些方面的一致性说清楚常见的类比 题型有两类：一类是类比旧知识，推出 新结论 ；另一类是类比新知识，推出新 结论 例2 如图所示，在ABC中，射影定 理可表示为abcosCccosB，其中a，b ，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定 理，写出对空间四面体性质的猜想 解析 如图所示，在四面体PABC中，设 S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA ，ABC的面积，依次表示面PAB，面 PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小我 们猜想射影定理类比推理到三
3、维空间，其表现 形式应为 SS1cosS2cosS3cos. 从思维过 程的指向来看，演绎推理是以某 一类事物的一般判断为前提，而做出关于 该类 事物的判断的思维过 程，因此是从 一般到特殊的推理数学中的演绎法一般 是以三段论的格式进行的三段论由大前 提、小前提和结论 三个命题组 成，大前 提是一个一般性原理；小前提给出了适合 这个原理的一个特殊场合，结论 是大前 提和小前提的逻辑结 果 综合法是我们在已经储存了大量的知识积累了 丰富的经验的基础上所用的一种方法，其优点 是叙述起来简洁、直观、条理、清楚，综合法 可使我们从已知的知识中进一步获得新知识 例4 已知二次函数f(x)ax2bx c(
4、a0)(abc)的图象与x轴有两个不同的交点A ，B，且f(1)0. 分析法是一种从未知到已知的逻辑 推理方 法在探求问题 的证明时，它可以帮助 我们构思，因而在一般分析问题时 ，较 多地采用分析法，只是找到思路后，往往 用综合法加以叙述，正如恩格斯所说“没 有分析就没有综合”，在数学证明中不能 把分析法和综合法绝对 分开 反证法不是去直接证明结论 ，而是先否定 结论 ，在此基础上运用演绎推理，导出矛 盾，从而肯定结论 的真实性 数学归纳法是专门证 明与正整数有关的命题的 一种方法它是一种完全归纳法，它的证明共 分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“ 归纳基础”(或称特殊性)第二步解决的是
5、延续 性(又称传递性)问题运用数学归纳法证明有 关命题要注意以下几点： 1两个步骤缺一不可 2第二步中，证明“当nk1时结论 正确”的 过程里，必须利用“归纳假设”即必须用上“当n k时结论 正确”这一结论 3在第二步的证明中，“当nk时结论 正 确”这一归纳 假设起着已知的作用，“当n k1时结论 正确”则是求证的目标在 这一步中，一般首先要凑出归纳 假设里 给出的形式，以便利用归纳 假设，然后 再去凑出当nk1时的结论 数学归纳 法可以用来证明与正整数有关的 代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除 性问题 及几何问题 分析 本小题主要考查数列的通项公式 、等比数列的定义、递推数列、不等式等 基础知识和基本技能，同时考查分析、归 纳、探究和推理论证问题的能力，在解题 过程中也渗透了对函数与方程思想、化归 与转化思想的考查(1)利用取倒数构造等 比数列(2)利用数学归纳法求解
