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1、第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第1 1页页第八章 方差分析与回归分 析 8.1 方差分析 8.2 多重比较 8.3 方差齐性分析 8.4 一元线性回归 8.5 一元非线性回归 第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第2 2页页8.1 方差分析8.1.1 问题的提出方差分析，方差分析， 是是2020世纪世纪2020年代由英国统计学年代由英国统计学家费希尔首先提出的。最初主要应用于生物和农家费希尔首先提出的。最初主要应用于生物和农 业田间试验，以后推广到各个领域应用。
2、它是直业田间试验，以后推广到各个领域应用。它是直 接对接对多个总体的均值多个总体的均值是否相等进行检验，这样不是否相等进行检验，这样不 但可以减少工作量，而且可以增加检验的稳定性但可以减少工作量，而且可以增加检验的稳定性 。第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第3 3页页化工产品的 数量和质量反应温度压 力原料成分原料剂量溶液浓度操作水平反应时间机器设备方差分析根据试验的结果进行分析，鉴别各个有关 因子(素)对试验结果的影响程度。目的检验单个因子的改变是否会给观察变量带来 显著影响。水平第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回
3、归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第4 4页页例8.1.1 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种 饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主 的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的 效果，特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂 一种饲料，60天后观察它们的重量。试验结果如下表所 示： 饲料 A鸡 重（克）A110731009106010011002101210091028A21107109299011091090107411221001A310931029108010211022103210291048y25例例8.1.28.1.2第八
4、章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第5 5页页 8.1.2 单因子方差分析的统计模 型 设因子A有r个水平，记为A1, A2, Ar，每一水 平下考察的指标可以看成一个总体，现有r个水平 ，故有 r 个总体， 假定：每一总体均为正态总体,记为 N(i , i 2), i1, , r ；各总体的方差相同: 1 2= 22= r2 = 2 ；从每一总体中抽取的样本是相互独立的, 即所有的试验结果 yij 都相互独立。 第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第6 6页页问题：比
5、较各水平下的均值是否相同建立假设：原假设：H0 ：1 =2 =r 自变量对因变量没有显著影响, 简称因子A不显著；备择假设：H1 ：1, 2, , r 不全相等 自变量对因变量有显著影响，简称因子A显著。 注意：注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不 相等，并不意味着所有的均值都不相等相等，并不意味着所有的均值都不相等 。第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第7 7页页其中r为水平数，m为重复数，yij中i为水平编号， j 为 重复编号。 因子水 平 试 验 数 据 A1y11 y1
6、2 y1m A2y21 y22 y2m Aryr1 yr2 yrm为对上述假设进行检验，需要从每一水平下的总 体抽取样本，设从第i个水平下的总体获得m个试验结果 ，共得如下n=rm个试验结果：第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第8 8页页试验结果 yij 的数据结构式：yij = i +ij可控因素随机因素单因子方差分析的统计模型：第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第9 9页页总均值与效应:总均值第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财
7、经大学 信科信科1010* *第第1010页页假设改写为：H0 ：a1 =a2 =ar =0数学模型的等价形式：第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第1111页页一、试验数据因子水平 试 验 数 据 和 平均 A1y11 y12 y1m T1A2y21 y22 y2mT2Aryr1 yr2 yrmTrT8.1.3 8.1.3 平方和分解平方和分解第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第1212页页数据间是有差异的。数据yij与总平均 间的 偏差可用yij 表示，它可分解
8、为二个偏差之和 二、组内偏差与组间偏差组内偏差组间偏差记第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第1313页页 在统计学中，把k个数据y1 , y2 , , yk分别对其均值 =(y1+ + yk )/k 的偏差平方和称为k个数据的偏差平方和.三、偏差平方和及其自由度 构成偏差平方和Q的k个偏差y1 , , yk 间有一个 恒等式 ,这说明Q中独立的偏差只有k1 个. 在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平方和的 自由度，常记为f，如Q的自由度为fQ=k1。自由度是 偏差平方和的一个重要参数. 第八章第八章 方差分析与回归分析方差分
9、析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第1414页页总偏差平方和自由度为fT=n1； 四、总平方和分解公式 组内偏差平方和仅由随机误差引起, 也称误差偏差平方和, 自由度 为 fe=nr ；组间偏差平方和也称为因子A的偏差平方和，自由度为 fA=r1. 第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第1515页页定理8.1.1 在上述符号下，总平方和ST可以 分解为因子平方和SA与误差平方和Se之和，其自由度也有相应分解公式，具体为：ST =SA +Se , fT =fA +fe通常称上式为总平方和分解式。 第八章第
10、八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第1616页页 均方和 MS=Q/fQ ；其意为平均每个自由度上有多少平方和，它比 较好地度量了一组数据的离散程度；因子均方和 MSA= SA /fA ；误差均方和 MSe= Se/fe；检验H0的统计量：8.1.4 检验方法拒绝域 形式？第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第1717页页定理8.1.2 在单因子方差分析模型及前述符号下，有(1) Se/ 2 2(nr) ，从而E(Se ) (nr) 2 ； (2) ，进一步，若H0成立，则
11、有SA/ 2 2(r1) ；(3) SA与Se独立。 第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第1818页页由定理8.1.2，若H0成立，则检验统计量F服从自由度 为fA和fe的F分布，因此拒绝域为W=FF1 (fA ,fe)，通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分析 表。来源平方 和自由 度均方和F比因子SAfA=r1MSA= SA/fAF MSA/ MSe误差Sefe=nrMSe= Se/fe总和STfT=n 1第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第1919页页对
12、给定的，可作如下判断：如果F F1 (fA ,fe) ，说明因子A不显著。 如果 F F1 (fA ,fe)，认为因子A显著；常用的各偏差平方和的计算公式如下：第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第2020页页例8.1.2 采用例8.1.1的数据，将原始数据减去1000，列表给出计算过程:水 平数据（原始数据-1000）TiTi2A173 9601212928194376361002 4A210792-1010 9907412 2158534222 56035 5A393 2980212232294835412531 62098
13、4113350517 79136 3例例8.1.38.1.3第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第2121页页可算得各偏差平方和为：把上述诸平方和及其自由度填入方差分析表第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第2222页页来源平方和自由 度均方和F比因子9660.083 324830.041 73.5948 误差28215.95 84211343.617 1总和37876.04 1723若取=0.05，则F0.95 (2 ,21)=3.47 ，由于F=3.59483.4
14、7，故认为因子A（饲料）是显著的，即三种饲料对鸡的增肥作用有明显的差别。 例例8.1.38.1.3第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第2323页页 8.1.5 参数估 计 在检验结果为显著时，我们可进一步求出总 均值 、各主效应ai和误差方差 2的估计。 一、点估计由于各yij相互独立，且yij N(+ ai , 2) ，因此，可 使用极大似然方法求出一般平均 、各主效应ai和误 差方差 2的估计:第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第2424页页似然函数似然函数对数似然函数对数似然函数似然方程似然方程第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第2525页页由极大似然估计的不变性，各水平均值i的极大似然估计为 ，由于 不是 2的无偏估计，可修偏： .各参数的最大似然估计各参数的最大似然估计第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析山东财经大学山东财经大学 信科信科1010* *第第2626页页Ai的水平均值i的1- 的置信区间为其中
