国民教育数学学习领域纲要修订之省思与期许

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1、國民教育數學學習領域綱要修訂之省思與期許國民教育數學學習領域綱要修訂之省思與期許鄭國順鄭國順1 1 王慶安王慶安2 2摘要摘要我國實施國民教育以來，數學課程標準雖已修訂多次，但歷次課程標準的 變革中鮮少受到社會各界的廣泛的重視，然而九年一貫數學學習領域暫行綱 要實施二年以來，卻引起社會輿論的廣泛討論。本文將藉由本次綱要修訂的 過程來討論我國國民教育數學課程標準修訂應有的省思與期許。壹、前言壹、前言國科會科學教育處與教育部國民教育司共同於民國九十二年二月十七日、 五月十五日與六月七日共同舉辦了三場數學教育對話 ，其中第一場的對談首 次提供專業數學家，數學教育家，基層教師，家長以及社會人士對目前數

2、學教 育的發展發表來自各種面向的看法，而第二、三場則是針對暫行綱要修訂 草案的版本提出意見。這幾場的對話中，固然對修正草案提出質疑或建言，但 仍大多集中於數學教育看法的表達。這三場對話的發言可綜合歸納成下列幾個 問題： 一一、 有有多多少少孩孩子子有有能能力力學學習習數數學學？有有多多少少孩孩子子能能快快樂樂地地學學習習數數學學？ 二、二、 綱要修訂草案比暫行綱要加深加廣的部份；立論基礎在那裏？綱要修訂草案比暫行綱要加深加廣的部份；立論基礎在那裏？ 三、三、 綱要修訂草案中所強調的數學能力是什麼？能讓我們的國民有足夠適綱要修訂草案中所強調的數學能力是什麼？能讓我們的國民有足夠適 應未來社會的能

3、力嗎？應未來社會的能力嗎？本文將以這三個問題為思考藍本，來闡釋此次綱要修訂的面向，並對課程標準 或綱要的修訂過程提出省思與期許。1 吳鳳技術學院校長，中華民國數學會理事長，教育部九年一貫數學學習領域綱要修訂小組召集人。2 國立中正大學數學系教授，教育部九年一貫數學學習領域綱要修訂小組委員。貳、貳、 數學領域課程標準修訂的沿革數學領域課程標準修訂的沿革政府遷台迄今，國民教育體系已由早期國民小學六年義務教育，進而延伸 至現今國民中學的九年國教，此期間各領域課程標準已歷經多次的修訂。一般 而言，課程修訂的本意在於因應新知識的發現、時空環境的發展及學生學習情 形等因素來對課程標準進行適度的調整，而修訂

4、的方向則應避免躁進的重大改 變，且應得到領域學界、教育專家及基層教師等方面的高度共識。歷次的修訂仍不可避免地產生鐘擺效應 ，其原因即在於修改方向的合適 度確實拿捏不易。縱使如此，歷次修訂的工作雖有擺盪的現象，但大致仍能呈 現逐漸穩定的趨勢。以數學為例，無論國小、國中，乃至於高中職的課程標準 已歷經多次難易程度間的擺盪，而八十二年國小、八十三年國中課程標準的修 訂即是反應此現象而呈現傾向中間偏易的擺幅。早期課程標準修訂的工作者以該領域專業學者為主，鮮少有教育學者及基 層教師的參與，而基層師資的培育工作早期則是以充實各領域專業知識為主。 進二十年來，隨著心理學領域的逐漸發展，教育領域的研究及師資培

5、育則是導 入較多的心理學相關理論。再以數學為例，近年來，認知心理學的建構論 已成為數學教育領域的研究及師資培育的主流風潮，甚至成為國民教育教科書 編輯的中心思想。隨著這股建構論風潮的湧起，專業數學家逐漸離開了國 民教育課程修訂或教科書編輯的行列，而八十五年起實施國小數學課程即是社 會上俗稱的建構式數學 。過去課程標準的多次修訂工作，雖必然的去考量各級教育體制間的銜接問題，但因各體系間的修訂工作幾乎是獨立運作，橫向（跨學科） 、縱向（跨學制） 間的銜接顯然不足，而九年一貫的課程設計理念顯然是希望改善國民中、小學 間課程的銜接問題。因此，以認知心理學相關理論為主來定義學童的學習能力 階段，成為九年

6、一貫暫行綱要的核心主軸。再以數學為例，八十二年國小 課程標準實施以來，家長、教師等社會輿論陸續對所謂建構式數學的教學 成效反應相關意見，然而，八十九年所公布的九年一貫數學學習領域暫行綱 要所呈現的，卻不若鐘擺效應的擺盪常態，而將課程設計再度朝向偏易 的方向移動，此一現象尤以國民中學階段更為明顯。有趣的是，九十年代初期 各領域課程標準陸續修訂實施及九年一貫暫行綱要實施以來，一般的反應 是課程難度稍為偏難、學生學習負擔加重及家長輔助學習困難，唯獨對數學領 域的難易度卻有截然不同的反應，其中緣由確實須再深入探討。叁、九年一貫數學學習領域暫行綱要的問題叁、九年一貫數學學習領域暫行綱要的問題能力的開拓是

7、九年一貫課程的總目標，數學學習領域更於暫行綱要中指出 【教育部 89，第 191 頁】： “是要為國民的終身學習奠下基礎，以因應社會的變遷，這有別於僅是是要為國民的終身學習奠下基礎，以因應社會的變遷，這有別於僅是 知識的傳授。並且這不但沒減低數學的重要性，反而能使數學課程顧及技知識的傳授。並且這不但沒減低數學的重要性，反而能使數學課程顧及技 術層面外，更重視與其他領域的連結，更強調解決問題，以及與他人溝通術層面外，更重視與其他領域的連結，更強調解決問題，以及與他人溝通 講理等各種能力的培養，這些能力就是幫學生發展如何學與樂於學的基講理等各種能力的培養，這些能力就是幫學生發展如何學與樂於學的基

8、礎礎” ，且強調“民主社會中，國民要有理性與溝通的素養；多元社會中，國民的特質民主社會中，國民要有理性與溝通的素養；多元社會中，國民的特質 是開放與尊重。數學的討論過程是多元開放的，是理性的。激勵多樣性的是開放與尊重。數學的討論過程是多元開放的，是理性的。激勵多樣性的 獨立思維方式，尊重各種不同的合理觀點，分享各別族群的生活數學以及獨立思維方式，尊重各種不同的合理觀點，分享各別族群的生活數學以及 欣賞不同文化的數學發展，是數學課的精神指標。欣賞不同文化的數學發展，是數學課的精神指標。” 。基於學生多元思考與學習，教科書則易於傳統地被定位為教學的參考，以 往的課程標準則以階段能力指標來取代，且將

9、課程的難易度定位於80%學生 能夠學會 。儘管九年一貫課程的總目標力立意甚佳，但80%學生能夠學會 及階段能力指標等問題確實已顯現出相當大的矛盾。中華民國數學學會曾於九十一年六月間成立一個由副理事長台大陳宜良教 授召集的工作小組，其目的在於深入瞭解目前國小數學教科書，以及九年一貫 數學學習領域暫行綱要之相關問題，以回應社會廣泛的質疑。這個工作小組收 集、研讀了一些資料後，確認了問題的嚴重性，並指出其中兩個最重要的問題：（一） 、數學學習領域暫行綱要的能力指標無法連接高中課程，且落後八十 三年國中課程標準近一年，與美國加州 1997 年數學課程標準（一至九年級）比 較則至少落後一至兩年；（二）

10、、九年一貫數學教科書雖一綱多本，但全部是以所謂建構式教學法方 式呈現，更有甚者，這種方式貫穿到國民中學的課本呈現。我們將就80%學生能學會 、 階段能力指標與一綱多本 、 國際間的比 較 、 後國民教育的銜接等觀點來討論暫行綱要的問題。一、一、 80%80%學生能學會學生能學會的迷失的迷失暫行綱要數學學習領域的實施要點中有著以下的說明【教育部 89，第 209頁】：“回顧過去的課程規劃，並沒有以回顧過去的課程規劃，並沒有以80%80%學生能夠學會學生能夠學會的訴求設計，而的訴求設計，而 本國學生的實徵研究資料中，亦缺乏與本國學生的實徵研究資料中，亦缺乏與80%80%學生能夠學會學生能夠學會訴求

11、相關的訴求相關的 研究，因此只能以更開放的角度來看，根據教師的經驗、專家的見解及研究，因此只能以更開放的角度來看，根據教師的經驗、專家的見解及 相關的理論，研討出各學習階段的學生，其思考型態及學習方式的主要相關的理論，研討出各學習階段的學生，其思考型態及學習方式的主要 特徵，並參照該特徵訂定出各階段的能力指標。特徵，並參照該特徵訂定出各階段的能力指標。”基於以上如的說明，我們對於80%學生能學會的立意基礎感到疑惑我們因此嘗試著構造這樣的數學模型：假定我們有N個同年出生的兒童， 我們需要知道他們九年級畢業時，對數與量主題的學習要定在那個能力程 度是對這整個年級的學生是最好的。假定將學生以 1、2

12、、3、N 編號，並 以 y 代表學習數與量的能力程度，其中y越大代表程度越好；再假設第n 個學生，在各年級上課時數固定，投入的學習時間也固定，且在教師正常指導 下，可以達到的程度。現在我們把依大小排列，由大到小，或ny12.yyy、 、 、 N重新排序，而我們可以假定。若N很大時，我們可以令 x 代表12.yyyN 學生人數，而就代表，這樣子我們得到一個函數，它是一個不( )f xxy)(xfy 遞增的函數。這時候，給定一個值，就說，表示為九年級畢業時，把課程y*y的安排只到程度，這時只有個學童快樂地學到程度，其他的*y)(*yfx1*y 學童就被放棄。其實，一個合理的目標函數可能是。)()(

13、*yfyyxyF1若找到使是最大，這個就是最好的能力程度。假設，*y)(*yF*ymax)0(Yf，且，。那麼在很靠近時，很小，min)(YNfminmaxYY1minY*ymaxY)(*yF而當靠近時，也很小，所以並不是定一個能力程度使 99%的學生*yminY)(*yF都能學習是最好的策略，也不是定一個很高的能力程度就很好，因這時*y 是很小。)(*yf1這個簡單的模型可以回答很多家長所問的問題，如前述今年六月七日第三次教育對話中的問題。事實上，這個模型的關鍵在函數，假如有人可以用)(xf實徵的方式，建構出一個讓人信服的函數，那麼能力指標的訂定就比較有)(xf根據。否則，如暫行綱要般，憑直

14、覺就說這綱要能力指標讓 80%的學生可以快 樂學習，立論根據是什麼？為什麼讓 80%的學生可以快樂學習的能力指標是最 合適的能力指標呢？90%是不是更好？在未能建構合理函數之下，根據銜接高中、職或五專課程的需求而訂)(xf下的能力指標應該是可以被接受的，其主要原因在於目前國中畢業生升學的比 例已高達百分之九十五以上，而高中職畢業生的升學比例也達七成以上，那麼 有六成以上的國中生要讀大學（包括技職體系的學院） 。準此，九年一貫以能連 接高中職之數學學習為標地所定下的能力指標，是合理而可接受的。二、階段能力指標與一綱多本二、階段能力指標與一綱多本暫行綱要的能力指標，主要是依認知能力發展的方式書寫，

15、因語句過於抽 象與模糊，且詮釋過於簡化，造成許多解讀不同的困擾。教科書編寫難易及順 序不同的問題，也進而造成一綱多本所衍生的相關銜接問題，如學生轉學、國 小銜接國中或學校換用不同版本時的銜接困難等。因此，社會各界強烈反應此 類的問題，且立法院也以附帶決議的方式要求恢復國編版教科書，無非是希望 能儘快消除這類亂象。因此，如何對階段能力指標進行調整與詮釋，來提昇教 科書編輯及教學現場的成效，是綱要修訂的重要工作。雖然，這次的綱要修訂 的能力指標雖然仍舊依循學童的認知發展，但書寫則以數學知識的方式呈現， 同時在語句上更求簡單明確。三、國際間的比較三、國際間的比較除中華民國數學學會工作小組所做的比較外

16、，由教育部委託前瞻委員會3學者針對國際相關國家中小學數學課程進行比較。以美國加州為例，在歷經建構 式課程的實驗後，特別參考過去在國際數學競賽表現優異的亞洲國家，如日本、 韓國、新加坡等國的課程，重新訂定課程標準，而我國現階段的國民教育的內 涵，相較於 1997 美國加州的課程標準至少落後一至二年，且授課節數每週至少 減少一至二節。因此，經由國際之比較，國民教育暫行綱要數學課程的內涵與 節數，勢必應做重新審慎地考量與適度地調整。再者，暫行綱要數學領域能力指標內涵與美國數學教師協會（NCTM）1989 年課程標準的結構相當接近，而美國的課程標準是以 K-12 來設計，與我國九年 國教再銜接後國民教育的體制不盡相同。況且 NCTM 也自 1996 年起邀請美國數 學會加入課程修訂工作，並於 2000 年重新公布新的課程標準。因此，暫行綱要 的能力指標確有重新調整的必要。3