《第03讲 MATLAB-simulink的数值运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第03讲 MATLAB-simulink的数值运算（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.5 MATLAB的数值运算MATLAB具有强大的数值能力，它不仅能对矩阵和向量进行相应的运算，而且也可 处理多项式的解、数据分析、函数的极值、 线性方程组的解、函数的微积分和函数绘图 等问题。11.5.1 矩阵运算MATLAB的基本数据单元是不需要指定维数的复数矩阵，它提供了各种矩阵的运算 与操作，因它既可以对矩阵整体地进行处理 ，也可以对矩阵的某个或某些元素进行单独 地处理，所以在MATLAB环境下矩阵的操作同数的操作一样简单。21. 矩阵的实现在MATLAB语言中不必描述矩阵的维数和类型，它们是由输入的格式和内容来确定 的，例如当A1 2时，把A当作一个2维行向量；A5时，把A当作一个
2、标量；A12i时，把A当作一个复数。3矩阵可以用以下几种方式进行赋值：v 直接列出元素的形式；v 通过语句和函数产生；v 建立在文件中；v 从外部的数据文件中装入。(1) 矩阵的赋值4对于比较小的简单矩阵可以使用直接排列的形 式输入，把矩阵的元素直接排列到方括号中，每行 内的元素间用空格或逗号分开，行与行的内容用分 号隔开。例如，矩阵在MATLAB下的输入方式为A=1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9 或 A=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9简单矩阵的输入5简单矩阵的输入对于比较大的矩阵，可以用回车键代替分号， 对每一行的内容分行输入，也可利用续行符号（ ），把一行的内容分
3、两行来输入。例如，A= 1 2 3 ; 4 5 6 7 8 9 或 A=1 2 3 ;4 56; 7 8 9输入后A矩阵将一直保存在工作空间中，除非被 替代和清除，在MATLAB的命令窗口中可随时查看 其内容。6利用语句或函数产生矩阵在MATLAB中，矩阵也可利用下面的语句来产生：s1:s2:s3 其中，s1为起始值；s3为终止值；s2为步矩 。使用这样的命令就可以产生一个由s1开始 ，以步距s2自增，并终止于s3的行向量。7利用语句或函数产生矩阵例如： y=0:pi/4:pi 结果显示： y=0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416如果S2省略，则可以认为自增步距为1，例如
4、 x=1:5 结果显示：x= 1 2 3 4 58利用语句或函数产生矩阵利用size( )函数可测取一个矩阵的维数，该函 数的调用格式为n, m=size(A)其中：A为要测试的矩阵名，而返回的两个参数n和 m分别为A矩阵的行数和列数。9利用语句或函数产生矩阵当要测试的变量是一个向量时，当然仍可由 size( )函数来得出其大小，更简洁地，用户可以使 用length( )函数来求出，该函数的调用格式为n=length(x)其中，x为要测试的向量名，而返回的n为向量x的 元素个数。如果对一个矩阵A用length(A)函数测试，则返 回该矩阵行、列的最大值，即该函数等效于 max(size(A)。
5、10(2) 矩阵的元素MATLAB的矩阵元素可用任何表达式来描述，它既可以是实数，也可以是复数,例如B= -1/3 1.3; sqrt(3) (1+2+3)*i结果显示：B-0.3333 1.3000 1.7321 0+6.0000i11矩阵的元素MATLAB允许把矩阵作为元素来建立新的矩阵 ，例如，利用A矩阵通过下面的语句C=A;10,11,12 结果显示：C=1 2 34 5 67 8 910 11 12 12矩阵的元素MATLAB还允许对一个矩阵的单个元素进行赋 值和操作，例如如果想将A矩阵的第2行第3列的元 素赋为100，则可通过下面的语句来完成A(2,3)=100 结果显示： A=
6、1 2 3 4 5 100 7 8 9 这时将只改变此元素的值，而不影响其它元素的值 。13矩阵的元素如果给出的行数或列数大于原来矩阵的范围，则 MATLAB将自动扩展原来的矩阵，并将扩展后未赋值的矩阵 元素置为0。例如如果想把矩阵A的第4行第5列元素的值定义 为8，就可以通过下面语句来完成。 A(4,5)=8结果显示： A=1 2 3 0 04 5 100 0 07 8 9 0 00 0 0 0 814矩阵的元素MATLAB还允许对子矩阵进行定义和处理。例如：A(1:3,1:2:5) %取A矩阵的第1行到第3行内，且位于第1，2，5列上的所有元素构成的子矩阵A(2:3,:) %取A矩阵的第2
7、行和第3行所有元素构成的子矩阵15(3) 特殊矩阵的实现在MATLAB中特殊矩阵可以利用函数来建立。(1) 单位矩阵函数eye( )基本格式： Aeye(n) 产生一个n阶的单位矩阵AAeye(size(B) 产生与B矩阵同阶的单位 矩阵A如:A=eye(5)16特殊矩阵的实现(2) 零矩阵函数zeros( )(3) 1矩阵函数ones( )(4) 随机元素矩阵函数rand( )(5) 对角矩阵函数diag( )(6) 伴随矩阵函数compan( )(7) 上三角矩阵函数triu( )和下三角矩阵函数 tril( )172. 矩阵的基本运算矩阵运算是MATLAB的基础，MATLAB的矩阵运算功
8、能十分强大，并且运算的形式 和一般的数学表示十分相似。18(1) 矩阵的转置矩阵转置的运算符为“ ”。例如A=1 2 3;4 5 6;B= A结果显示：B=1 42 53 619矩阵的转置如果是复数的矩阵，则转置（）将同时对复数进行共 轭处理，而 （.）则只是将其排列形式进行转置。 例： b=1+2i 2-7i b =1.0000 - 2.0000i2.0000 + 7.0000i b=1+2i 2-7i. b =1.0000 + 2.0000i2.0000 - 7.0000i 20(2) 矩阵的加和减矩阵的加减法的运算符为“”和“ ”。矩阵只有同阶方可进行加减运算，标量 可以和矩阵进行加减运
9、算但应对矩阵的每个元 素施加运算。例如A=1 2 3;4 5 6; B=A+1B=2 3 45 6 7 21(3) 矩阵的乘法矩阵的乘法运算符为“*”。当两个矩阵中前 一矩阵的列数和后一矩阵的行数相同时，可以进行 乘法运算，这与数学上的形式是一致的。例如：CA*B；在MATLAB中还可进行矩阵和标量相乘，其结果为标量与矩阵中的每个元素分别相乘。22(4) 矩阵的除法矩阵的除法有两种运算符“”和“/”, 分别表示左除和右除。一般地讲，x= AB是A*x=B的解， x=B/A是x*A=B的解，通常ABB/A, 而AB=inv(A)*B, B/A= B*inv(A)23(5) 矩阵的乘方矩阵的乘方运
10、算符为“”。一个方阵的乘方 运算可以用AP来表示 。P为正整数，则A的P次幂 即为A矩阵自乘P次。如果P为负整数，则可以将A自乘P次，然后对结果进行求逆运算，就可得出该乘方 结果。如果P是一个分数，例如Pnm，其中n和m 均为整数，则首先应该将A矩阵自乘n次，然后对结果再开m次方。24(6) 矩阵的翻转MATLAB还提供了一些矩阵翻转处理的特殊命 令，对nm维矩阵A，如B=fliplr(A) %将矩阵A进行左右翻转再赋给 B，即bijai,m+1-j，C=flipud(A) %将矩阵A进行上下 翻转再赋给C，即cijan+1-i,j，D=rot90(A) %将矩阵A逆时针进行旋转90度后 赋给
11、D，即dijaj,m+1-i。25(7) 矩阵的超越函数MATLAB中exp( ),sqrt( ),sin( ),cos( )等基本函数命令可以直接使用在矩阵上，这种运算只 定义在矩阵的单个元素上，即分别对矩阵的每个元 素进行运算。超越数学函数,可以在函数后加上m而成为矩阵 的超越函数，例如expm(A),sqrtm(A),logm(A)分别为矩阵指数、矩阵开方和矩阵对数。矩阵的超越 函数要求运算的矩阵必须为方阵。263. 矩阵的特殊运算 (1) 矩阵行列式和矩阵求逆求逆：inv(A)求行列式：det(A)要求矩阵必须为方阵。a=1 2 3; 4 5 6; 2 3 5;b=inv(a)b =-
12、2.3333 0.3333 1.00002.6667 0.3333 -2.0000-0.6667 -0.3333 1.0000det(a)ans =-327(2) 矩阵的迹假设一个方阵为 Aaij, i,j=1,2,n;则矩阵A 的迹定义为即矩阵的迹为该矩阵对角线上各个元素之和。由代 数理论可知矩阵的迹和该矩阵的特征值之和是相同 的。在MATLAB中提供了求取矩阵迹的函数trace( )，其调用方法为trace(A)28(3) 矩阵的秩对于nm维的矩阵A，若矩阵所有的列向量中 共有 rc个线性无关，则称矩阵的列秩为rc，如果 rc=m， 则称A为列满秩矩阵；相应地，若矩阵A的 行向量中有rr个
13、是线性无关的，则称矩阵A的行秩为 rr, 如果rrn，则称A为行满秩矩阵。MATLAB提供了一个内部函数rank( )来用数值方法求取一个已知矩阵的秩，其调用格式为k=rank(A)29(4) 矩阵的三角分解矩阵的三角分解又称为LU分解，它的目的是将 一个矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，亦即可以写成ALU。在MATLAB下也给出了矩阵的LU分解函数lu( )，该函数的调用格式为L,U=lu(A)30(5) 矩阵的特征值与特征向量V，D=eig(A)其中：A为要处理的矩阵，D为一个对角矩阵，其对 角线上的元素为矩阵A的特征值，而每个特征值对 应的V矩阵的列为该特征值的特征
14、向量。该矩阵是 一个满秩矩阵，它满足AVVD，且每个特征向量 各元素的平方和均为1。如果调用该函数时只返回一 个变量D，则D为A的特征值。31(6) 矩阵的特征多项式、特征方程和特征根MATLAB提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly( )，其调用格式为P=poly(A)其中：A为给定的矩阵，返回值P为一个行向量， 其各个分量为矩阵A的降幂排列的特征多项式系数。即 P= a0 a1 an32MATLAB语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。f(x)=a0xn+a1xn-1+ +an-1x+an可用行向量 p=a0 a1 an-1 an表示。 poly (A)1、
15、产生A矩阵特征多项式系数向量；2、求根向量A对应的多项式。v 特征多项式一定是n+1维的v 特征多项式第一个元素一定是133例:a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的MATLAB描述方法，我们可用函数文件，显示数学多项式的形式：p1=poly2sym(p) p1 =x3-6*x2-72*x-27 34MATLAB中根据矩阵特征多项式求特征 根的函数为roots( )，其调用格式为V=roots(P)其中：P为特征多项式的系数向量，而V为特征多项式的解，即原始矩阵的特征根。35例：a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00r=roots(p) r =12.1229-5.7345-0.3884 显然， r是矩阵a的特征值36当然我们可用poly令其返回多项式形式p2=poly(r)p2 =1.00 -6.00 -72.00 -27.00MATLAB规
